圆的方程

王历权　党忠良

从近几年的高考试题来看，求圆的方程、已知圆的方程求圆的圆心坐标及半径等都是高考热点，题型既有选择题，也有填空题、解答题，主要考查圆的标准方程、一般方程；主观题往往在知识交汇处命题.除上述考查点以外，还考查待定系数法、方程思想等.

重点难点

本部分内容由圆的标准方程、圆的一般方程和圆的参数方程三个部分组成.

重点：（1）掌握确定圆的几何要素，掌握用待定系数法求圆的标准方程或一般方程，并能解决一些简单的与圆有关的实际问题. （2）学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题.同时不断培养观察能力，寻找参数之间的联系，掌握必要的技巧，找准解题方向，提高解题能力. （3）熟悉并掌握与圆有关的最值问题的求法.

难点：利用圆的几何性质解决圆的综合问题.

方法突破

1. 求圆的方程常用待定系数法.若已知条件和圆心、半径有关，可先用已知条件求出圆心和半径，再写出圆的标准方程；若已知条件涉及圆过几点，往往用圆的一般方程求解；若所求的圆过已知两圆的交点（或一直线与一圆的交点）一般用圆系方程求解.

2. 确定圆的方程主要是待定系数法，大致步骤为：（1）根据题意选择方程形式；（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；（3）解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.

3. 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：（1）形如u=型的斜率最值问题；（2）形如z=ax+by型的截距最值问题；（3）形如（x-a）2+（y-b）2型的距离最值问题.

4. 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下几种方法：

（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

（2）定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.

（3）几何法：利用圆与圆的几何性质列方程.

（4）相关点法：找到要求点与已知点的关系，带入已知点满足的关系式.

典例精讲 例1 过点A（6，0），B（1，5），且圆心C在直线l：2x-7y+8=0上的圆的方程为________.

思索 可根据已知条件，先求出圆心C的坐标，再求得圆的半径r（r=AC）；也可用待定系数法，设出圆的标准方程或一般方程，依据已知条件构建关于a，b，r或D，E，F的方程组求解.

破解 解法1：由A（6，0），B（1，5）可得线段AB的中点坐标为，，且kAB=-1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y-=x-，即x-y-1=0. 由方程组x-y-1=0，2x-7y+8=0得圆心C的坐标为（3，2），且半径r=AC=. 综上可得，所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.

解法2：设所求圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，由已知得（6-a）2+b2=r2，2a-7b+8=0，（1-a）2+（5-b）2=r2，解得a=3，b=2，r2=13. 综上可得，所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=13.

解法3：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），由已知得36+6D+F=0，1+25+D+5E+F=0，2×--7×-+8=0，解得D= -6，E=-4，F=0. 综上可得，所求圆的方程为x2+y2-6x-4y=0，即（x-3）2+（y-2）2=13.

例2 求经过点A（0，5），且与直线x-2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程.

思索 欲确定圆的方程，需确定圆心坐标与半径. 由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标. 又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.

破解 因为圆和直线x-2y=0与2x+y=0相切，所以圆心C在这两条直线的交角平分线上.

又因为圆心到两直线x-2y=0和2x+y=0的距离相等，所以=. 所以两直线交角的平分线方程是x+3y=0或3x-y=0.

又因为圆过点A（0，5），所以圆心C只能在直线3x-y=0上. 设圆心C（t，3t），因为C到直线2x+y=0的距离等于AC，所以=. 化简整理得t2-6t+5=0，解得t=1或t=5. 所以圆心是（1，3），半径是或圆心是（5，15），半径是5.

所以可得所求圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=5或（x-5）2+（y-15）2=125.

例3 求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程.

思索 由圆系方程先设出所求圆的方程，得出圆的坐标代入已知直线方程，求出参数后即得圆的方程.

破解 设经过两已知圆的交点的圆的方程为x2+y2-4x-3+λ（x2+y2-4y-3）=0（λ≠-1），则其圆心的坐标为，. 因为所求圆的圆心在直线x-y-4=0上，所以--4=0，解得λ=-. 所以所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-3=0.

例4 （1）已知圆O1：（x-3）2+（y-4）2=1，P（x，y）为圆O上的动点，求d=x2+y2的最大值和最小值.

（2）已知圆O2：（x+2）2+y2=1，P（x，y）为圆上任一点，求的最大值和最小值.

思索 （1）（2）两小题都涉及圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或用数形结合解决.

破解 （1）解法1：由圆的标准方程（x-3）2+（y-4）2=1，可设圆的参数方程为x=3+cosθ，y=4+sinθ（θ是参数）. 则d=x2+y2=9+6cosθ+cos2θ+16+8sinθ+sin2θ=26+6cosθ+8sinθ=26+10cos（θ-φ）其中tanφ=. 所以可得dmax=26+10=36，dmin=26-10=16.endprint