解题技巧：运用运动变化思想优化解析几何中的运算

刁成章

常听同学们说解析几何的解法“好想的不好算，好算的不好想”，很难完整地解对一道题. 究其原因是解析几何综合试题的运算量大，过程烦琐，易出错. 然而解析几何综合题在全国各地的高考试题中都会出现，且是倒数第一、二题，其难度都比较大. 高考数学要想考出好成绩，必需迈过解析几何中运算这道坎.本文尝试通过具体实例，阐述运动变化思想在解析几何解题中的应用即通过几何元素的运动变化，探索已知条件和结论之间的联系，从而找到解决问题的方法. 经过多年的经验总结，在几何元素的运动变化过程中，我们需要特别关注：①运动变化过程中的变量与不变量（或不变关系）；②运动变化过程中相对于条件和结论的特殊位置；③运动变化过程中所求结论的变化规律.

观察几何量在运动变化过程中对所求结论的决定作用，选择恰当的量作为自变量，降低运算难度

例1 如图1，已知椭圆C：+=1（a>b>0）的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r>0）. 设圆T与椭圆C交于点M，N.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求·的最小值，并求此时圆T的方程.

分析：在第（2）问中，当圆T的半径r增大时，点M，N在椭圆C上从左至右运动，在此运动变化过程中，（1）M，N关于x轴对称的关系不变. （2）运动变化过程中特殊位置有：①M，N无限靠近T，②⊥，③M，N到达右顶点. （3）·的变化规律：①点M的位置决定·的值，②点M从左至右运动时，·的值先减小且为负数，当到某一位置时最小，继而增大，当M，N到达右顶点时最大.

解答：（1）椭圆C的方程为+y2=1（过程略）.

（2）设M（x1，y1），则N（x1，-y1），从而·=（x1+2）2-y21=（x1+2）2-1-=x1+-. 所以当x1= -时·的最小值为-. 此时M-，，r=TM=，圆T的方程为（x+2）2+y2=.

点评：在第（2）问中，因运动变化过程中发现点M的位置决定·的大小，所以选定点M的坐标（横坐标或纵坐标）作为自变量，比选用圆T半径r作为自变量更易表示·. 不仅简化了运算，而且结论中点M的位置符合·的取值变化规律，可以说运动变化思想还验证了运算的准确性.

观察运动变化过程中的不变关系，变变量为常量，降低运算复杂性

例2 如图2，已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN中点，直线l与l1相交于点P.

（1）求圆A的方程；

（2）·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.

分析：在第（2）问中，直线l绕点B旋转，（1）运动变化过程中不变关系有：①Q为MN的中点，AQ⊥BP；②A，B点位置不变. （2）运动变化过程中的特殊位置有：①l∥l，这时点P不存在，不符合题意；②l⊥AB；③l⊥x轴，此时的斜率不存在. （3）在整个变化过程中，点B在线段PQ上，可得·<0.

解答：（1）圆A的方程为（x+1）2+（y-2）2=20（过程略）.

（2）因为AQ⊥BP，所以·=0，所以·=（+）·=·+·=·. 当直线l与x轴垂直时，得P-2，-，则=0，-. 又=（1，2），所以·=·=-5. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2）. 由y=k（x+2），x+2y+7=0解得P，，所以=，. 所以·=·=-=-5. 综上所述，·是定值，且·=-5.

点评：正是因为在直线l绕点B旋转过程中发现了AQ⊥BP这个不变关系，将所求结论·中两个变化的向量，，转化成·中只有一个变化的向量，减少变量个数，从而使运算得到简化.

观察运动变化过程中几何量的变化规律，变未知为已知

例3 在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（-，0），直线PA与PB的斜率之积为-.

（1）求动点P的轨迹E的方程；

（2）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴对称的点为Q（M，Q不重合），求证：直线MQ过定点.

分析：在第（2）问中，直线l绕点F旋转，在此过程中，（1）不变关系有：①l过点F，②Q，N关于x轴对称. （2）特殊位置有：l不与x轴垂直，也不与x轴重合. （3）由椭圆关于x轴对称，且点F在x轴上，可观察出直线MQ所过定点在x轴上.

解答：（1）动点P的轨迹E的方程为+y2=1（y≠0）（过程略）.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（x2，-y2）. 设直线l：y=k（x-1），代入+y2=1（y≠0）得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，从而x1+x2=，x1·x2=. 所以直线MQ的方程为y-y1=·（x-x1） ①.

令y=0，可得x=x1+=x1+==2 ②，所以直线MQ过定点（2，0）.

点评：由于在直线l绕点F旋转过程中观察出“直线MQ所过定点在x轴上”，才有在第①式中“令y=0”，左边从多项式变成单项式，简化了运算. 又因为定点在x轴上，①式中的x必为定值，才知将①式化为②式并将前面的结论代入得出x的值. 通过运动变化思想不仅将未知数y变成已知数0，还指明了运算方向，使运算变得快速而准确.

观察运动变化过程中所求量的变化规律，变求值为证明

例4 如图4，已知过坐标原点且互相垂直的直线l，l与椭圆L：+=1（a>b>0）相交于A，C，B，D四点，求四边形ABCD面积的最大值.

本题是2013年某地二诊文科最后一题，解法一是命题人所给标准答案，解法二是笔者所做答案.

解法一：设直线l1：y=kx，与+=1（a>b>0）联立解得A，，所以OA=. 同理设直线l2：y=-x，得OB=，所以SABCD=4S△AOB=2OA·OB= ①

=2ab ②

=2ab ③，

显然当k=0时，SABCD取得最大值2ab.

解法二：

分析：根据椭圆对称性易得：四边形ABCD为菱形，让直线l1，l2绕原点旋转，其过程可看做点A从椭圆右顶点M沿椭圆第一象限的部分移动到椭圆上顶点N的过程，在此过程中（1）不变关系有：①四边形ABCD是菱形，②SABCD=4S△AOB=2OA·OB；（2）特殊位置有：①A在椭圆的右顶点M处，②A在第一象限角平分线与椭圆交点P处，③A在椭圆的上顶点N处；（3）△AOB面积的变化规律：点A从M移动到P时，△AOB面积递减，从P移动到N时，△AOB面积递增，且点M与N处△AOB面积相等.

解答：当l1，l2是坐标轴时，易得SABCD=2ab ①. 当l1，l2不是坐标轴时，设直线l1：y=kx（k≠0），与+=1（a>b>0）联立解得A，，所以OA=. 同理设直线l2：y=-x，得OB=. 所以SABCD=4S△AOB=2OA·OB= ②

=2ab· ③

=2ab ④.

因为a4+b4>2a2b2（a>b>0），所以<1 ⑤. 所以SABCD=2ab·<2ab⑥. 综上，SABCD的最大值为2ab.

点评：解法一是值得商榷的，首先未讨论直线l1，l2斜率是否存在，存在时斜率k不能为0，所以③式中2ab只能得到小于2ab；且在运算过程中，从①式到②式，为什么要提出2ab？②式为什么要化成③式？多数同学很难看懂，更难想到. 而解法二中，通过运动变化过程感知点A所在三种特殊位置，自然会想到l1，l2是否为坐标轴时四边形ABCD面积算法的不同，从而进行分类；发现△AOB面积的变化规律，知道l1，l2不是坐标轴时，SABCD会小于l，l是坐标轴时四边形ABCD的面积，从而将求②式的最值问题转化成证明<2ab，使得后面的每一步骤思维自然，运算方向明确，大大降低运算难度.endprint