类比推理让规律探究更深入——由一则教学案例谈起

类比推理让规律探究更深入
——由一则教学案例谈起

☉陕西师范大学出版总社中学数学教学参考编辑部 潘红玉

类比是一种数学思想，也是数学基本方法.它是由数学基本思想——“推理”派生而来.按推理过程的思维方向划分，主要有三种形式，即类比推理、归纳推理和演绎推理.其中类比推理是指将新事物与已知事物之间的某些方面作类似比较，找出它们之间的相同点与相似点，并以此为依据，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，通过推理等论证方法，推论出它们的其他属性或规律，以及可能相同或相似的结论.类比推理对学生数学素养的提高、思维品质的改善、创新意识的培养等有着独特的地位与作用.教学中若能巧妙运用，有时能起到严格的逻辑推理所不能达到的效果.

我们知道，数学知识的产生与发现是经过人们大量的艰苦探索得到的.而数学规律由于其内在的“无限魅力”更受到人们的景仰与追求！故而，教学中我们要努力摒弃重复机械，将学生的学习活动营造为一个不断探索知识、追求真知的研究性过程，以使学生在这样的教学氛围中，满足自己的好奇心和求知欲，并且体会到自己作为一个研究者、发现者和探索者的成功.而“类比推理”在数学规律探究过程中的应用性教学，非常适合给学生营造这样的教学氛围.

一、案例及赏析

案例：有多少个三角形？

学生在小学已有学习三角形的基础，进入初中后，在八年级上半学期进一步学习了认识三角形的相关特征后，教师出示了下列问题，引导学生进行规律探究：如图1，下列各个图形中各有多少个三角形？请说说你的发现过程.

图1

（约3分钟后，师生探讨）

教师：括号中依次填的结果是多少？

学生1：前面三个填的分别是3、6、10，最后一个无法填出来.老师，三个点表示有多少条线段呢？

教师：你提出了一个很实际的问题.第1个三角形中有1条线段，第2个三角形中有2条线段，第3个三角形中的三个点是数学中的省略号，有3条线段，最后一个三角形中的三个点是数学中的省略号，表示有n条线段.

学生（众）：老师，我们还没有计算出来.

教师：好，那么请同学们说说前三个结果是如何得到的？

学生2：老师，我是一个一个地数出来的.

教师：你是如何数的呢？

学生2：老师，其实我是根据数线段的方法数出来的.

教师：数线段？好一个类比方法，不错！那么请你上来示范一下，你是如何数线段的.

（该生在老师的示意下进行了数线段示范）

教师：很好，那么同学们是如何想到数线段这种方法的？

学生3：其实很简单，一条线段就对应着一个三角形.线段有几条，三角形就有几个.

教师：好一个很简单，对！一条线段就对应着一个三角形.假如三角形内有4条线段，此时能够得到几个三角形？

学生3：我想想.嗯，就是15条，15个三角形.

教师：5条呢？

学生（众）：5条时，21个.

教师：6条呢？

学生（众）：28个.

教师：n条呢？

学生（众）：n条是……

学生4：老师等一会，我们会找到规律的！

教师：老师相信你们！同学们不妨在草稿纸上写一写、算一算，把结论推理出来.

（约2分钟后，部分同学举手）

教师：很好！请同学们说说你们发现的规律.

学生5：我是从具体的数据中发现这个规律的.三角形的个数分别是3，6，10，15，21，28，这样下去，后面一个是在前面的基础上相应地增加了3，4，5，6，7，按照这样的规律下去，最后一个图形中三角形的个数就是…….老师，我说不清楚了，我把它写出来吧.

教师：好，那么就请你上来把具体的过程写出来.

（该生在黑板上写出以下过程：设第n个图形中三角形的个数为an，则有：a1=3，a2=a1+3，a3=a2+4，a4=a3+5，…，an=an-1+（n+1），将上述等式左边分别相加，右边分别相加，左右两边相同的项互相抵消，就得到an=3+3+4+…+ n+（n+1），即an=1+2+3+4+…+n+（n+1），因此可得到an=n+1）（n+2））

案例赏析：三角形个数问题是一个经典的规律探索性问题.其本质上是和“数线段问题”完全一致的.学生在洞悉问题本质的基础上，形象直观地将“一条线段对应一个三角形”这个核心提炼出来.“数线段问题”早为学生所熟知，其蕴含的规律已被学生所掌握.通过类比，将问题由“数三角形问题”抽象成“数线段问题”，这是一次思维层面与深度的飞跃.学生通过对一系列等式的左右两边相加，类比推理并形成最终结论.教学中教师始终“站在学生的背后”，没有向学生暗示探索的方向，没有向学生提示探索的思路，而有的只是适时的追问与探索时空的充分给予，以及类比思想的有意渗透与类比方法的着意引导.学生在这样的课堂学习中，始终体验着作为一个探索者不断探索规律的乐趣，通过引导类比不断将规律探究引向更为深入的思维层面.

二、案例的启示

1.类比探究教学中要善于解析知识间的类比本质

事物间总是相互联系的.作为基础工具学科的数学更加关注概念、定理等的联系与区别.教学中，教师要着力解读规律探究问题本身所蕴含的题理与本质，找准与此相类似的、学生熟悉的解决手段或方法，并且寻找相对容易的问题载体，进行类比教学.如本例中，通过“一条线段对应一个三角形”这一核心联系点，从中解析出问题间的类比本质.教师利用课堂的随机发问引导学生进行深入的思考与探讨，揭示了图形中所蕴含的内在规律，这为学生顺利完成“有多少个三角形”的规律探究奠定了基础.其实这类问题与“同一条铁路线上有n个站，铁路部门需要论证决定几种不同的票价”问题的本质是一样的.因此在教学中教师要善于解析知识内在可以类比的本质，着力剖析知识间的联系点，施以恰当的类比推理，从而最终将问题从根本上获得突破与解决.

2.类比探究教学中要善于把握类比的教学时机

数学规律的探究要求学生能用不同的眼光观察新事物并从中发现问题，用自己独特而个性的思维方式进行探究，进而形成自己的个性化见解.但在探究进程中，由于学生的知识基础与探究能力的差距，一定程度上会出现“不知所措”的现象.此时教师该如何恰如其分地进行“出手”引路？如本案例中，当学生回答老师说是一个一个地把三角形数出来时，老师随即一问：“你是如何数的呢？”迫使学生说出“我是根据数线段的方法数出来的”这个类比关键.而当老师问到三角形内有n条线段可得到多少个三角形时，学生一下子“卡壳”了.老师倒是不急，一句“同学们不妨在草稿纸上写一写、算一算，把结论推理出来”，让学生动笔自己来推理得出结论.由此看来，类比推理教学时机的把握也是规律探究教学中应该关注的一个问题.这种智慧式的类比点拨与推理引导也体现了教师的教学素养.

3.类比探究教学中要善于推广探究成果

类比探究数学规律的教学作为一种题型教学，其问题本身的解决不是终极目标，而是要把规律探究过程中所采用的类比推理方法、手段或探究的成果充分运用到后续的学习过程和问题解决之中.在这个转化与运用过程中，教师必须充分考虑学生的可接受能力，以及学生的学习现状与已有的知识、能力基础，在学生的“最近发展区”与“认知水平基点”上借题发挥，设计出让学生进一步深入思考、解决的问题，并通过这些问题的跟进分析和解决，一方面巩固学生先前通过类比推理所获得的知识，另一方面也是对规律探究的成果作进一步拓展运用的新尝试.如本案例教学中，教师可作如下的教学跟进——握手问题：一次会议共有20名代表出席，若每位代表均与另外的代表握手一次，则所有代表一共握手多少次？其他如比赛的总场次问题等都是这一个模型.教学中要做好这方面的模型提炼，使之成为学生理解并掌握这一类问题解决的关键.

总之，在规律探究问题中运用类比推理进行教学，需要教师课前的精心预设、课中的智慧点拨与引导推进、课后的及时跟进与拓展.特别是教学实施时教师所采取的教学方式、方法显得尤为关键.因为类比推理这种思想可使规律探究教学实施更能体现出教学的智慧与高效，更能践行“充分激发学生自主进行探究性学习”的理念.

1.顾琰.类比，让认知自然延伸［J］.中学数学（下），2014（12）.

2.郦兴江.合作融入探究，实现教学目标有效达成［J］.中学数学教学参考（中），2014（12）.H