勾股定理证明的“再生”

张景中

一根磁铁棒截为两段，在截断的地方会产生两个新的磁极，变成两根磁铁棒；一条蚯蚓截为两段，在截断的地方会长成两个肛门，变成两条蚯蚓，有人把这些现象叫做“再生”. 一个几何定理的证明，把图形剪掉一半，从剩下的半个图形中还能找出这个定理的证明吗？如果可以，我们不妨称它为“再生的证明”.

勾股定理是几何学的一块重要基石，它的证明方法多达300余种. 最古老的证法（如图1）巧妙地利用了一大一小两个正方形的面积之差. 这种证法，变种极多，影响甚广而且众所周知，这里便不再赘言. 而在这众多证法中，居然有一个出自美国总统——加菲尔德之手. 具体证法如下：

上述证明虽然再生了，但并不理想. 这个证明没有总统的证法简洁，而总统的证法没有古老证法明快，再生之后，质量退化了！退化的原因大概是“近亲”繁殖，缺乏新鲜血液吧！两次再生过程，都不过是面积折半，如法炮制，没有新的思想注入.

能不能使再生的证明质量超过上一代呢？再生，不一定非得把图形剪掉一半不可. 壁虎尾巴脱落后可以再长一条出来，海星的部分肢体可以长成又一个小海星，这些也是再生. 那么，证明中所用的图形，取其部分以构成新的证明也不妨称之为“再生的证明”吧！

图4大家很熟悉，它表明了古希腊数学家毕达哥拉斯的一种证法，也是欧几里得《几何原理》中所载的勾股定理的证法. 现行教材中，普遍介绍了这个证法：

这个证明的出发点是在Rt△ABC三边上各作正方形，证明斜边上的正方形是两腰上正方形面积之和. 但在证明过程中，又是把每个正方形各取其半来比较. 既然各取其半可以，各取也可以，各取可以，当然各取n倍也可以！不过，最方便的是取哪一部分呢？

在以AB，BC，AC为边的正方形上分别附贴△ABC，△CBD和△ACD，这样便形成了三个彼此相似的三角形. 于是，要证两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，只需证 .

我们干脆把三个正方形剪掉，留下A，B，C，D这四个点构成的图形，以此为基础，可再生出一个证法：

如图5，自△ABC的直角顶点C向斜边AB作高CD，易证△ABC，△CBD和△ACD相似，根据“相似三角形的面积与对应边的平方成正比”，设k>0，可得S△BCD=kBC2，S△ACD=kAC2，S△ABC=kAB2. 再由S△BCD+S△ACD=S△ABC得

上述再生的证明已经隐去了它的原形，并且比原证明更简洁、明快，在许多勾股定理的证明中，它应该说是最简单的了. 因为图5的证法要用相似三角形的话需要做较多的准备，而这个证明只用到了全等三角形和三角形内角和公式.

在几何学习中，一题多证、一例多变是启迪思维和活跃学习气氛的有效方法之一. 对几个重要的定理、例题和习题，从一种解法演化出几种解法往往比分别孤立地介绍几种解法更易引起思维共鸣，对同学们的帮助更大，因为它着眼于几何图形的联系和变化，引导同学们从学习走向创造.endprint