*-素环上广义导子的性质*

乔美玉

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

*-素环上广义导子的性质*

乔美玉

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

利用*-素环的性质及线性化和替换的方法，讨论了*-素环*-Jordan理想上满足一定条件的广义导子，所得的结果推广了Asma、Deepak和Mahmmoud的相关结果.

*-素环；广义导子；同态

环上导子是微分的一种代数形式的推广，有丰富的研究内容和深刻的背景，特别是对于描述环的结构有重要作用.

1991年，Bresšar提出了广义导子的概念，广义导子是导子的一种重要的推广.导子的很多结果都被推广到广义导子上来.

对于可加映射F:R→R，如果存在R上的一个导子d，使得对于任意的x,y∈R，都有F(xy)=F(x)y+xd(y)，则称F是R上的一个导子，d称为F的伴随导子.

1989年Bell和Kappe[1]证明了，若d是素环R上的导子，且在R的非零理想I上同态或反同态，则在R上有d=0.1994年Yenigul和Argac[2]证明了素环上的∂-导子满足此结论，即若d是素环R上的∂-导子，且在R的非零理想I上同态或反同态，则在R上有d=0.1999年Ashrafetal[3]证明了素环上的(σ,τ)-导子满足上述结论，即若d是素环R上的(σ,τ)-导子，且在R的非零理想I上同态或反同态，则在R上有d=0.2003年Asmaetal[4]将此结论推广到素环的lie理想的集合上.对广义导子的研究已经取得了一些很好的结果.1981年Bergen研究了素环上的导子和Lie理想的关系，并得到一些结论[5].2005年Ashraf研究了满足不同条件的带有结合导子d的广义导子的素环R的交换性[6].2007年黄述亮将Ashraf的有关结论推广到了素环的Lie理想上[7].根据黄述亮的结果Mahmmoud又得出一些结论[8].本文主要是把Asma、Deepak和Mahmmoud的相关结果推广到*-素环上.

1 主要结果

引理1[9]设R是特征不为2的* -素环，且J是R的非零*-Jordan理想，如果aJb=a*Jb=0则a=0或b=0．

引理2[10]设R是特征不为2的素环，J是R上的非零Jordan理想.θ,φ是R上的自同构，若R中有一个(θ,φ)-导子，使d(J)=0，则d=0或J⊆Z(R)．

引理3[11]设R是特征不为2的*-素环，J是R的非零*-Jordan理想，如果d是R的导子，满足d(J)=0，则d=0或J⊆Z(R)．

引理4[11]设R是特征不为2的*-素环，J是R的非零*-Jordan理想，如果[J,J]=0,则J⊆Z(R).

定理1 设R是特征不为2的*-素环，J是R的非零*-Jordan理想，且为R的一个子集，θ是R上的自同构.设F:R→R是带有结合(θ,θ)-导子d的广义(θ,θ)-导子，且d与*可交换，若J在R上同态，则d=0或J⊆Z(R).

证明 若F在J上同态，则有

F(uv)=F(u)θ(v)+θ(u)d(v)=F(u)F(v)
对所有u,v∈J

(1)

在(1)中用vw换v，则有F(u)θ(v)θ(w)+θ(u)(d(v)θ(w)+θ(v)d(w))=F(u)(F(v)θ(w)+θ(v)d(w))对所有u,v,w∈J．

利用(1)式,则有(F(u)-θ(u))θ(v)d(w)=0对所有u,v,w∈J.因此有θ-1(F(u)-θ(u))vθ-1(d(w))=0对所有u,v,w∈J.所以θ-1(F(u)-θ(u))Jθ-1(d(w))=0对所有u,w∈J.因为d与*可交换，J是*-Jordan理想，所以有θ-1(F(u)-θ(u))Jθ-1(d(w))*=0.由引理1可得F(u)-θ(u)=0或d(w)=0.

如果F(u)-θ(u)=0对所有u∈J，则由式(1)可得θ(u)d(v)=0对所有u,v∈J.用uw换u,则有θ(u)θ(w)d(v)=0对所有u,v,w∈J.则有uwθ-1(d(v))=0，所以有uJθ-1(d(v))=0对所有u,v∈J.因为d与*可交换，J是*-Jordan理想,则有uJθ-1(d(v))=uJθ-1(d(v))*=0.由引理1有u=0或d(v)=0，由于J是非零*-Jordan理想，所以有d(v)=0，对任意v∈J.由引理2可得d=0或J⊆Z(R).

定理2 设R是特征不为2的*-素环，J是R的一个非零*-Jordan理想，设R中有一个带有非零结合导子d的广义导子F，且d可与*交换，如果满足d(u2)=2F(u)u，对所有u∈J，则J⊆Z(R).

证明 由已知d(u2)=2F(u)u，对所有u∈J，则有

d(u)u+ud(u)=2F(u)u，对所有u∈J

(2)

由线性变换可得

d(u)v+d(v)u+vd(u)=2F(u)v+2F(v)u
对所有u,v∈J

(3)

在(3)中vu换v且应用(3)可得uvd(u)+vud(u)=2vd(u)u对所有u,v∈J.

因此有

(u∘v)d(u)=2vd(u)v对所有u,v∈J

(4)

在(4)中用wv换v且用式(4)，则有[u,w]vd(u)=0对所有u,v,w∈J.因此[u,w]Jd(u)=0对所有u,w∈J．由于d与*可交换，且J是*-Jordan理想，则[u,w]J(d(u))*=0=[u,w]Jd(u)u，w∈J,所以由引理1有[u,w]=0或d(u)=0u,w∈J．

设J1={u∈J|d(u)=0}、J2={u∈J|[u,w]=0,对所有w∈J}，由于J1和J2是J的两个加法子群，并且J=J1∪J2，又由于一个群不可以写成它的两个真子群的并，则有J=J1或J=J2．若J=J1，则有d(u)=0u∈J．由引理3可得J⊆Z(R)．若J=J2，则有[w,u]=0，u,w∈J,由引理4可得J⊆Z(R)．综上所述J⊆Z(R)．

2 结论

本文利用*-素环的性质及线性化和替换的手法，讨论了*-素环*-Jordan理想上满足一定条件的广义导子，所得的结果推广了Asma、Deepak和Mahmmoud的相关结果.希望对进一步的研究工作有所帮助和启发.

[1]BellHEandKappeLC.Ringsinwhichderivationssatisfycertainalgebraicconditions,Acta[J].Math.Hungar,1989,53:339-346.

[2]YenigulMandArgacN.Onprimeandsemiprimeringswithα-derivations[J].TurkJ.Math.,1994,18:280-284.

[3]AshrafM,RehmanNandQuadriMA.On(σ,τ)-derivationsincertainclassesofrings[J].Rad.Mat.,1999,9:187-192.

[4]AliARehmanNandShakirA.OnLieidealswithderivationsashomomorphismsandanti-homomorphisms[J].ActaMath.Hungar.,2003,101：79-82.

[5]JBergen，INHersteinandJWKerr.Lieidealsandderivationsofprimerings[J].JournalofAlgebra,1981,71:259-267.

[6]MAshraf，AAliandRRani.Ongeneralizedderivationsofprimerings[J].SoutheastAsianBulletinofMathematics,2005,29:669-675.

[7]HuangS.Generalizedderivationsofprimerings[J].InternationalJournalofMathematicsandMathematicalSciences,Article,2007(6)：83-87.

[8]MahmmoudEL-SOUFI,AhmedABOUBAKR.GeneralizedderivationsonJordanidealsinprimerings[J].TurkJMathe,2014,38：233-239.

[9]OukhtiteL.OnJordanidealsandderivationsinringswithinvolution[J].Comment.Math.Univ.Carolin.,2010,51:389-395.

[10]AydinNandKayaK.Somegeneralizationinprimeringswith(σ,τ)-derivations[J].DogaTr.J.Math.Hungar.,1992,16:169-176.

[11]OukhtiteL.OnJordanidealsandderivationsinringswithinvolution[J].Comment.Math.Univ.Carolin.,2010,51:389-395.

(责任编辑:陈衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.04.009

2014-12-23

吉林省自然科学基金项目“素环上的导子和三角代数上的Jordan映射” (201215220)

乔美玉,女,吉林梅河口人，吉林师范大学数学学院在读硕士．

O

A

1008-7974(2015)02-0023-02