不等式恒成立条件下参数范围的确定与思维变式的引导

邹建荣　胡仁本

不等式恒成立条件下的参数范围的确定，有时可以转化为求函数的最值（或确界）问题；或者变量分离后再转化为求函数的最值问题，进而求出所要求的参变量的范围。上述方法解决了一类问题，使得对这类问题，操作上有定法，思维上有定势。但正是这种定法、定势，往往也会给我们带来种种麻烦，造成解题上避简就繁，甚至失败。年年高考，年年考题都有新题型。所谓的新题型往往就是打破常规的思维定势，新瓶装旧酒而已，但年年都有很多平时感觉不错的学生落马。发散思维，多角度、多方法思考问题是打破思维定势的有效方法；逻辑清晰，按正确的逻辑思维行事有时也能助我们一臂之力。本文举例谈一下笔者在处理不等式恒成立下的参数范围的确定与思维变式的一些体会。

中学生不要求也不会利用洛必达法则，而解法的后半部分正是利用洛必达法则求极限的结果。

学生解题失败的原因就是他们对求不等式恒成立下的参数范围时，使用变量分离的这种思维定势太强了。吃了苦头的学生感到变量分离不好使了，转而打破这一定势，走向了它的反面：不分离变量。

解法4：本题是一道填空题，从图形上看，可以考查等式两端的两个函数的图象，它们都过（1，0）点（如右图），易求得过该点处函数y=lnx的切线的斜率为1，由数形结合立得满足条件的k的范围是[1，+∞）。

这就是我出这道题的初衷。

这里的发散，可以是平面上的发散，也可以是多维的发散；可以是式子的变形，也可以是方法上的改进；可以是逻辑上的思考，也可以是将函数式图形化的处理等等。怎样有利于问题的快速解决，就从哪一个方向入手，这就是发散思维。但发散思维绝不是空穴来风，它要求我们能够抓住问题的实质，有着牢固的基础知识和基本技能，能够举一反三。常锻炼自己多角度看问题的能力，才有可能实现有效的发散思维，才有利于问题的解决。下面再看一道高考题。上述例3的分析1中的构思方法，绝大多数中学生都能想到，但真正解到底却在能力上达不到，有些知名的学校不惜花费教学时间给学生补充函数的极限，补充函数的极限中的洛必达法则。但是对于中学阶段众多的知识点补充到什么程度才算完整？这要加重学生多少负担啊？那么，为什么我们不能引导学生从发散思维上下一些功夫呢？求函数的最值，一般是求导再定导数的符号或就参数的范围讨论函数的符号。但本例求出一阶导数后，连讨论都无从谈起。这就是“一阶导数即可搞定原函数的单调性”这一定势阻碍了我们的解题过程，这就需要再发散，再次求导（或多次求导）才使问题得以解决。其实这就又形成了新的定势：多次求导得出原函数的最值。

人们认识事物的规律就是由一个思维定势经发散形成另一种新的思维定势的过程，随着人们的认识事物的不断深入，更新的思维定势又在不断形成。我们有理由认为，知识的补充有可能解决一些问题，但是目前中学教材内容已经使得学生疲于奔命了，补充终归不是最佳途径。从我们的教学实践来看，多在学生的掌握知识扎实程度上下功夫，多在学生掌握知识灵活程度上下功夫，多在培养学生的发散思维上下功夫等对于提高学生的应变能力肯定是大有裨益的。

（江苏省苏州吴中区甪直中学）endprint

不等式恒成立条件下的参数范围的确定，有时可以转化为求函数的最值（或确界）问题；或者变量分离后再转化为求函数的最值问题，进而求出所要求的参变量的范围。上述方法解决了一类问题，使得对这类问题，操作上有定法，思维上有定势。但正是这种定法、定势，往往也会给我们带来种种麻烦，造成解题上避简就繁，甚至失败。年年高考，年年考题都有新题型。所谓的新题型往往就是打破常规的思维定势，新瓶装旧酒而已，但年年都有很多平时感觉不错的学生落马。发散思维，多角度、多方法思考问题是打破思维定势的有效方法；逻辑清晰，按正确的逻辑思维行事有时也能助我们一臂之力。本文举例谈一下笔者在处理不等式恒成立下的参数范围的确定与思维变式的一些体会。

中学生不要求也不会利用洛必达法则，而解法的后半部分正是利用洛必达法则求极限的结果。

学生解题失败的原因就是他们对求不等式恒成立下的参数范围时，使用变量分离的这种思维定势太强了。吃了苦头的学生感到变量分离不好使了，转而打破这一定势，走向了它的反面：不分离变量。

解法4：本题是一道填空题，从图形上看，可以考查等式两端的两个函数的图象，它们都过（1，0）点（如右图），易求得过该点处函数y=lnx的切线的斜率为1，由数形结合立得满足条件的k的范围是[1，+∞）。

这就是我出这道题的初衷。

这里的发散，可以是平面上的发散，也可以是多维的发散；可以是式子的变形，也可以是方法上的改进；可以是逻辑上的思考，也可以是将函数式图形化的处理等等。怎样有利于问题的快速解决，就从哪一个方向入手，这就是发散思维。但发散思维绝不是空穴来风，它要求我们能够抓住问题的实质，有着牢固的基础知识和基本技能，能够举一反三。常锻炼自己多角度看问题的能力，才有可能实现有效的发散思维，才有利于问题的解决。下面再看一道高考题。上述例3的分析1中的构思方法，绝大多数中学生都能想到，但真正解到底却在能力上达不到，有些知名的学校不惜花费教学时间给学生补充函数的极限，补充函数的极限中的洛必达法则。但是对于中学阶段众多的知识点补充到什么程度才算完整？这要加重学生多少负担啊？那么，为什么我们不能引导学生从发散思维上下一些功夫呢？求函数的最值，一般是求导再定导数的符号或就参数的范围讨论函数的符号。但本例求出一阶导数后，连讨论都无从谈起。这就是“一阶导数即可搞定原函数的单调性”这一定势阻碍了我们的解题过程，这就需要再发散，再次求导（或多次求导）才使问题得以解决。其实这就又形成了新的定势：多次求导得出原函数的最值。

人们认识事物的规律就是由一个思维定势经发散形成另一种新的思维定势的过程，随着人们的认识事物的不断深入，更新的思维定势又在不断形成。我们有理由认为，知识的补充有可能解决一些问题，但是目前中学教材内容已经使得学生疲于奔命了，补充终归不是最佳途径。从我们的教学实践来看，多在学生的掌握知识扎实程度上下功夫，多在学生掌握知识灵活程度上下功夫，多在培养学生的发散思维上下功夫等对于提高学生的应变能力肯定是大有裨益的。

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不等式恒成立条件下的参数范围的确定，有时可以转化为求函数的最值（或确界）问题；或者变量分离后再转化为求函数的最值问题，进而求出所要求的参变量的范围。上述方法解决了一类问题，使得对这类问题，操作上有定法，思维上有定势。但正是这种定法、定势，往往也会给我们带来种种麻烦，造成解题上避简就繁，甚至失败。年年高考，年年考题都有新题型。所谓的新题型往往就是打破常规的思维定势，新瓶装旧酒而已，但年年都有很多平时感觉不错的学生落马。发散思维，多角度、多方法思考问题是打破思维定势的有效方法；逻辑清晰，按正确的逻辑思维行事有时也能助我们一臂之力。本文举例谈一下笔者在处理不等式恒成立下的参数范围的确定与思维变式的一些体会。

中学生不要求也不会利用洛必达法则，而解法的后半部分正是利用洛必达法则求极限的结果。

学生解题失败的原因就是他们对求不等式恒成立下的参数范围时，使用变量分离的这种思维定势太强了。吃了苦头的学生感到变量分离不好使了，转而打破这一定势，走向了它的反面：不分离变量。

解法4：本题是一道填空题，从图形上看，可以考查等式两端的两个函数的图象，它们都过（1，0）点（如右图），易求得过该点处函数y=lnx的切线的斜率为1，由数形结合立得满足条件的k的范围是[1，+∞）。

这就是我出这道题的初衷。

这里的发散，可以是平面上的发散，也可以是多维的发散；可以是式子的变形，也可以是方法上的改进；可以是逻辑上的思考，也可以是将函数式图形化的处理等等。怎样有利于问题的快速解决，就从哪一个方向入手，这就是发散思维。但发散思维绝不是空穴来风，它要求我们能够抓住问题的实质，有着牢固的基础知识和基本技能，能够举一反三。常锻炼自己多角度看问题的能力，才有可能实现有效的发散思维，才有利于问题的解决。下面再看一道高考题。上述例3的分析1中的构思方法，绝大多数中学生都能想到，但真正解到底却在能力上达不到，有些知名的学校不惜花费教学时间给学生补充函数的极限，补充函数的极限中的洛必达法则。但是对于中学阶段众多的知识点补充到什么程度才算完整？这要加重学生多少负担啊？那么，为什么我们不能引导学生从发散思维上下一些功夫呢？求函数的最值，一般是求导再定导数的符号或就参数的范围讨论函数的符号。但本例求出一阶导数后，连讨论都无从谈起。这就是“一阶导数即可搞定原函数的单调性”这一定势阻碍了我们的解题过程，这就需要再发散，再次求导（或多次求导）才使问题得以解决。其实这就又形成了新的定势：多次求导得出原函数的最值。

人们认识事物的规律就是由一个思维定势经发散形成另一种新的思维定势的过程，随着人们的认识事物的不断深入，更新的思维定势又在不断形成。我们有理由认为，知识的补充有可能解决一些问题，但是目前中学教材内容已经使得学生疲于奔命了，补充终归不是最佳途径。从我们的教学实践来看，多在学生的掌握知识扎实程度上下功夫，多在学生掌握知识灵活程度上下功夫，多在培养学生的发散思维上下功夫等对于提高学生的应变能力肯定是大有裨益的。

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