特征2域上的一类置换多项式

王彦平，郑大彬

（1.湖北大学数学与统计学学院，湖北武汉430062；2.西安翻译学院基础课部，陕西西安710105）

特征2域上的一类置换多项式

王彦平1，2，郑大彬1

（1.湖北大学数学与统计学学院，湖北武汉430062；2.西安翻译学院基础课部，陕西西安710105）

摘要：证明特征2的有限域上一类多项式为置换多项式，并给出一些具体例子.①

关键词：有限域；特征2；置换多项式

0　引言及主要结果

设p是一个素数，GF(pn)是含有pn个元素的有限域，而GF*(pn)是有限域GF(pn)中除去零元素构成的乘法群.如果f(x)∈GF[x]，且多项式映射f是GF(pn)到GF(pn)的一个一一映射，那么多项式f(x) 是GF(pn)上的一个置换多项式.置换多项式与非线性函数有非常紧密的联系，而且在代数编码，密码学，组合设计等方面有广泛的应用.因此，寻找新的置换多项式具有重要的理论和现实意义.

有限域上的置换多项式是近来的一个研究热点.到目前人们在这方面已取得很多好的成果[1-9]，而且构造项数较少的置换多项式引起了人们的极大兴趣.例如，Masuda M等[1]找到了有限域上的一类两项的置换多项式. Ding等[2]，Yuan等[3]分别在奇特征域上找到了几类三项与四项的置换多项式. Tu 等[4]构造了一类三项的完全置换多项式.通过研究交换Dickson多项式，Hou等[6-7]发现了几类二项置换多项式. Dobbertin在证明APN幂函数过程中利用了一类置换三项式，进而给出了一种研究一致表示置换多项式的方法[8]. Bracken等[9]将一类二项的APN函数改造成置换多项式，并以此猜想文献［10］中的第八类函数是置换多项式而且差分均匀度较低. Qu等[11]证明了这类函数仅在k=2，s≡4(mod6)或v=w=0时是置换多项式，当k>2时，给出了非置换多项式的例子．通过改变文献［10］中公开问题的一些条件，我们给出有限域GF(23k)上的一类四项的置换多项式．

定理设u是域GF(23k)的本原元，v,w∈GF(2k)且vw=1，其中s，k是正整数，3|(k+s)，gcd(3,k)=1，则

是域GF(23k)上的置换多项式.

下文中给出一些预备知识并证明此定理.

1　预备知识

这一节给出与本文中相关的一些概念和必要的准备知识.

从有限域GF(pn)到子域GF(pk)（其中k|n）的迹函数可表示为Trkn(α)=，如果k=1，那么称为α的绝对迹函数，简记为Tr(α) .

引理1.1[12]函数f(x)是有限域GF(pn)上的置换多项式的充要条件是∀x∈GF(pn)，f(x)=a在GF(pn)

中仅有一个解，或者对任意的a∈GF*(pn)，f(x+a)-f(x)=0在GF(pn)中无解.

引理1.2[13]设s，k是正整数，则有如下的结论成立：

（i）如果3⫮k，u∈GF*(2k)，那么u是域GF(2k)中的7次方元；

（ii）如果u是域GF(23k)的本原元，那么u是域GF(23k)中的非7次方元；

（iii）如果3⫮k，u是域GF(23k)的本原元，那么u2k-1是域GF(23k)中的非7次方元；

（iv）如果3|s，u∈GF*(23k)，那么u2s-1是域GF(23k)中的7次方元.

2　主要结果的证明

本节证明f(x)为置换多项式并给出两个例子.

定理的证明欲证f(x)是置换多项式，根据引理1.1只要证明对∀a∈GF*(23k)，方程f(x+a)+f(x)=0在GF(23k)中无解.由此考虑

将上面方程合并整理，得

为了方便，令α=a+wu2ka2k+s，β=va+u2ka2k+s，则方程可化为

在方程两边同乘以α2kβ2k，有

在方程（1）中，利用βx代替x，同时两边2k次方，得

再在方程（1）中，用u-2-sα2-k-sx2-s替换x，得

在此我们说明α,β≠0 .假设α=0，则有a+wu2ka2k+s=0，即wa2k+s-1=u-2k，根据引理1.2，等式左边是7次方元，而右边是非7次方元．因此α≠0．同理，可证β≠0．

现在给方程（2）除以β2-k并加到方程（3）除以α2k，有

进一步，令ξ=α2-kβ2k+1+α2-k+1β2k，η=α2-k(aβ2k+u2ka2s+kα2k)+β2k(a2-kβ+ua2sα)，得

接下来，我们证明当vw=1时，ξ,η∈GF(2k)且η≠0 .因为

很容易得出ξ2k=ξ，即ξ∈GF(2k) .类似的做法，可证η∈GF(2k) .

因为vw=1，则wβ=vwa+wu2ka2k+s=a+wu2ka2k+s，因此α=wβ.假设η=0，则

于是

即

因为w∈GF(2k)且由引理1.2，则等式左边w显然是7次方元，但右边是非7次方元，所以η≠0 . 设Trk3k(∙)是从域GF(23k)到子域GF(2k)的迹函数，在方程（4）两边作用迹函数Trk3k(∙)，得到

因为η≠0，且Tr3kk(1)=1，因此左边不为零，矛盾.所以，原方程没有解．

下面给出利用数学软件MAGMA在小域上搜索出的实例．

例2.1设k=4，u是域GF(212)的本原元，取s=5，v=u1 911，w=u2 184，则

是GF(212)上的置换多项式．

例2.2设k=5，u是域GF(215)的本原元，取s=4，v=u2 134，w=u30 943，则

是GF(215)上的置换多项式．

3　参考文献

［1］Masuda A M，Zieve M E. Permutation binomials over finite fields［J］. Transactions of the American Mathematical Soc，2009，361（8）: 4169-4180.

［2］Ding C S，Xiang Q，Yuan J，et al. Explicit classes of permutation polynomials of GF(33m)［J］. Science in China Series A，2009，53（4）: 639-647.

［3］Yuan P Z. More explicit classes of permutation polynomials of GF(33m)［J］. Finite Fields Appl，2010，16: 88-95.

［4］Tu Z R，Zeng X Y，Hu L. Several classes of complete permutation polynomials［J］. Finite Fields Appl，2014，25: 182-193.

［5］Tu Z R，Zeng X Y，Jiang Y P. Two classes of permutation polynomials having the form (x2m+x+δ)s+x［J］. Finite Fields Appl，2015，31: 12-24.

［6］Hou X D. A class of permutation binomials over finite fields［J］. Journal of Number Theory，2013，133（10）: 3549-3558.

［7］Hou X D，Lappano Stephen D. Determination of a type of permutation binomials over finite fields［J］. Journal of Number Theory，2015，147:14-23.

［8］Dobbertin H. Uniformly representable permutation polynomials［J］.In the Proceedings of "Sequences and their applications-SETA’01"，2002，London：Springer Verlag，2002：1-22.

［9］Brcaken C，Tan C H，Tan Y. Binomial differentially 4-uniform permutations with high nonlinearity［J］. Finite Fields Appl，2012，18（3）: 537-546.

［10］Brcaken C，Byrne E，Markin N，et al. A few more quadratic APN functions［J］. Cryptography and Communications，2011，3 （1）: 43-53.

［11］Qu L J，Xiong H，Li C. A negative answer to Bracken-Tan-Tan's problem on differentially 4-uniform permutations over GF(2n)［J］. Finite Fields Appl，2013，24: 55-65.

［12］Lidl R，Niederreiter H. Finite Fields［M］. Cambridge: Cambridge University Press，1983.

［13］Brcaken C，Byrne E，Markin N，et al. New families of quadratic almost perfect nonlinear trinomials and multinomials［J］. Finite Fields Appl，2008，14（3）: 703-714.

（责任编辑赵燕）

A class permutation polynomials over finite fields of characteristic 2

WANG Yanping1，2，ZHENG Dabin1
（1. School of Mathematics and Statistics，Hubei University，Wuhan 430062，China；2. Department of Fundamental Courses，Xi’an Fanyi University，Xi’an 710105，China）

Abstract：We proved a class of polynomials over finite fields of characteristic 2 were permutation polynomials，and gave some examples.

Keywords：finite field；characteristic 2；permutation polynomial

作者简介：王彦平（1987-），男，硕士生，助教；郑大彬，通信作者，博士，副教授，E-mail：dzheng@hubu.edu.cn

基金项目：湖北省自然科学基金（2014CFB537）和湖北大学研究生教育教学改革项目（070-150034）资助

收稿日期：2015-01-13

文章编号：1000-2375（2015）06-0577-04

中图分类号：O157.4

文献标志码：A

DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2015.06.012