集合与函数测试卷

一、填空题

1.已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B=.

2.已知集合A={（x，y）|y=2x-1}，B={（x，y）|y=x+2}，则A∩B=.

3.设全集U={1，3，5，7，9}，集合M={1，a-5}，MU，且UM={3，5，7}，则实数a=.

4.函数f（x）=1-2log6x的定义域为.

5.已知函数f（x）=x21+x2，则f（2）+f（3）+f（4）+f（12）+f（13）+f（14）的值为.

6.若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是.

7.设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[-1，1）时，f（x）=-4x2+2，-1≤x<0，

x，0≤x<1，则f（32）=.

8.函数f（x）=log2x·log2（2x）的最小值为 .

9.已知函数f（x）=x2-2ax+5（a>1），若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，则实数a=.

10.已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.

11.已知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），则函数g（x）=f2（x）+f（x2）的值域为.

12.已知奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，当f（lgt）<0时，则t的取值范围为.

13.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=ax+1，-1≤x<0，

bx+2x+1，0≤x≤1，其中a，b∈R，若f（12）=f（32），则a+3b的值为.

14.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是.

二、解答题

15.已知集合A={x|a≤x≤a+4}，B={x|x>1或x<-6}.

（1）若A∩B=，求a的取值范围；

（2）若A∪B=B，求a的取值范围.

16.已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）.

17.已知函数f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2.

（1）求f（x）的最小值；

（2）判断f（x）的单调性，并说明理由；

18.已知函数f（x）的定义域为R，当x>0时，f（x）>1，且对于任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）-1.

（1）试探究函数f（x）的单调性；

（2）若f（2）=3，试解不等式f（x2）+f（1-4x）<6.

19.已知函数f（x）=ax+bx2+1是（-1，1）上的奇函数，且f（12）=5.

（1）求实数a，b的值；

（2）判断并证明函数f（x）在（-1，1）上单调性；

（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）<0.

20.已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.

参考答案

一、填空题

1. {1，2，4，6}；

2. {（3，5）}；

3. 14；

4. （0，6]；

5. 3；

6. （-ln2，2）；

7. 1；

8. -14；

9. 2；

10. （0，1）∪（9，+∞）；

11. [2，7]；

12. （0，110）∪（1，10）；

13. -10；

14. 6.

二、解答题

15.解：（1）∵A∩B=

∴a≥-6

a+4≤1，

∴-6≤a≤-3.

（2）∵A∪B=B

∴AB

∴a+4<-6或a>1

∴a<-10或a>1.

16.解：因为f（x）=x3+3x-3a，x≥a，

x3-3x+3a，x

所以f′（x）=3x2+3，x≥a，

3x2-3，x

由于-1≤x≤1，

（i）当a≤-1时，有x≥a，

故f（x）=x3+3x-3a，

此时f（x）在（-1，1）上是增函数，

因此，M（a）=f（1）=4-3a，m（a）=f（-1）=-4-3a，故M（a）-m（a）=（4-3a）-（-4-3a）=8.

（ii）当-1

则f（x）=x3-3x+3a在（-1，a）上是减函数.所以，M（a）=max{f（1），f（-1）}，m（a）=f（a）=a3.

由于f（1）-f（-1）=-6a+2，因此，当-1

（iii）当a≥1时，有x≤a，故f（x）=x3-3x+3a，此时f（x）在（-1，1）上是减函数，因此，M（a）=f（-1）=2+3a，m（a）=f（1）=-2+3a，

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1

-a3+3a+2，13

4，a≥1.

17.解：易知f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数.

（1）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4.

x=0时，f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2最小值为2.

（2）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4

x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；

f（x）为偶函数.所以只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增.

设0≤x1≤x2<1，所以1-x41>1-x42>0，得11-x41<11-x42

f（x1）-f（x2）=11-x41-11-x42<0

所以x∈[0，1）时，f（x）递增.

18.解：（1）任取x1，x2∈R，且x10

f（x2）-f（x1）=f（t+x1）-f（x1）=f（t）+f（x1）-1-f（x1）=f（t）-1

∵当x>0时，f（x）>1

∴f（t）-1>0

∴f（x1）

∴函数f（x）在R上单调递增.

（2）由f（x2）+f（1-4x）<6得f（x2-4x+1）+1<6

即f（x2-4x+1）<5

又∵f（2）=3，∴f（4）=2f（2）-1=5

∴f（x2-4x+1）

∵函数f（x）单调递增，∴x2-4x+1<4，即x2-4x-3<0

∴2-7

∴原不等式的解集为（2-7，2+7）.

19.解：（1）∵f（x）为奇函数

∴对任意x∈（-1，1），f（-x）+f（x）=0

∴f（0）=0

∴b=0

∴f（x）=axx2+1

又∵f（12）=a21+14=5

∴a=252

∴f（x）=252·x1+x2

（2）f′（x）=2521-x2（x2+1）2

x∈（-1，1），f′（x）>0

∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增.

（3）因为f（t-1）+f（t）<0f（t-1）<-f（t）

又f（x）是（-1，1）上的奇函数

∴f（t-1）

∵f（x）在（-1，1）单调递增

∴-1

-1

t-1<-t

∴0

∴关于t的不等式的解集为（0，12）.

20.解：由f（x）=ex-ax2-bx-1，

得g（x）=f′（x）=ex-2ax-b.

所以g′（x）=ex-2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a].

当a≤12时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当a≥e2时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；

当12

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.

综上所述，当a≤12时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当12

g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；

当a≥e2时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b.

（作者：房国新，江苏省前黄高级中学）

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1

-a3+3a+2，13

4，a≥1.

17.解：易知f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数.

（1）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4.

x=0时，f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2最小值为2.

（2）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4

x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；

f（x）为偶函数.所以只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增.

设0≤x1≤x2<1，所以1-x41>1-x42>0，得11-x41<11-x42

f（x1）-f（x2）=11-x41-11-x42<0

所以x∈[0，1）时，f（x）递增.

18.解：（1）任取x1，x2∈R，且x10

f（x2）-f（x1）=f（t+x1）-f（x1）=f（t）+f（x1）-1-f（x1）=f（t）-1

∵当x>0时，f（x）>1

∴f（t）-1>0

∴f（x1）

∴函数f（x）在R上单调递增.

（2）由f（x2）+f（1-4x）<6得f（x2-4x+1）+1<6

即f（x2-4x+1）<5

又∵f（2）=3，∴f（4）=2f（2）-1=5

∴f（x2-4x+1）

∵函数f（x）单调递增，∴x2-4x+1<4，即x2-4x-3<0

∴2-7

∴原不等式的解集为（2-7，2+7）.

19.解：（1）∵f（x）为奇函数

∴对任意x∈（-1，1），f（-x）+f（x）=0

∴f（0）=0

∴b=0

∴f（x）=axx2+1

又∵f（12）=a21+14=5

∴a=252

∴f（x）=252·x1+x2

（2）f′（x）=2521-x2（x2+1）2

x∈（-1，1），f′（x）>0

∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增.

（3）因为f（t-1）+f（t）<0f（t-1）<-f（t）

又f（x）是（-1，1）上的奇函数

∴f（t-1）

∵f（x）在（-1，1）单调递增

∴-1

-1

t-1<-t

∴0

∴关于t的不等式的解集为（0，12）.

20.解：由f（x）=ex-ax2-bx-1，

得g（x）=f′（x）=ex-2ax-b.

所以g′（x）=ex-2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a].

当a≤12时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当a≥e2时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；

当12

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.

综上所述，当a≤12时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当12

g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；

当a≥e2时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b.

（作者：房国新，江苏省前黄高级中学）

故M（a）-m（a）=（2+3a）-（-2+3a）=4.

综上，M（a）-m（a）=8，a≤-1，

-a3-3a+4，-1

-a3+3a+2，13

4，a≥1.

17.解：易知f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数.

（1）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4.

x=0时，f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2最小值为2.

（2）a=1时，

f（x）=1-x21+x2+1+x21-x2=21-x4

x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减；

f（x）为偶函数.所以只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增.

设0≤x1≤x2<1，所以1-x41>1-x42>0，得11-x41<11-x42

f（x1）-f（x2）=11-x41-11-x42<0

所以x∈[0，1）时，f（x）递增.

18.解：（1）任取x1，x2∈R，且x10

f（x2）-f（x1）=f（t+x1）-f（x1）=f（t）+f（x1）-1-f（x1）=f（t）-1

∵当x>0时，f（x）>1

∴f（t）-1>0

∴f（x1）

∴函数f（x）在R上单调递增.

（2）由f（x2）+f（1-4x）<6得f（x2-4x+1）+1<6

即f（x2-4x+1）<5

又∵f（2）=3，∴f（4）=2f（2）-1=5

∴f（x2-4x+1）

∵函数f（x）单调递增，∴x2-4x+1<4，即x2-4x-3<0

∴2-7

∴原不等式的解集为（2-7，2+7）.

19.解：（1）∵f（x）为奇函数

∴对任意x∈（-1，1），f（-x）+f（x）=0

∴f（0）=0

∴b=0

∴f（x）=axx2+1

又∵f（12）=a21+14=5

∴a=252

∴f（x）=252·x1+x2

（2）f′（x）=2521-x2（x2+1）2

x∈（-1，1），f′（x）>0

∴函数f（x）在（-1，1）上单调递增.

（3）因为f（t-1）+f（t）<0f（t-1）<-f（t）

又f（x）是（-1，1）上的奇函数

∴f（t-1）

∵f（x）在（-1，1）单调递增

∴-1

-1

t-1<-t

∴0

∴关于t的不等式的解集为（0，12）.

20.解：由f（x）=ex-ax2-bx-1，

得g（x）=f′（x）=ex-2ax-b.

所以g′（x）=ex-2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1-2a，e-2a].

当a≤12时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当a≥e2时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b；

当12

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.

综上所述，当a≤12时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1-b；

当12

g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b；

当a≥e2时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e-2a-b.

（作者：房国新，江苏省前黄高级中学）