重点突破：直线与圆、圆与圆的位置关系

车树勤

直线与圆、圆与圆的位置关系是历年高考的一个热点，除考查位置关系之外，还考查轨迹问题及与圆有关的最值问题. 点到直线的距离公式与垂径定理是解决与圆有关的问题所常用的两个方法，用好了能起到事半功倍的效果.

重点难点

重点：（1）直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；（2）计算弦长、面积，考查与圆有关的最值问题；（3）根据已知条件求圆的方程.

难点：（1）圆的几何性质；（2）通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题；（3）用代数法处理几何问题.

方法突破

1. 直线与圆的位置关系的判定

（1）代数法（判别式法）：联立圆的方程与直线的方程，由判别式讨论方程的实数解的个数.

（2）几何法：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

结合代数法和几何法，可得直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系有三种（d是圆心到直线的距离）：若d>r？圳相离？圳Δ<0；d=r？圳相切？圳Δ=0；d0.

2. 直线和圆相交弦的计算

有两种方法：一是用弦长公式P=x1-x2，二是用勾股定理P=2.

3. 圆的切线方程

求圆的切线方程一般有如下三种方法，同学们在解题时要根据题目所给的条件进行选择.

（1）圆x2+y2=r2上点M（x0，y0）处的切线方程：x0x+y0y=r2.

（2）若已知切线过圆外一点P（x0，y0），则设切线方程为y-y0=k（x-x0），再利用圆心到切线的距离等于半径求出k的值，这时有两条切线. 同学们要注意不要漏掉平行于y轴的切线.

（3）若已知切线方程的斜率为k，则设切线方程为y=kx+b，再利用相切条件求出b的值，这时必有两条切线.

4. 圆与圆的位置关系的判定

（1）几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，两个圆的圆心距d=O1O2，则

①d>R+r？圳两圆外离？圳两圆仅有4条公切线；

②d=R+r？圳两圆外切？圳两圆仅有3条公切线；

③d=R-r？圳两圆内切？圳两圆仅有1条公切线；

④R-r

⑤d

（2）代数法：联立两圆的方程，若方程有两组不同实数解？圳两圆相交；若方程有一组实数解？圳两圆相切；若方程没有实数解？圳两圆相离或内含.

在讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，而用圆心到直线的距离与半径的大小关系、圆心距与半径的大小关系，分别确定相交、相切、相离的位置关系.

5. 圆与圆的公共弦问题

若圆C1：x2+y2+D1x+E1x+F1=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2x+F2=0相交，则它们公共弦所在直线的方程为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.

典例精讲

1. 直线与圆的位置关系

例1 （2014年高考重庆卷）已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆（x-1）2+（y-a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为________.

思索 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 本题已知△ABC为等边三角形，半径长就是该三角形的边长，可求出三角形的高，利用圆心到该直线的距离可求出a的值.

破解 因为圆的半径为2，又△ABC为等边三角形，所以△ABC的高为，即圆心C到直线ax+y-2=0的距离为，所以=，解得a=4±.

2. 圆的切线问题

例2 已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）.

（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；

（2）若l1与圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

思索 （1）过一点求圆的切线应首先判断该点是在圆上还是在圆外，当点（x0，y0）在圆上时该点即为切点，圆的切线只有一条；当点（x0，y0）在圆外，则设切线方程为y-y0=k（x-x0），化成一般式kx-y+y0-kx0=0，再利用圆心到直线的距离等于半径，解出k. 注意：若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，切记此点. （2）可先求出M，N两点的坐标，再用两点间的距离公式求出AM，AN，然后进行化简可求得结果，但此方法计算比较复杂；若对AM·AN进行转化，利用△AMC∽△ABN，可得AM·AN=AC·AB，此方法计算就比较简便了.

破解 （1）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意.

②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y=k（x-1），即kx-y-k=0. 由题意知，圆心（3，4）到直线l1的距离等于半径2，即=2，解之得k=. 故所求直线的方程是x=1或3x-4y-3=0.

（2）解法1：过程略，同学们可自行尝试.

解法2：如图1，连结CA并延长交l2于点B，kAC=2，k=-，所以CB⊥l2. 所以△AMC∽△ABN，则=，可得AM·AN=AC·AB=2·=6，为定值.

3. 弦长问题

例3 已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12.

（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长.

思索 （1）将直线方程与圆方程联立，判断该方程组有两个解；或通过直线过定点，该定点在圆内证明；或利用圆心到直线的距离小于圆半径证明. （2）利用弦长公式表示出弦长，转化为求关于k的函数的最值问题；也可用平面几何的知识，判断出过圆内定点的弦与过该定点的半径垂直时该弦最短.

破解 （1）略.

（2）解法1：设直线与圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则可得直线l被圆C截得的弦长AB=x1-x2=2=2. 令t=，则tk2-4k+（t-3）=0. 当t=0时，k=-；当t≠0时，因为k∈R，所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，故t=的最大值为4，此时AB的最小值为2.

解法2：由平面几何知识，知AB=2=2，下同解法1.

解法3：由平面几何知识知过圆内定点P（0，1）的弦，只有和PC（C为圆心）垂直时才最短，而此时点P（0，1）为弦AB的中点. 由勾股定理，知AB=2=2，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.

4. 圆与圆的位置关系

例4 （2014年高考湖南卷）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m等于（ ）

A. 21 B. 19 C. 9 D. -11

思索 根据两个圆的方程可以知道其圆心与半径，当两个圆外切时圆心距等于两个圆半径的和，即可解出m的值.

破解 过程略，答案选C.

5. 与圆有关的综合问题

例5 如图2，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m. 经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处（OC为河岸），tan∠BCO=.

（1）求新桥BC的长：

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

思索 本题是应用题，可以用解析法来解决. 以O为原点，分别以向东、向北为x轴、y建立直角坐标系. （1）要求BC的长，就要求得点B的坐标. 已知tan∠BCO=，说明直线BC的斜率为-，这样直线BC的方程可立即得出；又AB⊥BC，故直线AB的方程也易得出，两条直线的交点B的坐标随之而得. （2）本问题的实质就是求圆半径最大，即求线段OA上某点到直线BC的距离最大. 注意要考虑条件“古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80 m”.

破解 （1）如图2，以OC方向为x轴，OA方向为y轴建立直角坐标系，则可得A（0，60），C（170，0）. 由题意，kBC=-，所以直线BC的方程为y= -（x-170）；又kAB=-=，所以直线AB的方程为y=x+60. 联立两直线方程y=-（x-170），y=x+60，解得x=80，y=120.即B（80，120）. 所以BC=150（m）.

（2）设点M（0，m）（0≤m≤60），点B（80，120），直线BC的方程为y= -（x-170），即4x+3y-680=0，所以半径R=. 又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，所以R-AM≥80且R-OM≥80，所以有-（60-m）≥80且-m≥80. 所以10≤m≤35. 所以R=≤130，当m=10时圆面积最大. 所以当OM=10时圆形保护区面积最大.

变式练习

1. 如果圆x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆x2+y2=4总相交，则实数a的取值范围是________.

2. 已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________.

3. （2014年高考浙江卷）已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

4. （2014年高考山东卷）圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦长为2，则圆C的标准方程为________.

5. 如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率e=，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点；圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q.

（1）求直线OP的方程；

（2）求的值；

（3）设a为常数. 过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E于点B，C，分别交圆A2于点M，N，记△OBC和△OMN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.

参考答案

1. 0

2. -

3. B

4. （x-2）2+（y-1）2=4

5. （1）y=x.

（2）.

（3）不妨设OM的方程为y=kx（k>0），联立方程组y=kx，+=1，解得B，，所以OB=a；用-代替上面的k，得OC=a. 同理可得OM=，ON=. 所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·. 因=≤，当且仅当k=1时等号成立. 所以S1·S2的最大值为.

直线与圆、圆与圆的位置关系是历年高考的一个热点，除考查位置关系之外，还考查轨迹问题及与圆有关的最值问题. 点到直线的距离公式与垂径定理是解决与圆有关的问题所常用的两个方法，用好了能起到事半功倍的效果.

重点难点

重点：（1）直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；（2）计算弦长、面积，考查与圆有关的最值问题；（3）根据已知条件求圆的方程.

难点：（1）圆的几何性质；（2）通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题；（3）用代数法处理几何问题.

方法突破

1. 直线与圆的位置关系的判定

（1）代数法（判别式法）：联立圆的方程与直线的方程，由判别式讨论方程的实数解的个数.

（2）几何法：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.

结合代数法和几何法，可得直线Ax+By+C=0与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系有三种（d是圆心到直线的距离）：若d>r？圳相离？圳Δ<0；d=r？圳相切？圳Δ=0；d0.

2. 直线和圆相交弦的计算

有两种方法：一是用弦长公式P=x1-x2，二是用勾股定理P=2.

3. 圆的切线方程

求圆的切线方程一般有如下三种方法，同学们在解题时要根据题目所给的条件进行选择.

（1）圆x2+y2=r2上点M（x0，y0）处的切线方程：x0x+y0y=r2.

（2）若已知切线过圆外一点P（x0，y0），则设切线方程为y-y0=k（x-x0），再利用圆心到切线的距离等于半径求出k的值，这时有两条切线. 同学们要注意不要漏掉平行于y轴的切线.

（3）若已知切线方程的斜率为k，则设切线方程为y=kx+b，再利用相切条件求出b的值，这时必有两条切线.

4. 圆与圆的位置关系的判定

（1）几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2，两个圆的圆心距d=O1O2，则

①d>R+r？圳两圆外离？圳两圆仅有4条公切线；

②d=R+r？圳两圆外切？圳两圆仅有3条公切线；

③d=R-r？圳两圆内切？圳两圆仅有1条公切线；

④R-r

⑤d

（2）代数法：联立两圆的方程，若方程有两组不同实数解？圳两圆相交；若方程有一组实数解？圳两圆相切；若方程没有实数解？圳两圆相离或内含.

在讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，而用圆心到直线的距离与半径的大小关系、圆心距与半径的大小关系，分别确定相交、相切、相离的位置关系.

5. 圆与圆的公共弦问题

若圆C1：x2+y2+D1x+E1x+F1=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2x+F2=0相交，则它们公共弦所在直线的方程为（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0.

典例精讲

1. 直线与圆的位置关系

例1 （2014年高考重庆卷）已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆（x-1）2+（y-a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为________.

思索 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 本题已知△ABC为等边三角形，半径长就是该三角形的边长，可求出三角形的高，利用圆心到该直线的距离可求出a的值.

破解 因为圆的半径为2，又△ABC为等边三角形，所以△ABC的高为，即圆心C到直线ax+y-2=0的距离为，所以=，解得a=4±.

2. 圆的切线问题

例2 已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4，直线l1过定点A（1，0）.

（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；

（2）若l1与圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

思索 （1）过一点求圆的切线应首先判断该点是在圆上还是在圆外，当点（x0，y0）在圆上时该点即为切点，圆的切线只有一条；当点（x0，y0）在圆外，则设切线方程为y-y0=k（x-x0），化成一般式kx-y+y0-kx0=0，再利用圆心到直线的距离等于半径，解出k. 注意：若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，切记此点. （2）可先求出M，N两点的坐标，再用两点间的距离公式求出AM，AN，然后进行化简可求得结果，但此方法计算比较复杂；若对AM·AN进行转化，利用△AMC∽△ABN，可得AM·AN=AC·AB，此方法计算就比较简便了.

破解 （1）①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意.

②若直线l1的斜率存在，设直线l1为y=k（x-1），即kx-y-k=0. 由题意知，圆心（3，4）到直线l1的距离等于半径2，即=2，解之得k=. 故所求直线的方程是x=1或3x-4y-3=0.

（2）解法1：过程略，同学们可自行尝试.

解法2：如图1，连结CA并延长交l2于点B，kAC=2，k=-，所以CB⊥l2. 所以△AMC∽△ABN，则=，可得AM·AN=AC·AB=2·=6，为定值.

3. 弦长问题

例3 已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12.

（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长.

思索 （1）将直线方程与圆方程联立，判断该方程组有两个解；或通过直线过定点，该定点在圆内证明；或利用圆心到直线的距离小于圆半径证明. （2）利用弦长公式表示出弦长，转化为求关于k的函数的最值问题；也可用平面几何的知识，判断出过圆内定点的弦与过该定点的半径垂直时该弦最短.

破解 （1）略.

（2）解法1：设直线与圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则可得直线l被圆C截得的弦长AB=x1-x2=2=2. 令t=，则tk2-4k+（t-3）=0. 当t=0时，k=-；当t≠0时，因为k∈R，所以Δ=16-4t（t-3）≥0，解得-1≤t≤4，且t≠0，故t=的最大值为4，此时AB的最小值为2.

解法2：由平面几何知识，知AB=2=2，下同解法1.

解法3：由平面几何知识知过圆内定点P（0，1）的弦，只有和PC（C为圆心）垂直时才最短，而此时点P（0，1）为弦AB的中点. 由勾股定理，知AB=2=2，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.

4. 圆与圆的位置关系

例4 （2014年高考湖南卷）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m等于（ ）

A. 21 B. 19 C. 9 D. -11

思索 根据两个圆的方程可以知道其圆心与半径，当两个圆外切时圆心距等于两个圆半径的和，即可解出m的值.

破解 过程略，答案选C.

5. 与圆有关的综合问题

例5 如图2，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m. 经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处（OC为河岸），tan∠BCO=.

（1）求新桥BC的长：

（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

思索 本题是应用题，可以用解析法来解决. 以O为原点，分别以向东、向北为x轴、y建立直角坐标系. （1）要求BC的长，就要求得点B的坐标. 已知tan∠BCO=，说明直线BC的斜率为-，这样直线BC的方程可立即得出；又AB⊥BC，故直线AB的方程也易得出，两条直线的交点B的坐标随之而得. （2）本问题的实质就是求圆半径最大，即求线段OA上某点到直线BC的距离最大. 注意要考虑条件“古桥两端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80 m”.

破解 （1）如图2，以OC方向为x轴，OA方向为y轴建立直角坐标系，则可得A（0，60），C（170，0）. 由题意，kBC=-，所以直线BC的方程为y= -（x-170）；又kAB=-=，所以直线AB的方程为y=x+60. 联立两直线方程y=-（x-170），y=x+60，解得x=80，y=120.即B（80，120）. 所以BC=150（m）.

（2）设点M（0，m）（0≤m≤60），点B（80，120），直线BC的方程为y= -（x-170），即4x+3y-680=0，所以半径R=. 又因为古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，所以R-AM≥80且R-OM≥80，所以有-（60-m）≥80且-m≥80. 所以10≤m≤35. 所以R=≤130，当m=10时圆面积最大. 所以当OM=10时圆形保护区面积最大.

变式练习

1. 如果圆x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆x2+y2=4总相交，则实数a的取值范围是________.

2. 已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________.

3. （2014年高考浙江卷）已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值为（ ）

A. -2 B. -4 C. -6 D. -8

4. （2014年高考山东卷）圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦长为2，则圆C的标准方程为________.

5. 如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+=1（a>b>0）的离心率e=，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点；圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q.

（1）求直线OP的方程；

（2）求的值；

（3）设a为常数. 过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E于点B，C，分别交圆A2于点M，N，记△OBC和△OMN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.

参考答案

1. 0

2. -

3. B

4. （x-2）2+（y-1）2=4

5. （1）y=x.

（2）.

（3）不妨设OM的方程为y=kx（k>0），联立方程组y=kx，+=1，解得B，，所以OB=a；用-代替上面的k，得OC=a. 同理可得OM=，ON=. 所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·. 因=≤，当且仅当k=1时等号成立. 所以S1·S2的最大值为.