基础夯实：直线方程与两条直线的位置关系

周喻鸣

直线方程与两条直线的位置关系是高考考查的主要内容. 考查直线方程的特征值（例如斜率、截距）、直线的平行与垂直的条件，以及与距离有关的问题. 在选择题和填空题方面，大都属于中、低档题，考查直线的基本概念和几何要素；而在解答题方面，直线往往与圆、圆锥曲线综合考查，具有一定的灵活性. 同时，我们要了解直线的斜截式方程与一次函数的关系，对有关函数、不等式等代数问题能够借助直线方程进行解决，提高解题的综合运用能力，比较典型的是线性规划问题

（1）对于直线方程，重点是掌握其五种表达形式，难点是在具体的数学问题情境中正确选择直线的方程形式.

（2）对于两条直线的位置关系，重点是掌握平行和垂直关系，难点是点线对称问题. 若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则①l1∥l2？圳k1=k2，b1≠b2；②l1⊥l2？圳k1k2=-1. 若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则①l1∥l2？圳A1B2-A2B1=0，A1C2-A2C1≠0；②l1⊥l2？圳A1A2+B1B2=0.

（1）分类讨论思想：由于有的直线不存在斜率，所以在解答直线方程问题时，我们往往要分类讨论直线斜率是否存在，避免漏解.

（2）数形结合思想：“数缺形时难直观”，数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维相结合，使数学问题化抽象为具体. 将二元一次方程（即直线的方程）用直线表示，可以形象直观地看到直线的几何特性，从而为解题指出正确的方向，尤其对于最值问题和对称问题.

（3）设直线方程的一些常用技巧如下：

①若直线在y轴上的截距为b，则设其为y=kx+b.

②若直线在x轴上的截距为a，则设其为x=my+a其中m=.

③若直线存在斜率k，则设其为y=kx+b.

④若直线过点P（x0，y0），则设其为y-y0=k（x-x0）.

⑤若与直线Ax+By+C=0平行，则设其为Ax+By+C′=0（C≠C′）.

⑥若与直线Ax+By+C=0垂直，则设其为Bx-Ay+C′=0.

⑦若与直线y=kx+b平行，则设其为y=kx+b′（b≠b′）.

⑧若与直线y=kx+b（k≠0）垂直，则设其为y=-x+b′.

（4）转化思想：将直线几何问题代数化，用代数的语言描述直线的几何要素及其关系，几何问题转化为代数问题；将代数问题几何化，用直线的几何特性理解二元一次方程，将代数问题转化为几何问题.

例1 （2014年高考福建卷）已知直线l过圆x2+（y-3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则直线l的方程是（ ）

A. x+y-2=0 B. x-y+2=0

C. x+y-3=0 D. x-y+3=0

思索 与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+C′=0；若直线l1和直线l2存在斜率k1，k2，则l1⊥l2？圳k1·k2=-1.

破解1 因为直线l与直线x+y+1=0垂直，所以设直线l的方程为x-y+C=0（C为待定的系数）. 又因为直线l过圆心（0，3），所以0-3+C=0，即C=3. 所以直线l的方程为x-y+3=0. 故选D.

破解2 直线x+y+1=0的斜率k= -1，所以直线l的斜率kl=1. 因为直线l过点（0，3），所以直线l的方程为y-3=1·（x-0），即x-y+3=0. 故选D.

思索 对于直线ax+y+2=0，容易发现其恒过定点（0，-2），所以可以利用数形结合思想解决问题. 另外要注意得出范围-，这种常见错误.

破解 由直线ax+y+2=0恒过定点M（0，-2），及kMA=-，kMB=. 因为直线的斜率为-a，故-a>-，且-a<，所以a∈-，. 故选B.

例3 已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a>0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）

A. （0，1）

B. 1-，

C. 1-，

D. ，

思索 根据题意画出图形，根据面积相等得出a，b的关系式，然后求出b的取值范围.

破解 由题意画出示意图.

由图可知，直线BC的方程为x+y=1，由x+y=1，y=ax+b解得M，.可求得N（0，b），D-，0. 因为直线y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分，所以S△BDM=S△ABC. 又S△BOC=S△ABC，所以S△CMN=S△ODN，即×-×b=×（1-b）×，整理得=. 所以=，所以-1=，所以=+1，即b=.

可以看出，当a增大时，b也增大.当a→+∞时，b→，即b<；当a→0时，直线y=ax+b接近于y=b，当y=b时，如图2，===. 所以1-b=，所以b=1-. 所以b>1-. 由上分析可知1-

例4 （2014年高考四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则PA+PB的取值范围是（ ）

思索 可根据直线方程分别确定定点A，B的坐标，根据两条动直线的方程可知两直线垂直，从而可确定点P满足的条件，最后根据基本不等式求PA+PB的取值范围.

破解 由动直线x+my=0知定点A的坐标为（0，0），由动直线mx-y-m+3=0知定点B的坐标为（1，3），且两直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动.

当点P与点A或点B重合时，PA+PB取得最小值，（PA+PB）min=AB=.

当点P与点A或点B不重合时，在Rt△PAB中，有PA2+PB2=AB2=10. 因为PA2+PB2≥2PA·PB，所以2（PA2+PB2）≥（PA+PB）2，当且仅当PA=PB时取等号. 故PA+PB≤=×=2.

所以≤PA+PB≤2，选项B正确.

例5 已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.

思索 对于该题，命题者表面呈现给我们的是考查函数与方程，实质上是考查直线方程和数形结合的思想. 第一步，作出函数的图象；第二步，认识到函数y=kx-2的图象就是直线，该直线的几何特性就是斜率为k，在y轴上的截距为-2；第三步，分析k值发生变化时两个函数图象的交点个数，确定有两个交点时k的取值范围.

破解 由已知可得函数=，从而化简得函数y=x+1，x<-1或x>1，-x-1，-1

因为函数y=kx-2的图象是一条在y轴上的截距为-2（即过点P（0，-2））的直线l，要使直线l与函数y=的图象有两个不同的交点，则直线l既与线段CD（不含端点）相交，又与射线BA相交，所以0

1. 直线y=x+与圆心为D的圆x=+cosθ，y=1+sinθ（θ∈[0，2π））交于A，B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（ ）

A. π B. π

C. π D. π

2. 已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2）和B（a，-1），且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2x+by+1=0，且直线l2与直线l1平行，则a+b等于（ ）

A. -4 B. -2 C. 0 D. 2

3. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0和x-7y-4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）

B. -2？摇？摇？摇？摇？摇？摇C. 0？摇？摇？摇？摇？摇 D. 2

4. 与直线4x-3y+5=0垂直，且与两坐标轴围成的三角形的周长为10的直线方程为_______.

5. 函数y=asinx-bcosx（ab≠0）的一条对称轴的方程为x=，则以向量c=（a，b）为方向向量的直线的倾斜角为________.

6. 已知射线l：y=4x（x>0）和点M（6，4），在射线l上求一点N，使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小.

参考答案

1. C

2. B

3. A

4. 可设与4x-3y+5=0垂直的直线方程为3x+4y+b=0. 令x=0，得y=-，即A0，-；令y=0，得B-，0.

又因为三角形的周长为10，即OA+OB+AB=10，所以-+-+=10，解得b=±10，故所求直线方程为3x+4y±10=0.

5. 135°

6. 设N（x0，4x0）（x0>0），则直线MN的方程为（4x0-4）（x-6）-（x0-6）·（y-4）=0. 令y=0，得x=.

又>0且x0>0，所以x0>1，所以三角形面积S=·4x0·=≥102+2=40，当且仅当x0-1=，即x0=2时取等号，所以当N为（2，8）时，三角形面积S最小.