椭圆及其性质

章少川

椭圆及其性质是每年高考考查的重要考点，包含椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系等内容. 以选择题、填空题的形式出现，考查椭圆相关概念的理解及简单应用，难度不大；以解答题的形式出现，考查直线与椭圆位置关系等综合问题，对运算求解能力、推理论证能力，以及函数方程思想与数形结合思想的应用要求较高.多数占据解答题压轴题的位置.

重点难点

重点：（1）掌握椭圆的定义，能利用椭圆的定义求解焦点三角形问题；（2）掌握椭圆的标准方程，能准确判断椭圆的形状并求解标准方程；（3）掌握椭圆的简单几何性质，会求椭圆的离心率；（4）会判断直线与椭圆的位置关系，能灵活求解有关弦长问题、最值或定值问题.

难点：（1）如何挖掘几何关系实现坐标与方程之间的合理转化；（2）如何在恒等变形中减少复杂的运算过程.

方法突破

1. 椭圆定义的应用

凡是涉及与两个定点的“距离的和”有关的问题，都可考虑利用椭圆的定义与性质进行探索，特别是有关“焦点三角形”的问题，还经常结合正、余弦定理进行考查.

2. 求椭圆的标准方程

常用定义法和待定系数法.一般可采用“先定形，后定式，再定量”的解题步骤.

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设出方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0）.

定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

3. 求椭圆的离心率

关键是先把椭圆方程转化成标准形式，明确焦点的位置，长轴、短轴的长，焦距长及不同参数间的相互关系. 其中离心率的相关问题是考查热点，若题目明确告诉了有关的等量或不等量关系，可直接构造方程或不等式求解，否则，需充分挖掘隐含条件，借助圆锥曲线的几何性质构造a，b，c的关系式求解.

4. 直线与椭圆的位置关系

（1）直线与椭圆的位置关系可分为相交、相切、相离三种，实际上是研究它们组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，一般用根的判别式来判断.

（2）当直线与椭圆相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及过焦点的焦点弦问题，常用定义求解；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求.更多的问题还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的关系并灵活转化，以达到事半功倍之效.

5. 椭圆中的定值、最值问题

（1）椭圆中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决：①若命题的条件和结论具有明显的几何意义，则一般可用图形的性质来解决；②若命题的条件和结论体现了明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数、三角函数、基本不等式）求最值.

（2）有关定点、定值问题，实际上是恒成立的问题，解题时一般是从特定元的限制（如斜率）和特殊图形的情况（如过原点、垂直、平行）猜出定值，再通过坐标、方程证明一般情况.

典例精讲

例1 （2014年高考辽宁卷）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合. 若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN+BN=________.

思索 本题是关于焦点对称问题，所求AN与BN的长很容易转化为焦半径来考虑，利用三角形中位线性质并结合椭圆定义可解决.

破解 如图1，MN的中点为Q， 易得QF2=NB，QF1=AN. 因为点Q在椭圆C上，所以可得QF1+QF2=2a=4，所以AN+BN=8.

例2 （2014年高考大纲卷）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）

A. +=1？摇？摇？摇 B. +y2=1？摇？摇？摇

C. +=1？摇？摇？摇 D. +=1

思索 求椭圆的方程常采用待定系数法，即通过列方程组求出a，b的值. 本题由于是过焦点三角形的问题，可结合定义转换条件进行求解.

破解 由已知可得4a=4，所以a=. 又=，则得c=1，所以b2=a2-c2=，故C的方程为+=1. 选A.

例3 （2014年高考新课标卷Ⅰ）已知点A（0，-2）， 椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

（1）求E的方程；

（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

思索 （1）由已知条件直接求得a，c的值即可得椭圆方程. （2）问属于直线与椭圆关系的常规问题，可建立关于参数的目标函数来求最值，求最值方法多为配方法、均值不等式法、三角函数法或导数法等.

破解 （1）设F（c，0），由条件可知，=，得c=. 又=，所以a=2，b2=a2-c2=1. 故E的方程+y2=1.？摇？摇？摇

（2）当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）. 将y=kx-2代入+y2=1，得（1+4k2）x2-16kx+12=0. 当Δ=16（4k2-3）>0，即k2>时，x1，2=. 从而PQ=x1-x2=. 又点O到直线PQ的距离d=，所以△OPQ的面积S△OPQ=dPQ=. 设=t，则t>0，S△OPQ==≤1，当且仅当t=2，k=±时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y=x-2或？摇y=-x-2.

例4 已知F1（-1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足PF1+PF2=2，记点P的轨迹为曲线Γ.endprint

（1）求曲线Γ的方程；

（2）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且++=0.

①试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；

②当直线AB过点F1时，求直线AB，OC与x轴所围成的三角形的面积.

思索 （1）根据椭圆的定义求解方程. （2）本题考查解几坐标法综合运用的能力；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.设直线AB的方程时要注意考虑斜率是否存在.

破解 （1）由条件可知，点P到两定点F1（1，0），F2（-1，0）的距离之和为定值2，所以点P的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆.又a=，c=1，所以b=1，故所求曲线的方程为+y2=1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）. 由++=0，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0.

①可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），代入x2+2y2=2并整理得（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0.

依题意，Δ>0，则x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2n=，故点C的坐标为，-，kOC=-. 因为kAB·kOC=-，所以直线AB与OC的斜率之积为定值.？摇

②若AB⊥x轴时，A-1，，B-1，-. 由++=0，得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意. 因此直线AB的斜率存在.

由①可知，当直线AB过点F1时， n=k，点C的坐标为，-. 代入x2+2y2=2得+=2，即8k4=2，所以k=±.

当k=时，由①知，k·kOC=-，从而kOC=-. 故AB，OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高h=×=. 故所求等腰三角形的面积S=×1×=. 当k=-时，又由①知，k·kOC=-，从而kOC=，同理可求得直线AB，OC与x轴所围成的三角形的面积为.

综上所述，直线AB，OC与x轴所围成的三角形的面积为.

变式练习

1. 设椭圆+=1（m>0，n>0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为________.

2. 椭圆+=1（0

A. B.

C. D.

3. 已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率为k1，k2. 若点A，B关于原点O对称，则k1·k2的值为________.

4. 已知椭圆E1：+=1，E2：+=2，过E1上第一象限上一点P作E1的切线，交E2于A，B两点.

（1）已知圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0），则过点P（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0=r2，类比此结论，写出椭圆+=1在其上一点P（x0，y0）的切线方程，并证明.

（2）求证：AP=BP.

5. 已知点P1，-在椭圆C：+=1（a>b>0）上，过椭圆C的右焦点F2（1，0）的直线l与椭圆C交于M，N 两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W=. 试判断W是否为定值. 若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由.

参考答案

1. 4 2. C 3. -

4. （1）切线方程+=1. 在第一象限内，由+=1可得y=，y0=. 椭圆在点P处的切线斜率k=y′（x0）=-= -，切线方程为y=-（x-x0）+y0，即+=1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，+=1，+=2？圯b2+x2-x+-2a2b2=0. =·===x0. 所以P为A，B中点，AP=BP.

5. （1）因为椭圆C的右焦点为（1，0），所以c=1，且椭圆C的左焦点为（-1，0），从而得2a=+=+=4，解得a=2. 所以b2=a2-c2=4-1=3. 所以椭圆C的标准方程为+=1.

（2）①当直线斜率不存在时，AB2=（2b）2=4b2，MN=，所以W===2a=4. ②当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）. 由+=1，y=k（x-1）得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，x1+x2=，x1x2=. MN=x1-x2===. 由+=1，y=kx消去y，并整理得x2=. 设A（x3，y3），B（x4，y4），则AB=x3-x4=4，所以W===4. 综上所述，W为定值4.