2014年高考山东数学文科卷21题的探究

王敏

题目 在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，直线y=x被椭圆C截得的线段长为4105.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点，

（ⅰ）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值;

（ⅱ）求△OMN面积最大值.

通过探究，可以将本题的结果推广到更一般情形.

定理 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴，y轴分别交于M，N两点，（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，则存在常数λ=1-2e2，使得k1=λk2;（2）三角形OMN面积的最大值是c44ab.

证明 设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则有B（-x1，-y1）.

直线AB的斜率kAB=y1x1，由AD⊥AB，知直线AD的斜率k=-x1y1.

设直线AD的方程为y=kx+m，由条件知k≠0，m≠0.

联立x2a2+y2b2=1，

y=kx+m，消去y，整理得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.

有x1+x2=-2a2kma2k2+b2，

y1+y2=k（x1+x2）+2m=2mb2a2k2+b2.

由条件知x1≠-x2，k1=y1+y2x1+x2=-b2a2k=b2y1a2x1，

则直线BD的方程为y+y1=b2y1a2x1（x+x1），

令y=0，得x=a2-b2b2x1，即M（a2-b2b2x1，0），

k2=y1x1-a2-b2b2x1=b22b2-a2·y1x1，

从而k1=2b2-a2a2k2.

所以存在常数λ=2b2-a2a2=1-2e2（e为椭圆的离心率），使得k1=λk2.

（2）由BD的直线方程y+y1=b2y1a2x1（x+x1），分别令x=0，y=0得坐标Ma2-b2b2x1，0，Nb2-a2a2y1，0，则S△OMN=12|OM|·|ON|=（a2-b2）22a2b2|x1y1|=c42a2b2|x1y1|（c2=a2-b2），由x21a2+y21b2=1，根据基本不等式得|x1y1|≤ab2.

因而S△OMN=c42a2b2|x1y1|≤c44ab.即三角形OMN面积的最大值是c44ab.