基于贝叶斯方法的高鲁棒性故障检测技术

蒋勇，赵作鹏，李跃新

（1.江苏联合职业技术学院信息技术系，江苏徐州221008；2.中国矿业大学计算机科学与技术学院，江苏徐州221008；3.湖北大学计算机与信息工程学院，湖北武汉430062）

基于贝叶斯方法的高鲁棒性故障检测技术

蒋勇1，赵作鹏2，李跃新3

（1.江苏联合职业技术学院信息技术系，江苏徐州221008；2.中国矿业大学计算机科学与技术学院，江苏徐州221008；3.湖北大学计算机与信息工程学院，湖北武汉430062）

摘要:故障检测在控制工程领域具有广泛的应用，而鲁棒性是衡量系统在故障检测时的不确定性的重要指标.为了提高鲁棒系统故障检测的能力，基于贝叶斯的基本原理对系统的故障和不确定性进行研究，提出一种基于贝叶斯方法的高鲁棒性故障检测方法.首先，对非线性系统的故障检测问题进行定义，分析参数空间的不确定性问题.其次，基于贝叶斯基本原理对参数空间的推导进行分析.最后，通过分析系统正常运行的参数空间与发生故障时的参数空间之间的成员关系来进行故障检测.实验表明，在四罐耦合系统中，提出的基于贝叶斯方法的故障检测技术在系统模型参数具有不确定性的条件下可以很好地进行故障识别.①

关键词:故障检测；鲁棒性；贝叶斯；集合成员关系

0　引言

在控制工程领域，鲁棒辨识技术［1］要求在获得设备的标称模型时还要对该模型的不确定性进行估计.标称模型的不确定性可以特征化为参数空间的一个区域，或者频率响应附近的一个不确定波段.早期，不确定性模型在健壮控制器的设计上得到了广泛的应用［2］.近年，研究人员应用不确定性模型进行

系统的故障检测［3］，在应用不确定性模型进行故障检测时，主要对不确定性区域和新的测量方法之间的一致性进行检测，当发现上述不一致性时，判定系统存在故障.对模型的不确定性进行建模的方法主要有两种：基于最差情况的确定性方法和随机/概率方法.关于模型的不确定性进行建模的详细论述可参见文献［4］.确定性方法主要是找到不缺性区域的硬边界，常用的方法有集合成员关系技术［5］和通过确定性方法对模型的误差进行建模［6］.随机方法，如非稳态随机植入法，主要是找到不确定区域的概率边界.最初随机方法被认为是不确定性建模的一种缺点，近年随着健壮风险适应控制器［7］和概率故障检测［8］方法的提出，通过随机方法对不确定性进行建模得到了越来越多的重视.

在应用随机方法对模型的不确定性进行建模时，研究人员从贝叶斯理论的角度出发对系统的识别进行了重新审视［9］.在基于贝叶斯理论的不确定性建模中，可以依据数据的后验分布对模型进行概率推理，具有很好的理论依据.然而由于计算后验分布需要非常大的计算量，因而该方法在实际应用中不多［10］.随着蒙特卡洛马尔科夫链技术的应用，可以通过模拟技术对贝叶斯的推理过程进行求解，因而大大提高了计算速度［11-12］.

本文中以贝叶斯方法为工具研究了集合成员关系的识别，并以此来进行系统故障的检测.分析集合成员关系模型的估计问题，通过贝叶斯方法来确定模型中的可行参数，并检测数据和模型之间的一致性.

1　基于贝叶斯的系统故障检测

1.1问题定义在故障检测中，当k=1,…,M时，非线性系统可表示为：

其中回归函数F(k,θ)是参数θ的非线性函数；参数θ∈Θo是一个nθ×1的向量；Θo为参数空间，并且包含a个参数值的先验边界；e(k)为未知的误差项，并且满足|| e(k)≤σ(k) .

包含M个输入/输出的非线性系统中，参数估计是确定与这些数据相一致的参数空间的区域［13］.这种一致性区域称为可行参数集合（feasible parameter set，FPS），可以通过表示：

当回归函数退化为线性函数F(k,θ)=φT(k)θ时，公式（1）的参数化公式可简写为

其中φT(k)为1×nθ维的回归向量.此时，FPS可以表示为一个多面体.当回归函数为非线性时，FPS不再是凸多面体，而是复杂的集合图形.为了避免对该复杂的几何图形进行准确的描述，通常对FPS的内部或者外部区域进行简化，即近似可行参数集合.

在依据不含故障的数据得到系统的FPS（估计值）后，通过判断新数据与FPS的一致性来进行系统的故障检测，这种不一致性可以通过FPS与S(k)的交集进行判断.当S(k)⋂FPS=∅时，说明系统产生故障.在线性系统中，如果待识别的数据量小时，那么这种不一致性可以通过线性优化问题进行高效求解.当识别的数据量很大时，可以采用近似方法，此时会相应地产生故障误报.

1.2贝叶斯模型集合在贝叶斯方法中，用来描述模型不确定性的模型集合可以通过贝叶斯可靠模型集合（Bayesian credible model set，BCMS）进行描述，即

其中y=(y(1),…,y(M))T，c(a)为给定的可靠性值，100(1-a)%为期望的可靠性水平.

BCMS是一种确定性的可行模型集合（feasible model set，FMS），既包含了后验信息，也包含了先验信息.在FMS中，先验信息包含于候选模型集合中，而候选模型同时包含模型类和噪音类.在BCMS中，先验信息可以通过误差项pe(e)和模型p(G)的先验概率分布得到.测量数据y是一种后验信息，通过似然函数的方式引入到可靠模型中，即y在模型G条件下的观测概率p(y|G) .依据贝叶斯理论，在给定条件y时，模型G的条件概率为：

其中分母p(y)为规范化常数.通常情况下，可以将公式（5）记为p(G|y)∝p(y|G)p(G) .

1.3集合成员关系估计下面阐述如何应用（5）式对（2）式定义的FPS进行求解.由于（2）式所定义的区域描述了系统参数类型的不确定性，于是贝叶斯可靠模型转化为贝叶斯可靠参数集合：

其中θ为模型的参数向量，p(θ)为模型的先验概率分布.在贝叶斯框架下，p(θ)是一种主观概率，往往需要设计人员根据经验得到.当θ的正确取值未知时，假设θ是参数空间Θo上的某种分布p(θ) .

在给定误差边界σ=(σ(1),…,σ(M))T时，观测结果y关于模型（参数向量）和误差边界的概率分布为p(y|θ,σ)=pe(y-ŷ|θ,σ)，其中ŷ=(ŷ(1),…,ŷ(M))，并且∀k,ŷ(k)=F(k,θ) .

为了估计不确性区域的硬边界，假设误差项是均匀分布的，即∀k,e(k)∼V(-σ(k),σ(k))，其中σ(k)为集合成员关系的误差边界.此时，当模型与测量值相一致时，似然函数为非0常数；否则，似然函数为0.我们的目的并不是得到θ的后验分布区域，而是得到θ为非0常数时的后验分布区域，并用该区域描述FPS.

在硬边界FPS中，如果考虑不同的概率水平，那么可以对参数θ使用不同的先验分布.在软边界FPS中，可以对参数θ应用高斯似然函数替代均匀似然函数，而似然函数可以应用蒙特卡洛方法进行估计得到.在变量误差方法中，回归函数本身就是误差项.区别于变量误差，采用方程误差方法，该方法假设每个样本k都掺有误差项.假设每个样本的误差为e(k)=y(k)-ŷ(k)（ŷ(k)=F(k,θi)）是独立同分布的，那么似然函数的计算方法为：

此时，可以通过近似方法得到FPS，即

1.4故障检测对于k个非故障数据，在得到参数空间中θi的似然函数pe(y|θi,σ)后，进行故障检测的方法如下.对于每个测量值y(k)（k>M），计算新似然函数pe(y(k)-ŷ(k)|θi,σ(k))，并且验证是否存在θj∈BCMSθ同时满足pe(y|θj,σ)≠0和pe(y(k)-ŷ(k)|θi,σ(k))≠0 .如果存在这样的参数θj，那么它们构成可行参数集合，即

一致性通过似然函数与参数的乘积进行判断，如果乘积对于θj∈BCMSθ中的所有参数都为0，即对于∀θi，

那么测量值y(k)与可行参数集合{ }θ不一致，因而可以认定系统发生故障.

在实际应用中，对系统进行故障检测的能力往往依赖于参数空间中网格的密度大小.网格越密集，系统能识别参数微小偏差的能力越强，因而能识别小的故障，但却会导致更多的误判行为.

2　实验结果与分析

2.1测试系统描述实验测试采用四罐耦合系统［14］，系统的输入为电压的脉冲v1和v2，输出为水平值hi，i=1,…,4 ..为了对实验结果进行更好的说明，本实验取输出水平h1和h3，以及电压v1，并认为h1，h3和v1都是可以直接测量的，用来描述该动态行为的方程为：

2.2无故障下的不确定性估计在无故障方案中，为了得到系统的不确定性FPS，即（11）式中a1和a3

在参数空间中的不确定性区域，获取了M=140个测量结果.

在线性方案中，假设误差均匀分布在60×60的网格中，其误差在v(-σ,σ)上均匀分布.应用集合成员关系方法对条带进行交差，得到了图1所示的FPS，其中红色的圆圈为凸多面体的顶点.此外，通过对似然函数的采样计算FPS区域的轮廓，见图2.从图1和2中可以看出，这两个区域近似重合.

在非线性方案中，产生的FPS并不是参数的线性组合，而是一个多面性.通过应用贝叶斯方法，得到了如图3所示的可行参数集合，其中增益L=0.1.将图2和3进行对比可知，贝叶斯方法对非线性系统进行计算得到的FPS边界要小于线性的FPS.

图1　线性系统可行参数集合，条带交错法

图2　线性系统可行参数集合，网格法

图3　非线性系统可行参数集合，贝叶斯法

2.3故障检测结果为了验证算法在故障识别时的能力，实验在正确运行的系统中注入故障，并观察了故障注入前后的系统状态.图4为h1输出变化，其中k=1 201，误差项为0.035.

为了进一步对故障的参数进行分析，分别画出了系统在无故障和有故障两种情况下的参数，结果分别如图5和6所示.从这两幅图中可以看出，当系统无故障（图5）时，根据条带交错得到的参数空间在两个条带的中间；当系统发生故障（图6）时，系统的参数空间发生了偏移，落在多个条带的同一侧.

图4　故障识别示意图

图5　系统无故障时的参数集合

图6　系统发生故障时的参数集合

最后，实验采用本文中提出的贝叶斯方法对线性系统的故障检测进行了分析，在a1∈(0.067,0.077) 和a2∈(0.067,0.077)的矩形范围内均匀的选取60×60个参数.图7为初始状态与FPS对应的似然函数以及测试实例k=1 200时的似然函数.在图7中，新的似然函数完全覆盖了FPS，因此它们的乘积为非0 值.由于两个似然函数的乘积非0，可以认定测试数据与模型一致，因而系统没有产生故障.在图8中，当k=1 201时，两个似然函数完全分开了，它们的乘积为0，因而可以认定观测到的行为偏差并不是由于系统的不确定性产生的，即系统产生了故障.

在控制工程领域，鲁棒辨识技术要求在获得设备的标称模型的同时还要对该模型的不确定性进行估计.为了提高鲁棒系统故障检测的能力，笔者基于贝叶斯的基本原理对系统的故障和不确定性进行了研究，提出了一种基于贝叶斯方法的高鲁棒性故障检测方法.本文中对非线性系统的故障检测问题进行了定义，并分析了参数空间的不确定性问题，基于贝叶斯基本原理对参数空间的推导进行了分析，

通过分析系统正常运行的参数空间与发生故障时的参数空间之间的成员关系来进行故障检测.实验表明，在四罐耦合系统中，提出的基于贝叶斯方法的故障检测技术在系统模型参数具有不确定性的条件下可以很好地进行故障的识别.

3　参考文献

［1］缪志强，王耀南.基于径向小波神经网络的混沌系统鲁棒自适应反演控制［J］.物理学报，2012，61（3）:030503（1-6）.

［2］冯旭，孙优贤.鲁棒辨识问题评述［J］.控制理论与应用，2013，10（6）:609-616.

［3］Chen J，Patton R. Robust model-based fault diagnosis for dynamic systems［J］. Kluwer Academic Publishers，2009，21（1）: 110-118.

［4］Reinelt W，Garulli A，Ljung L. Comparing different approaches to model error modelling in robust identification［J］. Automatica，2012，38（11）:452-456.

［5］Milanese M，Taragna M. H∞Hset membership identification: a survey［J］.Automatica，2005，41（12）:2019-2032.

［6］Garulli A，Reinelt W. On model error modelling in set membership identification［M］.NewYork：Proc of the SYSID，2000.

［7］Goodwin G，Braslavsky J，Seron M. Non-stationary stochastic embedding for transfer function estimation［J］.Automatica，2012，38（3），47-62.

［8］Lagoa C，Li X，Sznaier M，Probabilistically constrained linear programs and risk-adjusted controller design［J］.SIAM J Optim，2005，15（3）:938-951.

［9］Jaulin L. Probabilistic set-membership approach for robust regression［J］.Journal of Statistical Theory and Practice，2010，4 （1）:235-244.

［10］宋功益，王晓茹，周曙.基于贝叶斯网的电网多区域复杂故障诊断研究［J］.电力系统保护与控制，2011，39（7）:20-25.

［11］刘鸣，戴蓓清.鲁棒性话者辨识中的一种改进的马尔科夫模型［J］.电子学报，2002，30（1）: 46-48.

［12］Xu H，Mannor S. Distributionally robust Markov decision processes［C］. Advances in Neural Information Processing Systems，2010: 2505-2513.

［13］Milanese M，Norton J，Piet-Lahanier H，et al. Bounding approaches to system identification［M］. New York :Plenum Press，2006.

［14］Johansson K. The Quadruple- Tank Process: A multivariable laboratory process with an adjustable zero［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2010，8（3）:201-221.

（责任编辑赵燕）

图7　系统正常状态的似然函数分布

图8　系统故障时的似然函数分布

Research on high robust fault detection based on Bayesian method

JIANG Yong1，ZHAO Zuopeng2，LI Yuexin3
（1. Department of Information Technology，Jiangsu Union Technical Institute，Xuzhou 221008，China；2. School of Computer Science and Technology，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221008，China；3.School of Computer Science and Information Engineering，Hubei University，Wuhan 430062，China）

Abstract:Fault detection was applied extendly in control engineering field，and robustness is an important measure of uncertain for a system while detecting faults. In order to improve the performance of fault detection in robust systems，we studied the problem system’s fault and uncertain based on Bayesian principle，and proposed a Bayesian based robust fault detection method. Firstly，we defined the problem of fault detection for nonlinear systems，and analyzed their uncertainty of parameter space. Secondly，we analyzed how to infer the parameter space based on Bayesian principle. Finally，while detecting faults of a system，we analyzed the set membership between normal parameter space and faulty parameter space. The experiments showed that，in a quadruple-tank process，the proposed method could detect faults efficiently in a system with uncertain model parameters.

Keywords:fault detection；robustness；Bayesian；set-membership

作者简介：蒋勇（1977-），男，硕士，副教授；李跃新，通信作者，副教授，E-mail：51884285@qq.com

基金项目：江苏省基础研究计划项目（自然科学基金）（BK2012129）和湖北省国际交流与合作项目（2012IHA0140）资助

收稿日期：2015-03-18

文章编号：1000-2375（2015）06-0565-05

中图分类号:TP319

文献标志码:A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2015.06.010