在“问题探究”中激活思维

陈凤霞

新的《数学课程标准》指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，而应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。因此我们在教学中应充分挖掘教材中的问题背景，为学生提供自主学习、探索创新的时间与空间，从而有效培养起学生的数学思维能力和创新意识。

下面是“问题引导式”教学设计下的以“圆周角”为背景的一堂教学实录，意在尝试如何引导学生进行自主性学习与探究性活动。

一、设计理念

建构主义的学习理论认为：学习是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动。让学生亲身经历几何定理概念的探究过程才能真正做到有意义的主动建构。在教学中创设情境，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望，引导学生积极思维，主动获取知识，使学生在自主学习、探索、交流中要学数学、会学数学和乐学数学，力求体现“以学生发展为本”的指导思想。

“引导—探究—发现”教学模式体现在数学教学中，是指依据教师或教材所提供的材料和问题，通过学生自己积极主动的思维活动，亲自探索和发现数学的概念、定理、公式和解题方法等的教学模式。本堂课采用了以下模式：提出问题—引导作图、讨论、试行概括，形成假说（提出各种可能性）—验证假说探究（得出肯定或否定的结果）—发现规律性结论（概念、定理、公式、法则）—重点研讨—练习应用及时反馈—评价总结。这一模式让学生以研究者的方式参与全过程，发挥学生的主体作用，营造宽松愉悦、和谐的学习环境，提高学生学数学的兴趣。

二、教学过程

1.设疑，作图，激活思维。

师：前面我们已经学过了圆心角，什么样的角叫圆心角？你能画图说明吗？

生：顶点在圆心的角是圆心角。如图：

师：请大家画图并观察，思考问题。

问题1：在⊙O中画圆心角∠AOB。

当∠AOB的顶点O在平面内运动时，顶点与圆的位置关系会产生哪几种情况？请你画出图加以说明。

生：角的顶点O可以在四个位置：圆外、圆内（除圆心）、圆上、在圆心。

问题2：当一个角的顶点在圆上，这个角的两边与圆的位置关系又会产生哪几种情况？请你画出图加以说明。

生：当角的顶点在圆上时，角的两边在运动过程中与圆有三种位置关系：角的两边都与圆相交、角的一边都与圆相交、角的两边都与圆不相交。

【评】问题1启发学生辨别角的顶点和圆的关系，认清角的顶点的位置，问题2则是辨别当角的顶点在圆上时角的两边和圆的关系，通过点的运动和线段的运动建立起圆周角的模型，为圆周角的定义做好铺垫，使学生主动建构概念。

2.归纳，同化定义。

师：几何中把你们在问题2中所画出的满足第一种角的条件的角叫做圆周角。你能类比圆心角把圆周角的定义总结一下吗？

生：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角是圆周角。

师：那圆心角与圆周角间有什么区别呢？

生1：圆心的位置不同。

生2：还要满足角的两边都与圆相交。

师：总结得很好！请找出你刚才在问题1与问题2中所画的角中的圆周角，进一步认识它。

【评】由学生总结定义比老师直接给出定义更直观，学生对概念的理解会更深刻。通过创设情境，学生亲身体验概念的形成。

3.讨论，合作探究。

问题3：如图，画出所对的圆心角和圆周角，BC所对的圆心角有几个？圆周角有几个？用量角器量出圆心角的度数，再量出所画各圆周角的度数。你能发现什么？

（学生自己作图，观察、测量。）

（小组合作探究，与别的同学比较画出的圆心角与圆周角，发现不同，考虑并分析正确性。开始时有的同学觉得别人的圆周角与自己的不一样有所怀疑，经过讨论辨析发现都是正确的，从而弄清同一条弧所对的圆周角有无数个。）

师：根据作图与测量，你们得出了哪些结论？

生1：BC弧所对的圆心角只有一个，而圆周角有很多。

生2：BC弧所对的圆周角的度数我测量的结果都相等。

师：那其他同学的结果呢？

生：也是的。

师：另外有补充吗？

（愣了一会儿）

生：我发现我所量出的BC弧所对的圆心角是圆周角的两倍。

师：那其他同学有类似结论吗？

生（恍然大悟）：喔，我们也是呀！

师：你们得出了很多假设，他们正确与否呢？我们需要需要严密地推导，大家以小组为单位，对下面的问题互相讨论，并尝试验证它们的正确性。

（学生学习热情高涨，跃跃欲试。）

问题4：如图，BC弧所对的圆心角∠BOC的度数为60°，延长BO交⊙O于A，连接AC，则BC弧所对的圆周角∠BAC等于多少度？如果∠BOC的度数为m°，那么∠BAC等于多少度？

（学生思考并解题，得出结果后又提出疑问：若BC弧所对的圆周角的一条边不是直径也会有这样的结果吗？）

结论：需要分类验证。

生：（说验证过程）略。

【评】注重学生的“最近发展区”从特殊到一般，注重知识的建构过程，培养学生的思维。

师：通过验证大家知道了“一条弧所对的圆心角只有一个，所对的圆周角有无数个”，但是对“一条弧所对的圆周角是否是圆心角的一半”存在不同意见，怎样解决这个问题呢？我们看下一个问题。

问题5：你能证明：“一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半”吗？

提示分析：为了验证这个猜想，可将圆对折，使折痕经过圆心和圆周角的顶点。这时可能出现三种：①折痕是圆周角的一条边，②折痕在圆周角内部，③折痕在圆周角的外部。

（学生证明）

师：大家先得出图1的特殊情况的证明方法，然后把后面的两种一般情况通过作辅助线转化为第一种情况，用到了从特殊到一般的数学思想方法，今后要注意这种方法的运用。

师：同时要知道这种证明一个命题的方法叫做完全归纳法，完全归纳法是把要研究的某类事物的所有情况，逐一加以讨论，再进行概括而得出一般性的结论。情况的分类要正确，不能重复不能遗漏。

师：现在你们能总结一下刚才验证的结论吗？

生：（1）一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。

（2）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

【评】注重对数学思想方法的渗透，并及时进行归纳和总结，使学生的独立思考与合作探究相结合，注重学生的活动空间与时间的把握。

问题6：观察图中，∠C2，∠C3，∠C4的大小有什么关系？∠AC6B与∠AC7B呢？你能发现什么结论？你会验证吗？你会用文字语言归纳你所发现的结论吗？？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 ？摇？摇？摇

师：（归纳总结）略。

4.展示，反馈知识。

（学生练习）

三、教学反思

1.本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而人为主观安排时间。用问题引导探究符合学生的认知规律，因为几何规律（公式）的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，也可以提高他们应用公式的技能。因此，不但不可以省，而且要充分挖掘，使不同层次的学生都有事情做且乐此不疲，更充分地参与其中，课堂气氛和谐、融洽，体现了课堂的动态平衡性。

2.在圆周角定理的探求过程中，学生表现出观察角度的差异，有的学生只是侧重观察某个特殊位置，把它孤立地看，而不知道将一般位置联系地看；有些学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力。教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行思维方式与解题方式指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。

3.数学课堂需要以一种生态的理念作支撑。要从生态化的角度对课堂进行审视，用生态的和谐平衡、动态生成的思想，指导课堂教学中教学目标的设置、教学内容的选择与编排、教与学方式方法的选择与适应、教学环境的创建等，力求营造和谐的、动态的、充满生命力的、可持续性的教授知识、学习知识和交流知识的数学课堂教学生态环境。

4.整节课虽然设计了很多循序渐进的问题，力求用问题引导探究，也尝试用“生态学原理”的观念指导数学课堂教学，考虑了课堂生态环境的平衡。但“生态学原理”与“数学课堂教学”两个概念的结合还是比较牵强。今后还需借用生态学中观念与方法，分析数学课堂教学环境中“教师、学生、教材、环境”等因素所具有的生态特性，探索适宜的教学观、学习观，另外对教学评价的开展也要进行更具体的研究。