对教科书上分期付款问题算法的质疑

甘志国

全日制普通高级中学教科书（必修）《数学·第一册（上）》（2006年人民教育出版社）（下简称《教科书第一册（上）》）第144—145页的“研究性学习课题：数列在分期付款中的应用”：

你知道分期付款吗？自己动手搜集一些分期付款的材料，了解有关的规定与例子，并对例子进行分析.与同学交流找到的材料.

下面是与分期付款有关的一个问题.

某银行设立教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息（利息按月以复利计算）.如果贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575%，那么每月应还多少钱呢？

我们来共同探究一下.

1.按照规定，偿还贷款既要偿还本金，还要支付利息.在上述问题中，到贷款两年（即24个月）付清时，10000元贷款的本金与它的利息之和是多少呢？我们可以通过填表来回答：

2.设每月还x元.各月所付款额到贷款全部还清时也会产生利息（同样按月以复利计算）.各月所付款额与它的利息之和是多少呢？我们也可以填表回答.

3.到期偿还贷款意味着什么？你能根据1，2中的结果计算每月所付的款额吗？

一般地，采用上述分期付款方式贷款a元，m个月将贷款全部付清，月利率为r，那么每月付款款额的计算公式是什么？请同学们自己推导.

你还可以再找一些问题进行探究，并与同学交流.

下面由与《教科书第一册（上）》配套使用的《教师教学用书》的叙述给出以上一般问题即分期付款问题的解答：

（1）起初的贷款a元到第m个月末产生的本利和是a（1+r）m.

（2）设每月末均还款x元，则第1，2，…，m-1，m个月末的还款x元到第m个月末所得本利和分别是x（1+r）m-1，x（1+r）m-2，…，x（1+r），x元，所以所有还款到第m个月末产生的本利和是

x（1+r）m-1+x（1+r）m-2+…+x（1+r）+x=x·（1+r）m-1r.

（3）由公平原则，得a（1+r）m=x·（1+r）m-1r，x=ar（1+r）m（1+r）m-1.

即每月末均应还款ar（1+r）m（1+r）m-1元.

以上分期付款问题的解答，也可见http：//baike.baidu.com/view/89116.htm，计算机教材Excel中介绍的还贷款额函数PMT也是用这种方法来计算的（见笔者著《初等数学研究（I）》（哈尔滨工业大学出版社，2008）第640—651页）.这说明了这种计算方法具有普遍性.

但笔者对这种算法还是要提出质疑.

请先看中国人民银行2011年7月7日公布的人民币贷款利率表（即表1，见http：//www.boc.cn/finadata/lilv/fd32/201107/t20110706_1444099.html）及人民币存款利率表（即表2，见http：//www.boc.cn/finadata/lilv/fd31/201107/t20110706_1444098.html）：

以上分期付款问题解答的第（1）步是没有问题的.但第（2）步中的m次还款到第m个月末的利息应按存款算但以上是按贷款算的（一般来说，期限相同的存款利率比贷款利率低，见以上表1、表2），并且期限增加时利率不会降低（存款、贷款都是如此，见以上表1、表2），但以上m次还款的存款利息的利率均是按更长期限的m个月的贷款利息的利率算的，所以第（3）步的等式是没有理由的，得到的结论应当是

a（1+r）m>x·（1+r）m-1r，

x>ar（1+r）m（1+r）m-1.

即等额还款时每月末的还款额均应多于ar（1+r）m（1+r）m-1元，以上算法使银行（国家）吃亏了.

我们用以上新思路来解答以下实际问题：

问题1 干老师因工作需要已于2012年7月调入首都北京某示范高中任教，决定在2012年末向银行贷款100万元人民币（期限六年）马上购买一套住房，还款计划是在2013年末、2014年末、……、2018年末均还款x万元使这笔贷款还清，请按表1、表2求出x.

解 （1）由表1得，2012年末贷款的100万元到2018年末产生的本利和是

100（1+0.0705）6=150.494293（万元）.

（2）按表2中的整存整取利率可得，6次均还款的x万元到2018年末产生的本利和共是

x（1+0.0550）5+x（1+0.0500）4+

x（1+0.0500）3+x（1+0.0440）2+x（1+0.0350）+x=6.805027x.

（3）列方程求解：

6.805027x=150.494293，

x=22.115165.

即每年末应还款22.115165万元.

注 若按通常的分期付款问题的解答，可算得每年末应还款

100×0.0705（1+0.0705）6（1+0.0705）6-1=21.011974（万元）.

后者比前者要少1.1万元以上.

普通高中课程标准实验教科书《数学5·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第3版）（下简称《必修5》）第62页的最后一道题是：

5.购房问题：某家庭打算在2010年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2004年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到2010年底连本带息共有40万元.如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存入多少钱？

笔者把这道题改编为：

问题2 （1）某家庭打算在2012年末向银行贷款100万元人民币（期限六年）马上购一套商品房，为此，计划在2013年末、2014年末、……、2018年末均还款x万元使这笔贷款还清，请按表1、表2求出x;

（2）某家庭打算在2018年末购一套商品房，为此，计划在2013年末、2014年末、……、2018年末均存入购房专用款x万元人民币，为使这笔款到2018年末连本带息共有150.494293万元，请按表2求出x.

解 （1）由问题1的解答知x=22.115165，即每年末应还款22.115165万元.

（2）由问题1的解答知x=22.115165，即每年末应存入22.115165万元.

注 法（1）是还款，法（2）是存款，两者数额相同、“方式”不同，法（2）就比法（1）早六年获得那套价值不菲的商品房.虽说房屋有折旧，但比起昂贵的房租、房价上涨较存款利息高很多来说，就是“贷款划算，存款吃亏”.在问题2（2）中，若按通常的分期付款问题的解答，每年末只还款21.011974万元，这更是不合理！

笔者还不知道国家有关金融部门计算分期付款问题时，是否有与以上教科书中算法一致的情形？若有的话，金融部门应尽快调整分期付款问题的算法，以免国家造成不必要的损失.