基础夯实:直线方程与两条直线的位置关系

2015-03-31 13:46周喻鸣
数学教学通讯·初中版 2015年1期
关键词:代数斜率定点

周喻鸣

直线方程与两条直线的位置关系是高考考查的主要内容. 考查直线方程的特征值(例如斜率、截距)、直线的平行与垂直的条件,以及与距离有关的问题. 在选择题和填空题方面,大都属于中、低档题,考查直线的基本概念和几何要素;而在解答题方面,直线往往与圆、圆锥曲线综合考查,具有一定的灵活性. 同时,我们要了解直线的斜截式方程与一次函数的关系,对有关函数、不等式等代数问题能够借助直线方程进行解决,提高解题的综合运用能力,比较典型的是线性规划问题

(1)对于直线方程,重点是掌握其五种表达形式,难点是在具体的数学问题情境中正确选择直线的方程形式.

(2)对于两条直线的位置关系,重点是掌握平行和垂直关系,难点是点线对称问题. 若l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则①l1∥l2?圳k1=k2,b1≠b2;②l1⊥l2?圳k1k2=-1. 若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则①l1∥l2?圳A1B2-A2B1=0,A1C2-A2C1≠0;②l1⊥l2?圳A1A2+B1B2=0.

(1)分类讨论思想:由于有的直线不存在斜率,所以在解答直线方程问题时,我们往往要分类讨论直线斜率是否存在,避免漏解.

(2)数形结合思想:“数缺形时难直观”,数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,将抽象思维与形象思维相结合,使数学问题化抽象为具体. 将二元一次方程(即直线的方程)用直线表示,可以形象直观地看到直线的几何特性,从而为解题指出正确的方向,尤其对于最值问题和对称问题.

(3)设直线方程的一些常用技巧如下:

①若直线在y轴上的截距为b,则设其为y=kx+b.

②若直线在x轴上的截距为a,则设其为x=my+a其中m=.

③若直线存在斜率k,则设其为y=kx+b.

④若直线过点P(x0,y0),则设其为y-y0=k(x-x0).

⑤若与直线Ax+By+C=0平行,则设其为Ax+By+C′=0(C≠C′).

⑥若与直线Ax+By+C=0垂直,则设其为Bx-Ay+C′=0.

⑦若与直线y=kx+b平行,则设其为y=kx+b′(b≠b′).

⑧若与直线y=kx+b(k≠0)垂直,则设其为y=-x+b′.

(4)转化思想:将直线几何问题代数化,用代数的语言描述直线的几何要素及其关系,几何问题转化为代数问题;将代数问题几何化,用直线的几何特性理解二元一次方程,将代数问题转化为几何问题.

例1 (2014年高考福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是( )

A. x+y-2=0 B. x-y+2=0

C. x+y-3=0 D. x-y+3=0

思索 与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+C′=0;若直线l1和直线l2存在斜率k1,k2,则l1⊥l2?圳k1·k2=-1.

破解1 因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以设直线l的方程为x-y+C=0(C为待定的系数). 又因为直线l过圆心(0,3),所以0-3+C=0,即C=3. 所以直线l的方程为x-y+3=0. 故选D.

破解2 直线x+y+1=0的斜率k= -1,所以直线l的斜率kl=1. 因为直线l过点(0,3),所以直线l的方程为y-3=1·(x-0),即x-y+3=0. 故选D.

思索 对于直线ax+y+2=0,容易发现其恒过定点(0,-2),所以可以利用数形结合思想解决问题. 另外要注意得出范围-,这种常见错误.

破解 由直线ax+y+2=0恒过定点M(0,-2),及kMA=-,kMB=. 因为直线的斜率为-a,故-a>-,且-a<,所以a∈-,. 故选B.

例3 已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )

A. (0,1)

B. 1-,

C. 1-,

D. ,

思索 根据题意画出图形,根据面积相等得出a,b的关系式,然后求出b的取值范围.

破解 由题意画出示意图.

由图可知,直线BC的方程为x+y=1,由x+y=1,y=ax+b解得M,.可求得N(0,b),D-,0. 因为直线y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分,所以S△BDM=S△ABC. 又S△BOC=S△ABC,所以S△CMN=S△ODN,即×-×b=×(1-b)×,整理得=. 所以=,所以-1=,所以=+1,即b=.

可以看出,当a增大时,b也增大.当a→+∞时,b→,即b<;当a→0时,直线y=ax+b接近于y=b,当y=b时,如图2,===. 所以1-b=,所以b=1-. 所以b>1-. 由上分析可知1-

例4 (2014年高考四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则PA+PB的取值范围是( )

思索 可根据直线方程分别确定定点A,B的坐标,根据两条动直线的方程可知两直线垂直,从而可确定点P满足的条件,最后根据基本不等式求PA+PB的取值范围.

破解 由动直线x+my=0知定点A的坐标为(0,0),由动直线mx-y-m+3=0知定点B的坐标为(1,3),且两直线互相垂直,故点P在以AB为直径的圆上运动.

当点P与点A或点B重合时,PA+PB取得最小值,(PA+PB)min=AB=.

当点P与点A或点B不重合时,在Rt△PAB中,有PA2+PB2=AB2=10. 因为PA2+PB2≥2PA·PB,所以2(PA2+PB2)≥(PA+PB)2,当且仅当PA=PB时取等号. 故PA+PB≤=×=2.

所以≤PA+PB≤2,选项B正确.

例5 已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.

思索 对于该题,命题者表面呈现给我们的是考查函数与方程,实质上是考查直线方程和数形结合的思想. 第一步,作出函数的图象;第二步,认识到函数y=kx-2的图象就是直线,该直线的几何特性就是斜率为k,在y轴上的截距为-2;第三步,分析k值发生变化时两个函数图象的交点个数,确定有两个交点时k的取值范围.

破解 由已知可得函数=,从而化简得函数y=x+1,x<-1或x>1,-x-1,-1

因为函数y=kx-2的图象是一条在y轴上的截距为-2(即过点P(0,-2))的直线l,要使直线l与函数y=的图象有两个不同的交点,则直线l既与线段CD(不含端点)相交,又与射线BA相交,所以0

1. 直线y=x+与圆心为D的圆x=+cosθ,y=1+sinθ(θ∈[0,2π))交于A,B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为( )

A. π B. π

C. π D. π

2. 已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于( )

A. -4 B. -2 C. 0 D. 2

3. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0和x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( )

B. -2?摇?摇?摇?摇?摇?摇C. 0?摇?摇?摇?摇?摇 D. 2

4. 与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的三角形的周长为10的直线方程为_______.

5. 函数y=asinx-bcosx(ab≠0)的一条对称轴的方程为x=,则以向量c=(a,b)为方向向量的直线的倾斜角为________.

6. 已知射线l:y=4x(x>0)和点M(6,4),在射线l上求一点N,使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小.

参考答案

1. C

2. B

3. A

4. 可设与4x-3y+5=0垂直的直线方程为3x+4y+b=0. 令x=0,得y=-,即A0,-;令y=0,得B-,0.

又因为三角形的周长为10,即OA+OB+AB=10,所以-+-+=10,解得b=±10,故所求直线方程为3x+4y±10=0.

5. 135°

6. 设N(x0,4x0)(x0>0),则直线MN的方程为(4x0-4)(x-6)-(x0-6)·(y-4)=0. 令y=0,得x=.

又>0且x0>0,所以x0>1,所以三角形面积S=·4x0·=≥102+2=40,当且仅当x0-1=,即x0=2时取等号,所以当N为(2,8)时,三角形面积S最小.

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