复变函数中孤立奇点的判别

苗保山 张文英 解妮 童小红

摘要：先给出复变函数的零点及阶数，再根据零点和孤立奇点的关系，给出判断孤立奇点类型的方法.

关键词：零点；阶数；孤立奇点

中图分类号：O174.5 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）39-0203-02

一、引言

在复变函数[1]中，把孤立奇点分成三种类型：可去奇点、极点和本性奇点.教材中给出了两种判别孤立奇点类型的方法，一种是在奇点的去心邻域内将函数展开成罗伦阶数，根据负幂项的有无及多少来判断，但是要将有些函数展开成罗伦阶数比较困难；另外一种是对函数求极限，根据极限值来判断，此种方法可以求出孤立奇点是函数的哪一类奇点，但若是函数的极点，却不能判断出极点的阶数.

一些文章[2-6]也给出了求孤立奇点类型的方法.本文先求出函数分母的零点，再根据零点和孤立奇點的关系，最后给出判断复变函数孤立奇点类型的方法.

二、函数的零点

（一）没有因子表达式的零点

1.定义：若不恒等于零的函数f（z）可表示成f（z）=（z-z ） φ（z），其中函数φ（z）在z 解析，且φ（z ）≠0（m≥1）且为正整数，那么z 称为函数f（z）的m阶零点.

例1：求函数z -z -z+1的零点及阶数.

因为z -z -z+1=（z-1） （z+1），所以z=1是2阶零点；z=-1是1阶零点.

例2：证明z=0是函数z-sinz的3阶零点.

证明：将sinz在0点展开成泰勒级数，然后得

z-sinz=z-z- z + z - z +……=z

- z + z +……

而 - z + z +……在0解析，且在0点的值不等于0，

∴0是函数z-sinz的3阶零点.

若函数f（z）不易表示成（z-z ） φ（z）的形式，则可用定理1[1]判定.

2.定理1：若函数f（z）在z 解析，则z 是函数f（z）的m（m≥1）阶零点的充要条件：f （z ）=0，n=0，1，2，…，m-1，f （z ）≠0.

（二）函数f（z）=P（z）·Q（z）的零点

推论：若函数f（z）=P（z）·Q（z），且z 是函数P（z）的m（m≥1）阶零点，也是函数Q（z）的n（n≥0）阶零点，则

z 是函数f（z）=P（z）·Q（z）的m+n阶零点.

根据定义、定理及推论，并结合泰勒展式，得到函数f（z）的零点及其阶数.

三、函数f（z）= 的奇点

函数的零点与极点有下面的关系：

定理2[1]：如果z 是函数f（z）的m阶极点，那么z 就是函数 的m阶零点.反之亦然.

根据定理2，可得到如下推论：

推论2：若函数f（z）= ，点z 是函数h（z）的

m（m≥1）阶零点，也是函数g（z）的n（n≥0）阶零点，

则：（1）当n≥m时，点z 为函数f（z）的可去奇点；

（2）当n

证：∵点z 是函数h（z）的m（m≥1）阶零点，

∴h（z）=（z-z ） φ（z），其中函数φ（z）在z 点解析，且φ（z ）≠0；

又∵点z 是函数g（z）的n（n≥0）阶零点，

∴g（z）=（z-z ） ？准（z），其中函数？准（z）在z 点解析，且？准（z ）≠0.

∴f（z）= =（z-z ） ，其中函数 在z 点解析，且 ≠0，

∴（1）当n≥m时，函数f（z）在点z 的去心邻域的洛朗展开式中没有（z-z ）的负幂项，故点z 为函数f（z）的可去奇点.

（2）当n

例3：求下列函数的孤立奇点及其类型，如果是极点，并求出极点的阶数.

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .

解：（1）0是分母z的1阶零点，是分子sinz的1阶零点，所以0是函数 的可去奇点.

由 =1- z + z -……，0

（2）0是分母z的1阶零点，是分子sinz 的3阶零点，所以0是函数 的可去奇点.

由 =z - z + z -……，0

（3）0是分母z 的3阶零点，是分子sinz的1阶零点，所以0是函数 的2阶极点.

由 =z - + z -……，0<|z-0|<+∞可得出相同的结论.

（4）分母中，z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是因式1+e 的1阶零点，且当k=0，-1时对应的±i也是因式1+z 的1阶零点，所以±i是分母（1+e ）（1+z ）的2阶零点；z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是分子的0阶零点.所以±i是函数 的2阶极点，而z=i（1+2k），k=1，±2，……是函数 的1阶极点.

（5）因为z=0，±1，±2，……是分母（sin（πz）） 的3阶零点；又因为z=0是分子z（z-1） 的1阶零点，z=1是分子z（z-1） 的2阶零点.所以z=0是函数 的2阶极点，z=1是 的2阶极点，z=-1，±2，……是函数 的3阶极点.

本文所给方法与文章[2-6]所给方法略有不同， 该方法是先得到函数分母的零点及其阶数，再判断该零点是函数分子的几阶零点，从而得到函数孤立奇点的类型，有助于计算复变函数沿封闭曲线的积分. 参考文献：

[1]李红，谢松法.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]夏志.一类复变函数极点阶数的确定[J].渤海大学学报，2005，26（1）：49-51.

[3]喻敏，王文波，马建清，胡佳.一类极点阶数的判断[J].高师理科学刊，2016，36（5）：18-19.

[4]赵伟舟，景慧丽，张辉.复函数的极点判定问题研究[J].赤峰学院学报（自然科学版），2016，32（4）：3-4.

[5]胡平.解析函数的m阶极点的一个特征[J].青海师范大学学报（自然科学版），2012，3：1-2.

[6]王文琦.确定复杂复变函数极点阶数的一种方法[J].山西大同大学学报（自然科学版），2012，28（1）：19-20.