素环上的广义内导子*

冯 骥

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130103)

素环上的广义内导子*

冯 骥

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130103)

讨论了素环理想上广义内导子的交换性.设R是一个素环,I为R的一个非零理想,Fa,b(x)为R的一个非零广义内导子,Ib(x)为其伴随内导子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,讨论满足Fa,b(xοy)=xoy或Fa,b(xoy)+xoy=0时R的交换性.

素环;广义内导子;交换性

1 研究背景

环上导子交换性的探究开始于Posner[1]，1957年，他证明了非零中心化导子的素环一定为交换环.近些年来，很多学者在Posner的启发下继续研究了环上导子的交换性问题[2-6]，对环的研究具有重要影响.

2002年,Ashraf和Rehaman[7]证明了对任意的x,y∈U,都有d(xοy)=xοy或d(xοy)+xοy=0的情况，本文将其推广到广义内导子上，得到若干结果.

2 相关定义及引理

定义1[8]设R是任意结合环,d是环R到自身的一个加性映射.如果对任意x,y∈R均有d(xy)=d(x)y+xd(y),则称d为环R上的导子.

定义2[9]设R是任意结合环,g是环R到自身的一个加性映射,若存在R上的导子d使得对任意的x,y∈R均有g(xy)=g(x)y+xd(y),则称g为环R上的广义导子,d为g的伴随导子.

定义3[10]设R是素环,d是R上的一个导子.对一固定元素a∈R,映射Ia:R→R,Ia(x)=[x,a]是一个导子，称其为R上的一个内导子.一个加性映射Fa,b:R→R称为是R上的一个广义内导子,若Fa,b(x)=ax+xb,a,b是R中的固定元素.

引理1 如果一个素环R包含一个非零的可交换的右理想,那么R也是可交换的.

引理2[11]Z为环R的中心，d为R的导子，则d(Z)⊆Z.

四个基本恒等式

[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z,
[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y,
xο(yz)=(xοy)z-y[x,z]=y(xοz)+[x,y]z,
(xy)οz=x(yοz)-[x,z]y=(xοz)y+x[y,z].

3 主要结果

定理1 设R是一个素环,I为R的一个非零理想,Fa,b(x)为R的一个非零广义内导子,Ib(x)为其伴随内导子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,如果对任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)=xοy,那么R是可交换的.

证明 (1)如果Fa,b(x)=0,那么对任意的x,y∈I,都有xοy=0.

用yz代替y得xο(yz)=0，利用基本恒等式得(xοy)z-y[x,z]=0.所以y[x,z]=0x,y,z∈I.从而IR[x,z]=0x,z∈I.由于I≠0且R是一个素环，可知[x,z]=0,由引理2可知R是可交换的.

(2)如果Fa,b(x)≠0.那么对任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)=xοy.即

Fa,b(x)y+xIb(y)+Fa,b(y)x+yIb(x)=xοy

(1)

用yx代替(1)式中的y,可以得到

Fa,b(x)yx+xIb(y)x+xyIb(x)+Fa,b(y)x2+
yIb(x)x+yxIb(x)=xοyx=(xοy)x

利用(1)式可得,(xοy)Ib(x)=0.再用zy代替y,可得[x,z]yIb(x)=0,对任意的x,y,z∈I都成立,即[x,z]IRIb(x)=0.因为R为一个素环,所以[x,z]I=0或Ib(x)=0.

令I1={[x,z]I=0,x,z∈U},I2={Ib(x)=0,x∈I}.那么I1和I2都是I的子群.并且I1∪I2=I.所以I=I1或I=I2.如果I=I2,那么对所有的x∈I都有Ib(x)=0,与假设相矛盾,因此I=I1.那么对所有的x,z∈I,都有[x,z]I=0,即[x,z]RI=0.由于I≠0,故[x,z]=0,对所有的x,z∈I都成立.由引理2可知R是可交换的.

定理2 设R是一个素环,I为R的一个非零理想,Fa,b(x)为R的一个广义内导子,Ib(x)为其伴随内导子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,如果对任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)+xοy=0,那么R是可交换的.

证明 (1)如果Fa,b(x)=0,那么对任意的x,y∈I,都有xοy=0.

用yz代替y得xο(yz)=0，利用基本恒等式得(xοy)z-y[x,z]=0.所以y[x,z]=0x,y,z∈I.从而IR[x,z]=0x,z∈I.由于I≠0且R是一个素环，可知[x,z]=0,由引理2可知R是可交换的.

(2)当Fa,b(x)≠0时,对任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)+xοy=0.

即

Fa,b(x)y+xIb(y)+Fa,b(y)x+yIb(x)+xοy=0

(2)

用yx代替(2)式中的y,可以得到

Fa,b(x)yx+xIb(y)x+xyIb(x)+Fa,b(y)x2+
yIb(x)x+yxIb(x)+xοyx=0
Fa,b(x)yx+xIb(y)x+xyIb(x)+Fa,b(y)x2+
yIb(x)x+yxIb(x)+(xοy)x=0

利用(2)式可得,(xοy)Ib(x)=0.同定理1的证明可得R是可交换的.

[1]PosnerE.C.DerverationsinPrimeRings[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1957,8:1093-1100.

[2]AwtarR.LiestructureinPrimeRingswithDerivations[J].Publ.Math.Debrecen,1984,31:209-215.

[3]BellHE,DaifMN.OnCommutativityandStrongCommutativityPreservingMaps[J].Canad.Math.Bull,1994,37:443-447.

[4]BellHE,MartindaleWS.CentralizingMappingsofSemiprimeRings[J].Canad.Math.Bull,1987,30:92-101.

[5]DaifMN,BellHE.RemarksonDerivationsonSemiprimeRings[J].InternalJ.Math.andMath.Sci.,1992,15:205-206.

[6]DengQ,AshrafM.OnStrongCommutativityPreservingMappings[J].ResultsinMath,1996,30:259-263.

[7]AshrafM,RehamanN.Oncommutativityofringswithderivations[J].ResultsinMath,2002,42:3-8.

[8]徐晓伟,牛凤文.广义导子值的幂性质[D].长春:吉林大学,2006.

[9]BrešarM.OntheDistanceoftheCompositionofTwoDerivationstotheGeneralizedDerivations[J].GlasgowMath.J,1991,33:89-93.

[10]吴伟.素环理想上的广义导子[J].北华大学学报(自然科学版),2005,6(4):293-295.

[11]王宇,张秀英.素环上中心化广义导子[J].东北师大学报,2001,2(33):116-118.

(责任编辑:陈衍峰)

Generalized Inner Derivations on Prime Rings

FENG Ji

(SchoolofMathematics,JilinNormalUniversity,Changchun,Jilin130103,China)

This paper studys the commutativity of rings with generalized inner derivations on the ideals. Suppose thatRisaprimering,IisanonzeroidealofRandFa,b(x)isanonzerogeneralizedinnerderivationofR.EitherFa,b(x)=0orIb(x)≠0,inthepaperisinvestigatedthecommutativityoftheringsatisfyinganyoneoftheproperties:Fa,b(xοy)=xoy;Fa,b(xoy)+xoy=0,forallx,y∈I.

prime ring; generalized inner derivation; commutativity

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.04.012

2014-11-16

吉林省自然科学基金项目“素环上的导子和三角代数上的Jordan映射”(201215220)

冯骥,女,吉林通化人,吉林师范大学数学学院在读硕士．

O

A

1008-7974(2015)02-0032-02