例谈一题多解

孙小刚

摘 要： 新课程理念强调学生在积极主动的学习态度下对知识的主动探索、发现，要求教师改变教学方式和课堂知识结构，为学生主动探究搭建平台.一题多解是调动学生积极性，开发学生潜能，提高学习效率的有效教学活动.

关键词： 自主探究 发散思维 一题多解

新课程理念强调学生积极主动地学习，进而能够自主学习.倡导建立以“主动参与，乐于探究，交流与合作”特征的学习方式，要求教师在教学中为学生的思维发散提供情景、条件和机会，要有意识地激发学生的灵活性、创造性，使学生在积极主动的状态中探索，从而培养学生浓厚的学习兴趣.一题多解是常用的教学策略.本文以2010年安徽高考数学试题中的圆锥曲线问题为例，提供多样的解题思路，展示一题多解的魅力.

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F■，F■在x轴上，离心率e=■.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求∠F■AF■的角平分线所在直线l的方程.

命题意图：本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，平面向量的应用，点到直线的距离公式，到角公式，角平分线性质及三角形的内角平分线性质等基础知识，考查解析几何的基本思想及综合运算能力.

解法指导：（Ⅰ）的解法省略，所求椭圆E的方程是■+■=1.

（Ⅱ）思路一：根据题意，直接设所求直线l的方程为：y-3=k（x-2）.可求直线l与x轴的交点B的坐标.由（Ⅰ）易得直线AF■和AF■的方程分别为3x-4y+6=0和x=2，根据角平分线性质，点B到直线AF■和AF■的距离相等可解斜率.由点A在椭圆E上的位置如图可知k>0，则k=2.因此，所求直线l的方程为：2x-y-1=0.

思路二：在思路一的基础上，如果考虑到将所求具体一点B变为所求直线l上任意一点P（x，y），则点P（x，y）满足的方程即为所求直线方程.根据角平分线性质，点P到直线AF■和AF■的距离相等可以解斜率，整理易得直线l的方程为：2x-y-1=0.

思路三：如果设∠F■AF■=θ，所求直线斜率为k，考虑到焦点三角形面积公式亦可展开求解思路.

思路四：在思路三的基础上，设所求直线斜率为k，则k=tan∠ABF■.如果考虑到△AF■B为直角三角形，则∠ABF■与∠BAF■互余，也可以求出k=2.

思路五：如果设B（x，0），根据通径易知AF■=3，由椭圆第一定义可知AF■=5，考虑到三角形内角平分线性质，解得直线与横轴的交点，进而求得斜率.

思路六：如果考虑到平面向量的相关知识，易知■和■的同向单位向量的和向量恰好为所求直线l的方向向量也可以求解直线的方程.

思路七：由于△F■AF■为直角三角形，因此∠F■AF■的角平分线所在直线l经过△F■AF■的内心，易求其内心坐标（1，1），由直线的两点式方程得l的方程为：2x-y-1=0.运用此方法联系平面几何的知识，简便易懂.

在教学过程中不难发现：对同一个问题，引导学生从不同的角度思考分析，发现不同的思路和方法，对锻炼学生思维的灵活性，培养和发挥学生的创造能力，贯通知识的纵横联系，提高综合运用知识的能力和解题技巧效果显著.endprint

摘 要： 新课程理念强调学生在积极主动的学习态度下对知识的主动探索、发现，要求教师改变教学方式和课堂知识结构，为学生主动探究搭建平台.一题多解是调动学生积极性，开发学生潜能，提高学习效率的有效教学活动.

关键词： 自主探究 发散思维 一题多解

新课程理念强调学生积极主动地学习，进而能够自主学习.倡导建立以“主动参与，乐于探究，交流与合作”特征的学习方式，要求教师在教学中为学生的思维发散提供情景、条件和机会，要有意识地激发学生的灵活性、创造性，使学生在积极主动的状态中探索，从而培养学生浓厚的学习兴趣.一题多解是常用的教学策略.本文以2010年安徽高考数学试题中的圆锥曲线问题为例，提供多样的解题思路，展示一题多解的魅力.

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F■，F■在x轴上，离心率e=■.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求∠F■AF■的角平分线所在直线l的方程.

命题意图：本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，平面向量的应用，点到直线的距离公式，到角公式，角平分线性质及三角形的内角平分线性质等基础知识，考查解析几何的基本思想及综合运算能力.

解法指导：（Ⅰ）的解法省略，所求椭圆E的方程是■+■=1.

（Ⅱ）思路一：根据题意，直接设所求直线l的方程为：y-3=k（x-2）.可求直线l与x轴的交点B的坐标.由（Ⅰ）易得直线AF■和AF■的方程分别为3x-4y+6=0和x=2，根据角平分线性质，点B到直线AF■和AF■的距离相等可解斜率.由点A在椭圆E上的位置如图可知k>0，则k=2.因此，所求直线l的方程为：2x-y-1=0.

思路二：在思路一的基础上，如果考虑到将所求具体一点B变为所求直线l上任意一点P（x，y），则点P（x，y）满足的方程即为所求直线方程.根据角平分线性质，点P到直线AF■和AF■的距离相等可以解斜率，整理易得直线l的方程为：2x-y-1=0.

思路三：如果设∠F■AF■=θ，所求直线斜率为k，考虑到焦点三角形面积公式亦可展开求解思路.

思路四：在思路三的基础上，设所求直线斜率为k，则k=tan∠ABF■.如果考虑到△AF■B为直角三角形，则∠ABF■与∠BAF■互余，也可以求出k=2.

思路五：如果设B（x，0），根据通径易知AF■=3，由椭圆第一定义可知AF■=5，考虑到三角形内角平分线性质，解得直线与横轴的交点，进而求得斜率.

思路六：如果考虑到平面向量的相关知识，易知■和■的同向单位向量的和向量恰好为所求直线l的方向向量也可以求解直线的方程.

思路七：由于△F■AF■为直角三角形，因此∠F■AF■的角平分线所在直线l经过△F■AF■的内心，易求其内心坐标（1，1），由直线的两点式方程得l的方程为：2x-y-1=0.运用此方法联系平面几何的知识，简便易懂.

在教学过程中不难发现：对同一个问题，引导学生从不同的角度思考分析，发现不同的思路和方法，对锻炼学生思维的灵活性，培养和发挥学生的创造能力，贯通知识的纵横联系，提高综合运用知识的能力和解题技巧效果显著.endprint

摘 要： 新课程理念强调学生在积极主动的学习态度下对知识的主动探索、发现，要求教师改变教学方式和课堂知识结构，为学生主动探究搭建平台.一题多解是调动学生积极性，开发学生潜能，提高学习效率的有效教学活动.

关键词： 自主探究 发散思维 一题多解

新课程理念强调学生积极主动地学习，进而能够自主学习.倡导建立以“主动参与，乐于探究，交流与合作”特征的学习方式，要求教师在教学中为学生的思维发散提供情景、条件和机会，要有意识地激发学生的灵活性、创造性，使学生在积极主动的状态中探索，从而培养学生浓厚的学习兴趣.一题多解是常用的教学策略.本文以2010年安徽高考数学试题中的圆锥曲线问题为例，提供多样的解题思路，展示一题多解的魅力.

已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F■，F■在x轴上，离心率e=■.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求∠F■AF■的角平分线所在直线l的方程.

命题意图：本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，平面向量的应用，点到直线的距离公式，到角公式，角平分线性质及三角形的内角平分线性质等基础知识，考查解析几何的基本思想及综合运算能力.

解法指导：（Ⅰ）的解法省略，所求椭圆E的方程是■+■=1.

（Ⅱ）思路一：根据题意，直接设所求直线l的方程为：y-3=k（x-2）.可求直线l与x轴的交点B的坐标.由（Ⅰ）易得直线AF■和AF■的方程分别为3x-4y+6=0和x=2，根据角平分线性质，点B到直线AF■和AF■的距离相等可解斜率.由点A在椭圆E上的位置如图可知k>0，则k=2.因此，所求直线l的方程为：2x-y-1=0.

思路二：在思路一的基础上，如果考虑到将所求具体一点B变为所求直线l上任意一点P（x，y），则点P（x，y）满足的方程即为所求直线方程.根据角平分线性质，点P到直线AF■和AF■的距离相等可以解斜率，整理易得直线l的方程为：2x-y-1=0.

思路三：如果设∠F■AF■=θ，所求直线斜率为k，考虑到焦点三角形面积公式亦可展开求解思路.

思路四：在思路三的基础上，设所求直线斜率为k，则k=tan∠ABF■.如果考虑到△AF■B为直角三角形，则∠ABF■与∠BAF■互余，也可以求出k=2.

思路五：如果设B（x，0），根据通径易知AF■=3，由椭圆第一定义可知AF■=5，考虑到三角形内角平分线性质，解得直线与横轴的交点，进而求得斜率.

思路六：如果考虑到平面向量的相关知识，易知■和■的同向单位向量的和向量恰好为所求直线l的方向向量也可以求解直线的方程.

思路七：由于△F■AF■为直角三角形，因此∠F■AF■的角平分线所在直线l经过△F■AF■的内心，易求其内心坐标（1，1），由直线的两点式方程得l的方程为：2x-y-1=0.运用此方法联系平面几何的知识，简便易懂.

在教学过程中不难发现：对同一个问题，引导学生从不同的角度思考分析，发现不同的思路和方法，对锻炼学生思维的灵活性，培养和发挥学生的创造能力，贯通知识的纵横联系，提高综合运用知识的能力和解题技巧效果显著.endprint