关于动态电路阶数的讨论

2014-08-23 03:23田社平

电气电子教学学报 2014年1期

田社平，孙盾，张峰

(1.上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240;2浙江大学电气工程学院，浙江杭州 310027)

动态电路可以用微分方程加以描述。根据描述电路的微分方程的阶数，可以将电路分为一阶电路、二阶电路等。现行电路教材几乎均以此来定义动态电路的阶数，如“用一阶常微分方程描述的电路称为一阶电路”(文献［1-3］)或“如果电路的输入—输出方程是一阶微分方程，则称该电路为一阶电路。如果电路的输入—输出方程是n阶微分方程，则称该电路为n阶电路”(文献［4］)。

笔者在教学中发现，一个动态电路往往存在多个电压变量和电流变量，当描述所有这些电压变量和电流变量的微分方程的阶数都相同时，上述定义是准确的，但是也有一些特别的电路，其电路变量的微分方程的阶数并不相同，这样上述定义则无法准确地描述动态电路的阶数。

不失一般性，本文仅以线性非时变动态电路为例加以讨论。

1 实例分析

考虑如图1所示的电路，假设R1=R2=1Ω，R3=4Ω，C1=C2=1F，L=1H。下面分析描述电路变量i，uC1和uC2的微分方程表达式。

图1 动态电路之一

列写电路的KCL方程:

列写KVL方程:

将元件参数值代入式(1)～式(3)并整理得

对式(6)两边微分，并将式(4)和式(5)代入，整理后可得

将式(6)和式(7)相加，得到描述电流变量i的微分方程为

将式(4)中的电流i代入式(8)，得到描述电压变量uC1的微分方程为

类似可得到描述电压变量uC2的微分方程为

由式(8)～式(10)可以看出，描述电流变量i的微分方程的阶数为2，而描述电压变量uC1和uC2的微分方程的阶数为3，两者并不相等。而观察图1所示电路，可知该电路包含三个独立的动态元件，说明该电路是一个三阶电路。

2 动态电路阶数的确定

由上面讨论可知，电路变量的阶数和电路的阶数并不完全相同。对动态电路的阶数的判定，一般可采用如下四种方法。

(1)通过观察电路，确定电路中独立动态元件的个数，它也是电路的阶数。这是一种常用的方法，适用于大多数电路。

(2)以电路变量的阶数的最大值作为电路的阶数。本文上一节的分析就采用了这种方法。

(3)用零输入电路确定电路的阶数［5］。电路的阶数与电路的激励大小无关，因此可以将电路的激励置零，然后再确定电路的阶数。

(4)电路的阶数等于电路的非零固有频率数。因此，求出电路的非零固有频率数，也就得到了电路的阶数。

下面就后面两种方法进行讨论。

图2所示为包含两个电容的电路，其中图2(a)电路的激励为电压源，初看此电路，似乎两个电容独立，但将电压源置零后发现，两个电阻、两个电容为并联关系，因此该电路为一阶电路。图2(b)电路的激励为电流源，如果将电流源置零，则R1、C1和R2、C2构成两个独立的回路，该电路是二阶电路。如果两个回路的时间常数相等，即R1C1=R2C2时，该电路退化为一阶电路。