一道课本例题的探究与应用

课本是重要的教学资源，例题是数学教材的重要组成部分，是教材的精华，颇受高考命题专家的青睐.数学教师应充分对例题进行探究，挖掘其应用价值.著名数学家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”下面通过一道课本例题的探究谈一谈如何“立足课本，对接高考”.

1 题目呈现

题目 （人教A版《数学〈选修2-1〉第41页的例3）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-49，求点M的轨迹方程.

2 题目探究

探究1 设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-b2a2，求点M的轨迹方程，点M的轨迹是什么？

结论1 与两定点A（-a，0），B（a，0）连线的斜率之积等于定值-b2a2

的点M的轨迹方程是x2a2+y2b2=1（x≠±a）.

情形1：当a>b>0时，点M的轨迹是以AB为长轴的椭圆，除去A，B两点.

情形2：当b>a>0时，点M的轨迹是以AB为短轴的椭圆，除去A，B两点.

情形3：当a=b>0时，点M的轨迹是以AB为直径的圆，除去A，B两点.

探究2 结论1的反面是什么？是否成立？

结论2 椭圆x2a2+y2b2=1上两个顶点（-a，0），（a，0）与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为定值-b2a2.

探究3 类比“圆中任一条直径所对的圆周角是直角”，将结论2中的两顶点换成经过椭圆中心的任意一条弦的两端点，结论是什么？结论是否成立？

结论3 椭圆x2a2+y2b2=1上任意经过中心的弦的两个端点与椭圆上任一点（除这两点外）连线斜率之积为定值-b2a2.

探究4 将“圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？

结论4 过椭圆x2a2+y2b2=1的中心平分该椭圆弦的直线与弦所在的直线的斜率之积为定值-b2a2.

探究5 将“圆的切线定理：过切点的直径垂直于过该切点的圆的切线”类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？

结论5 过椭圆x2a2+y2b2=1上一点与中心连线的直线的斜率与椭圆在该点处切线的斜率之积为定值-b2a2.

当然，可将以上椭圆中的结论类比到双曲线中，探究其是否成立.（限于篇幅，留给读者探究总结）

3 对接高考

例1 （2013年高考全国大纲卷（理科）第8题）

椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）.

A.12，34 B.38，34

C.12，1 D.34，1

解析 由结论2得，kPA1·kPA2=-34，所以kPA1=-34kPA2（-2≤kPA2≤-1）.因为kPA1单调递增，所以38≤kPA1≤34，故选B.

例2 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷（理科）第10题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为（1，-1）则E的方程为（ ）.

A.x245+y236=1 B.x236+y227=1

C.x227+y218=1 D.x218+y29=1

解析 由结论4得：-b2a2=-12，所以a2=2b2.又a2=b2+9，所以b2=9，a2=18，选D.

例3 （2013年高考全国新课标卷Ⅱ（理科）第20题第⑴问）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦点的直线x+y-3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.求M的方程.

解析 由结论4得，-b2a2=12×（-1），所以a2=2b2.又直线x+y-3=0过焦点（c，0），所以c=3，即a2-b2=3，所以a2=6，b2=3，点M的轨迹方程为x26+y23=1.

例4 （2013年高考北京卷（理科）第19题第（2）问）已知A、B、C是椭圆W：x24+y2=1上的三个点，O是坐标原点.当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

解析 四边形OABC不可能为菱形.理由如下：

假设四边形OABC为菱形，则对角线OB与AC互相垂直且平分于点M，于是kOB·kAC=-1.又由结论4知，kOM·kAC=-14.因为kOM=kOB，所以kOB·kAC=-14.因为-14≠-1，所以假设不正确.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.

例5 （2013年山东卷（理科）压轴题）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

（1）求椭圆C的方程;

（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设∠F1PF2

的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围;

（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

解析 （1）x24+y2=1（过程略）.

（2）设P（x0，y0）（y0≠0）.

当x0=0时，m=0.

当x0≠0时，由结论5知kOP·k切=-14，所以k切=-x04y0.

由椭圆光学性质知kPM·k切=-1，所以kPM=4y0x0，所以∠F1PF2的角平分线PM的方程为y-y0=4y0x0（x-x0），令y=0得m=34x0（-2<x0<0或0<x0<2）.综合上述得-32<m<32.

（3）由题意，设P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）.

由结论5知，kPM·k切=-14，所以k=k切=-x04y0，而k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，所以1k1+1k2=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-4y0x0·2x0y0=-8.

例6 （2013年高考山东卷（理科）压轴题的一般化）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.

（1）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围;

（2）在（1）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

解析 （1）由题意，设P（x0，y0）（y0≠0）.

当x0=0时，m=0.

当x0≠0时，由结论5知kOP·k切=-b2a2，所以k切=-b2x0a2y0.

由椭圆光学性质知，kPM·k切=-1，所以kPM=a2y0b2x0，所以∠F1PF2的角平分线PM的方程为y-y0=a2y0b2x0（x-x0）.

令y=0得m=x0-b2a2x0=a2-b2a2x0（-a<x0<0或0<x0<a），

综合上述得-a2-b2a2<m<a2-b2a2.

（2）由题意，设P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）.

由结论5知，kOP·k切=-b2a2，k=k切=-b2x0a2y0，而k1=y0x0+c，k2=y0x0-c，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-a2y0b2x0·2x0y0=-2a2b2.

4 教学启示

4.1 注重对课本例题教学价值的挖掘.

课本例题具有示范性，通过例题教学，帮助学生深究教材例习题，挖掘其潜在功能，发挥其使用价值，对激发学生的探索兴趣，培养学生的解题能力，发展学生的创造性思维，都具有积极的作用.

42 立足教材，高效备考.

新课程提倡教师在教学中对课程资源进行开发和利用，教材是教师进行教学的主要资源，是学生能力的生长点，是高考命题的主要依据.立足教材，开发教材，做透教材中的典型例题和习题，善于在高考题中寻找教材题目的原型，探索高考试题与教材题目的结合点，打通教材与高考的通道，对接高考，才能最终实现在高考复习中跳出题海，高效备考.

作者简介 张立政，男，1964年生，山西孝义人，山西省中学数学特级教师，主要从事中学数学教育与教学研究.