特征函数的梯度估计

李上达, 周振荣

(1.湖北中医药大学 信息工程学院, 武汉 430065;2.华中师范大学 数学与统计学学院, 武汉 430079)



特征函数的梯度估计

李上达1, 周振荣2*

(1.湖北中医药大学 信息工程学院, 武汉 430065;2.华中师范大学 数学与统计学学院, 武汉 430079)

特征值; 特征函数; 梯度

定理1如果M是n维黎曼流形,Ba(x)是M中以x为中心、以a为半径的球.对于充分小的a,如果在Ba(x0)上有Ric(M)≥-κ,κ≥0,Δu=-λu,u>0,则有

其中,x0∈M是任意一点.

1 定理的证明

证明分3步进行.

首先,运用Bochner 公式,有(Δu=-λu)

(1)

固定一点p,并在附近选取适当的标架,使得ui(p)=0(i≥2),u1(p)=(u)(p),所以有

故有

(2)

令

Δ|u|2=2|u|Δ|u|+2||u||2,

(3)

由(1)和(2)得

取δ2=mλ,其中,m>1,则

令m=n,则

于是有

(4)

直接计算得

(5)

Δ|u|=uΔφ+φΔu+2φu=

uΔφ-λφu+2φu,

由此得以及(4)得

对任意的ε>0,则由(6)得

(6)

代入(6)得

最后有

(7)

在Ba(x0)中考虑函数

其中,ρ是从x0算起的距离.注意F|∂Ba=0,如果u=/ 0,则F(x)必在Ba(x0)的内部达到极大值,并在极大值点上有u=/ 0.至于u≡0的情况,定理的结论自然成立.

设x1∈Ba(x0)为F(x)的极大值点.如果a充分小,则可使x1不是x0的割点,则由极大值原理有

F(x1)=0,

(8)

ΔF(x1)≤0.

(9)

在x1处,(8)为:

(10)

而(9)为:

(11)

将(10)代入(11)式得

(12)

(13)

其中,C是仅与n有关的常数.将上述估计代入(12)得

(14)

但在点x1处(10)成立,所以有

(15)

将(15)代入(14)得

(16)

把上式两端乘以(a2-ρ2)2,由于F=(a2-ρ2)φ,则在x1点有

其中,C1,C2是仅与n有关的常数,因此有

此时分两种情况计论：

(17)

因此当限制在Ba/2(x0)上时有

即

定理1得证.

2 推论

由定理1,很容易得到如下推论:

推论1如果M是n维黎曼流形,Ba(x)是M中以x为中心、以a为半径的球.如果在M上有Ric(M)≥-κ(κ≥0),Δu=-λu,u>0,则对于充分小的a有

其中,x0∈M是任意一点.

[1]ChoiHI,WangAN.Afirsteigenvalueestimateforhypersurfaces[J].JDiffGeom, 1983, 18: 559-562.

[2]KotaniM.Thefirsteigenvalueofhomogeneousminimalhypersurfacesinaunitsphere[J].TohokuMathJ, 1985, 37:523-532

[3] 丘成桐,孙理查.微分几何讲义[M].北京:高等教育出版社,2004.

An estimate of the gradients of some eigen-functions

LI Shangda1, ZHOU Zhenrong2

(1.Information Engineering College, Hubei University of Chinese Medicine, Wuhan 430065;2.School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan 430079)

eigenvalue; eigenfunction; gradient

2014-08-29.

国家自然科学基金项目(10871149).

1000-1190(2015)02-0182-04

O186

A

*通讯联系人.E-mail:zrzhou@mail.ccnu.edu.cn.