基于“数学现实”，探索“未知领域”——李庾南老师“分式方程”课例赏析

☉江苏省南通市第一初级中学 葛 媛

基于“数学现实”，探索“未知领域”
——李庾南老师“分式方程”课例赏析

☉江苏省南通市第一初级中学 葛 媛

最近一段时间，我们从专业刊物（如《中学数学》（下））上关注到不少同行观摩、研习专家教师李庾南老师的课例后，记录李老师课例的教学流程和设计意图，并阐释了对课例的深刻理解，是一种务实的专家课例研究方向，值得肯定．2015年7月，南通市区初中数学骨干教师培训班上，古稀之年的李庾南老师亲自为两百多名数学教师培训，培训班上播放了一节她执教的“分式方程”教学视频，笔者会后认真观摩研习该课十多遍，颇有心得体会，本文先整理该课的教学流程，并跟进赏析，与同行交流．

一、“分式方程”教学流程

1.从“数学现实”出发，建构分式方程的概念

活动1：教师提问，学生思考、解答．

学生提出如下三种解法，李老师在此基础上对学生解法进行追问、点评，并引出分式方程解法中验根的必要性.

活动3：师生共同小结.

各人的具体解法及解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想却是相同的——“转化”，即将分式方程转化为整式方程．

3.分析“增根”的原因，突出“验根”的必要，完善求解的步骤

活动1：学生独立解下列方程：

显然也无解，故原方程无解.

解法2：方程两边同乘以（x－1）（x＋1），去分母后，得x＋1＝2，所以x＝1.

故原方程的解为x＝1.

活动3：研究：为什么会产生两种结果？转化成的整式方程与原方程是否一定同解？为什么？

根据方程同解变形原理，方程两边必须同乘以或除以不等于0的同一个数或同一个整式，所得方程与原方程才是同解方程．当x＝1时，去分母，方程两边同乘以（x－1）（x＋1），其中x－1＝0.所以x＝1只是新方程——一元一次方程的解，不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．此时，整式方程的解叫做原分式方程的“增根”，必须舍去．因此解分式方程，求得整式方程的解后，必须检验是不是原分式方程的解，这个过程叫做“检验”（验根）．

“检验”方法：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

活动4：师生共同总结.

解分式方程的基本思想——转化，即将分式方程转化为整式方程．

4.学生独立练习，之后相互评价、纠错，强化对分式方程的概念和解法的认识

活动1：解下列方程，进一步体验分式方程和整式方程的区别与联系.

活动2：学生通过解题实践和相互评价，自我进行总结.

（1）解分式方程首先要确定最简公分母，若原方程中的分母为多项式时，应先分解因式；

（2）若原分母与最简公分母是互为相反数时，去分母时要注意改变分子的符号；

（3）检验是解分式方程的必要步骤，这与解整式方程时进行检验的目的不同.

二、课例赏析

和很多同行的感觉一样，听李老师的课往往“悠然神会，妙处难与君说”．然而有些感受不吐不快，以下就两点个性化赏析，提供研讨．

1.数学现实的引入，使开课情境与新授内容无缝对接

我们知道，不少教材对分式方程的引入都是由一个实际问题出发，列出分式方程，进而引导学生思考如何解这种新的方程，再回归应用问题的解决．而李老师在这节课中，从学生在小学阶段就熟悉的数字问题，逆向思考设问，用三个递进式的数字问题让学生感受要解决较为复杂的数字问题并不能仅仅口算，需要列式分析，进而学生列出了分式方程，于是分式方程就自然而然地生成了，为后续独立探索学习分式方程的解法做好了铺垫．值得一说的是，《课标（2011年版）》就数学情境的选用也提出了重视“数学现实”的选用，想来，李老师在开课阶段从学生实际出发，选出一组数字问题由浅入深地引出分式方程也是对课标上重视“数学现实”的践行．

2.引导学生探索未知领域，在修补漏洞时规范解法

法国数学教育家Yves Chevallard指出：当问题由教者圈定或限定在某个狭小范围内探索时，学生即无法“自由行走”，他称之为“参观纪念碑”式的探索，并提出“‘探索世界’的范式”，［2］即训练学生预见未来的能力，也称之为“预先认知”．李老师在组织学生“解方程”时，并没有首先示范规范的步骤，而是让学生独立探索如何求解，并且进一步导出矛盾，再师生合作修补漏洞，最终规范了解分式方程的步骤，在这个过程中，学生不仅习得了新知——分式方程的规范解法，同时也深刻理解了分式方程验根的必要性．也许有人要说，在引入阶段让不同学生展示独立探索分式方程解法的过程时耗时太多，推进太慢了，课堂教学时间那么宝贵，专家教师李老师为什么这样安排呢？事实上，在此过程中，不同的学生都经历了独立探索未知领域的过程，而且思维深刻的学生在导出矛盾时学会追问增根的原因，也就从深层次上认识了分式方程验根的必要性．这里看是慢，实则是在核心问题、教学难点上“不惜时、不惜力”．

1.李庾南，陈育彬．中学数学新课程教学设计30例——学力是这样发展的［M］.北京：人民教育出版社，2007．

2.王光明，廖晶．“探索世界”范式及其对数学教育的启示——ICME12获奖报告述评［J］．课程·教材·教法，2013（12）.

3.郑毓信．“开放的数学教学”新探［J］．中学数学月刊，2007（7）.

4.周红娟．从操作走向思考，从参观走向探索——等腰三角形的性质教学与反思［J］．中学数学（下），2014（7）.Z