圆锥曲线综合问题

洪朝晖

圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点，它常与函数、方程、导数、不等式、数列、平面向量等内容交叉渗透，知识跨度大，题型新颖别致、解法灵活，思维抽象强，能力要求高，它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题，在高考中占据着举足轻重的地位.近些年，高考对圆锥曲线的考查总体难度有所降低.

重点难点

重点：熟练掌握求曲线方程的常用方法，会根据曲线方程研究平面曲线的性质，主要涵盖动点的轨迹问题、定点定值问题、参数取值范围和最值问题、探究性问题（或存在性问题）以及与向量相关的问题等诸多方面的综合应用.解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和推理论证能力，涉及数形结合、分类讨论、函数与方程等诸多思想的应用.

难点：正确选择转化技巧，有效地将平面几何问题转化为代数问题，用函数和不等式知识解决圆锥曲线综合问题.需要强调的是，突破计算瓶颈也是求解圆锥曲线综合问题的难点.

方法突破

1.运用方程的思想方法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题

圆锥曲线综合题大多涉及直线与圆锥曲线的位置关系，一般给出直线和圆锥曲线的方程，涉及直线与圆锥曲线的交点、弦长、中点弦等问题，可转化为一元二次方程的有关问题求解，利用韦达定理进行整体处理可简化运算.

2.运用函数的思想解决和圆锥曲线有关的取值范围、最值问题

对圆锥曲线上一些动点、动直线，在变化过程中会引入一些相互联系制约的量，从而使一些点的坐标、线的长度、图形的面积及a，b，c，e，λ等之间构成函数关系，利用函数的思想（求值域、最值等）处理这类问题很有效.特别是解决直线与圆锥曲线中的取值范围和最值问题，恰当地选择参数（点的坐标、直线的斜率、离心率、比值λ等）为变量，将所求代数式表示为参数的函数，求取值范围或最值.

3.运用坐标变换的思想方法解决向量与圆锥曲线的交汇问题

圆锥曲线的基本思想方法是坐标法，根据条件建立坐标系后，点的坐标变化可反映运动的变化规律，而向量也有坐标形式，因此，有些几何关系就可以用坐标的形式来表示，并通过坐标的运算来求解问题.

4.运用特殊与一般的思想方法解决圆锥曲线中定值、定点问题

在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题. 解决这类问题，要善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，解题思路有两种：一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参数变量，用题中已知量和参数变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再由韦达定理得出所求定值关系需要的表达式，并将其代入关系式，化简、整理，可得结果；另一种思路是通过特殊化，考察极端位置，探索“定值”是多少，用特殊法（特殊值、特殊位置、特殊图形）先确定其定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式，证明该式是定值.这种处理问题的方法也为一般情形提供了解题思路.

恒过定点在解析几何中主要以两种形式呈现：点斜式方程和过定点的直线系或曲线系方程，只要将直线或曲线方程求出即可判定.

典例精讲

例1 （2014年高考天津卷）设椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B. 已知AB=F1F2，

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率.

思索 （1）由已知条件AB=F1F2可得关于a，b，c的等式，再根据椭圆中a，b，c的关系，联立消去b即可得离心率e. （2）先根据（1）设出椭圆的方程和点P的坐标，利用P在椭圆上及PB为直径这两个条件联立方程组，将点P的坐标用c来表示，即可求得圆的直径PB=2r；再根据题意设出直线l的方程：y=kx；最后根据圆心到直线的距离d=r就可求得直线l的斜率k.

破解 （1）设椭圆的右焦点F2的坐标为（c，0）. 由AB=F1F2，可得a2+b2=3c2，又b2=a2-c2，则=.所以，椭圆的离心率e=.

（2）由（1）知a2=2c2，b2=c2. 故椭圆的方程为+=1. 设P（x0，y0）. 由F1（-c，0），B（0，c），有=（x0+c，y0），=（c，c）. 由已知，有·=0，即（x0+c）c+y0c=0. 又c≠0，故有x0+y0+c=0 ①. 又因为点P在椭圆上，所以+=1 ②.

由①和②可得3x+4cx0=0. 而点P不是椭圆的顶点，故x0=-，代入①得y0=，即点P的坐标为-，.设圆的圆心为T（x1，y1），则x1==

-c，y1==c，进而圆的半径r==c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx. 由l与圆相切，可得=r，即=，整理得k2-8k+1=0，解得k=4±.

所以，直线l的斜率为4+或4-.

例2 （2014年高考江西卷）如图1，已知双曲线C：-y2=1（a>0）的右焦点F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：-y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N. 证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.

思索 （1）设出点F（c，0），写出双曲线的渐进线方程，根据条件用直线方程解得点A，B的坐标后，再由AB⊥OB解得a. （2）先由直线AF的方程及直线l的方程解得其交点M的坐标，同样联立直线x=及直线l解得B的坐标，再计算是一个与x0，y0无关的定值.

破解 （1）设F（c，0），因为b=1，所以c=. 直线OB的方程为y= -x，直线BF的方程为y=（x-c），解得B，-. 又直线OA的方程为y=x，则Ac，. 所以kAB=. 又因为AB⊥OB，所以-=-1，解得a2=3. 故双曲线C的方程为-y2=1.endprint

（2）由（1）知a=，则直线l的方程为-y0y=1（y0≠0），即y=. 因为直线AF的方程为x=2，所以直线l与AF的交点M2，，直线l与直线x=的交点为N，. 则=. 因为P（x0，y0）是C上一点，所以-y20=1. 将其代入上式得===，故所求定值=.

例3 （2014年高考山东卷）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有FA=FD. 当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形.

（1）求C的方程；

（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（i）证明：直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ii）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

思索 （1）根据已知条件和抛物线的定义，易求抛物线的标准方程. （2）对于第（i）小问，因A点位置的改变，引起直线l的变化，导致公共点E的变化，故可将直线AE的方程表示为点A坐标的点斜式方程，再判定直线恒过定点. 对于第（ii）小问，设出B点坐标，运用点到直线距离的公式，求出B点到直线AE的距离，进而将△ABE的面积表示为B点坐标的函数关系，最终转化为求函数的最值.

破解 （1）由题意知F，0，设D（t，0）（t>0），则FD的中点为，0. 因为FA=FD，由抛物线的定义知3+=t-，解得t=3+p或t=-3（舍）. 由=3，解得p=2. 所以抛物线C的方程为y2=4x.

（2）（i）由（1）知F（1，0），设A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）. 因为FA=FD，则xD-1=x0+1，由xD>0，得xD=x0+2，故D（x0+2，0）. 故直线AB的斜率kAB=-. 因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y=-x+b，代入抛物线的方程得y2+y-=0. 由题意，Δ=+=0，得b=-. 设E（xE，yE），则yE=-，xE=. 当y≠4时，kAE==-=，可得直线AE的方程为y-y0=（x-x0），由y=4x0，整理可得y=（x-1），直线AE恒过F（1，0）. 当y=4时，直线AE的方程为x=1，过F（1，0）. 所以直线AE过定点F（1，0）.

（ii）由（i）知，直线AE过焦点F（1，0），所以AE=AF+FE=（x0+1）++1=x0++2. 设直线AE的方程为x=my+1，因为点A（x0，y0）在直线AE上，故m=. 设B（x1，y1），直线AB的方程为y-y0=-（x-x0），由于y0≠0，可得x=-y+2+x0，代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0. 所以y0+y1=-，可求得y1=-y0-，x1=+x0+4. 所以点B到直线AE的距离为：

d===4+，则△ABE的面积S=×4+x0++2≥16. 当且仅当=x0，即x0=1时等号成立. 所以△ABE的面积的最小值为16.

变式练习

1. （2013年江西高考）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）

A. B. -

C. ± D. -

2. 已知抛物线y2=4x，过焦点F的弦与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则AC+BD的最小值为________.

3. （2014年高考安徽卷） 设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0

4. 已知双曲线-=1（a>0，b>0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p>0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若已知双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于（ ）

A. 1B. C. 2D. 3

5. 设椭圆+=1（a>b>0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点， 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点. 若·+·=8，求k的值.

参考答案

1. B 2. 2 3. x2+=1

4. C

5. （1）+=1.

（2）k=±.