基础：在小专题复习中重建

段赛花

应用题是江苏高考必考项目，怎样复习更加有效？高三二轮复习中如何以小专题的形式上好复习课？为此苏州市园区学科联盟做了应用题专题的研究，在园区范围内展示应用题复习课的模式.本文借《三角函数专题》这一小专题复习课，与大家一起探讨应用题复习课应如何高效、简洁地在一节课中解决一类问题.

一、 高考要求

应用题考查学生的应用意识和运用数学知识与方法来分析、解决问题的能力.涉及数学模型有：数列模型、函数模型、几何模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.灵活应用数学知识解决实际问题一直是高考命题的一个热点.

二、 教学设计

【教学目标】

1. 掌握一类三角函数应用题的求法；

2. 强化“审清问题”和“探求思路”的训练.

【教学重点】一类三角函数应用题的求法.

【教学难点】让学生弄清各变元之间的关系.

【教学过程】具体教学操作：从给定变元→选择变元；从给定模式→背景变换（变式教学）；从单一主元→多参变元.

（一） 小题热身

教师点评这样设变元建立函数模型，的确比较繁琐，可见选择变元很有讲究；当然，也可以运用复合函数求导，让他们课后完成（限理科学生）.有学生设AE+FC=x，和上面一样也有无理根式，运算不方便. 教学设计时，我们考虑例2应比例1更有挑战性，让学生根据条件自主选择变元，并在解答遇阻时适当点拨，指出“好变元”的特征：利用已知知识能快速方便解决问题的就是好变元.

例3如图6，金鸡湖O有南北走向的星湖街，为了解决新园二的交通问题，园区管委会决定修建两条公路：延伸从金鸡湖O出发北偏西60°方向的阳澄湖大道至B点；在金鸡湖O正南方向星湖街上选取A点，在A，B间修建中环.

（1） 如果在A点处看金鸡湖O和B点视角的正弦值为35，求在B点处看金鸡湖O和A点视角的余弦值；

（2） 如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为1543 km2，A点距金鸡湖O的距离为3 km，求中环的长度；

（3） 如果设计要求金鸡湖O到中环AB段的距离为4 km，且中环AB最短，请你确定A，B两点的位置.

学生解答（1） ∠AOB=23π，sin∠BAO=35，∠BAO是锐角，得cos∠BAO=45，cos∠OBA=cosπ3-∠BAO=4+3310；

（2） OA=3，S△OAB=12OB·OA·sin23π=1543得OB=5，cos23π=52+32-AB22·5·3得AB=7（km）；

（3） 12AB·4=12OA·OB·sin∠AOB得OA·OB=833AB.AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos120°=OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB=83，AB得AB≥83，当且仅当OA=OB=8时等号成立.

答：（1） 余弦值4+3310；（2）中环长度7 km；（3） 当AB最短时，A，B距金鸡湖O分别为8 km.

教师点评背景复杂的应用题给足学生阅读时间，找出关键字词，把问题抽象、简化为O，A，B点，顺利建模.本题难点是（3），利用等面积法和不等关系，学生很陌生，小题探究（3）的安排在这里起到承上启下的作用.等面积法的应用是热点更是难点，结合书本习题改编的如下变题可以拓宽学生的思维，让二轮复习的深度和广度得到有效加强.

变题（苏教版必修5P24，7改编题）已知∠A=60°，P，Q分别是∠A的两边上的动点，设AP=x，AQ=y.

（1） 如图7（1），若PQ=3，求△APQ面积的最大值，并求取得最大值时x，y的值；

（2） 如图7（2），设∠MAP=α，∠MAQ=β（α，β为定值），M在线段PQ上，且AM=32，求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值.

教师点评回归书本，以本为本.学会受变题影响普遍使用上述解法.教师可以让学生思考：改成填空题，一眼看穿法？善用面积公式灵活解决应用问题.既然是二轮复习，我们更应强调快速解题.在一轮复习一题多解的基础上最终回归书本回到一题一解，既强调通解更珍惜优解.

学生思路PQ为定值，角A在如图9所示的圆周上运动，要使△APQ面积最大只要PQ边上的高最大，则A运动到和PQ垂直的圆的直径上时，利用S△APQ=12PQ·h可求解（其中h是A到PQ线段的距离）.

（三） 挑战高考

（2013年江苏卷三角应用解答题（略）.

教师点评

再练2013年的江苏高考题，让学生感受高考，勇于挑战.

（四） 善于思考，寻找规律（请您留下宝贵经验）

奇思异想，展示风采（请您留下精彩题目）

高三二轮复习时间短，任务重.如何高效解决一类问题需要我们教师有更多的思考.学生的学习效果是检验我们教学效果的最好工具.教师是主持人，引领、拓展、升华，借助这样的小专题，让学生取得更高成绩.

（江苏省苏州工业园区第二高级中学）endprint

应用题是江苏高考必考项目，怎样复习更加有效？高三二轮复习中如何以小专题的形式上好复习课？为此苏州市园区学科联盟做了应用题专题的研究，在园区范围内展示应用题复习课的模式.本文借《三角函数专题》这一小专题复习课，与大家一起探讨应用题复习课应如何高效、简洁地在一节课中解决一类问题.

一、 高考要求

应用题考查学生的应用意识和运用数学知识与方法来分析、解决问题的能力.涉及数学模型有：数列模型、函数模型、几何模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.灵活应用数学知识解决实际问题一直是高考命题的一个热点.

二、 教学设计

【教学目标】

1. 掌握一类三角函数应用题的求法；

2. 强化“审清问题”和“探求思路”的训练.

【教学重点】一类三角函数应用题的求法.

【教学难点】让学生弄清各变元之间的关系.

【教学过程】具体教学操作：从给定变元→选择变元；从给定模式→背景变换（变式教学）；从单一主元→多参变元.

（一） 小题热身

教师点评这样设变元建立函数模型，的确比较繁琐，可见选择变元很有讲究；当然，也可以运用复合函数求导，让他们课后完成（限理科学生）.有学生设AE+FC=x，和上面一样也有无理根式，运算不方便. 教学设计时，我们考虑例2应比例1更有挑战性，让学生根据条件自主选择变元，并在解答遇阻时适当点拨，指出“好变元”的特征：利用已知知识能快速方便解决问题的就是好变元.

例3如图6，金鸡湖O有南北走向的星湖街，为了解决新园二的交通问题，园区管委会决定修建两条公路：延伸从金鸡湖O出发北偏西60°方向的阳澄湖大道至B点；在金鸡湖O正南方向星湖街上选取A点，在A，B间修建中环.

（1） 如果在A点处看金鸡湖O和B点视角的正弦值为35，求在B点处看金鸡湖O和A点视角的余弦值；

（2） 如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为1543 km2，A点距金鸡湖O的距离为3 km，求中环的长度；

（3） 如果设计要求金鸡湖O到中环AB段的距离为4 km，且中环AB最短，请你确定A，B两点的位置.

学生解答（1） ∠AOB=23π，sin∠BAO=35，∠BAO是锐角，得cos∠BAO=45，cos∠OBA=cosπ3-∠BAO=4+3310；

（2） OA=3，S△OAB=12OB·OA·sin23π=1543得OB=5，cos23π=52+32-AB22·5·3得AB=7（km）；

（3） 12AB·4=12OA·OB·sin∠AOB得OA·OB=833AB.AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos120°=OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB=83，AB得AB≥83，当且仅当OA=OB=8时等号成立.

答：（1） 余弦值4+3310；（2）中环长度7 km；（3） 当AB最短时，A，B距金鸡湖O分别为8 km.

教师点评背景复杂的应用题给足学生阅读时间，找出关键字词，把问题抽象、简化为O，A，B点，顺利建模.本题难点是（3），利用等面积法和不等关系，学生很陌生，小题探究（3）的安排在这里起到承上启下的作用.等面积法的应用是热点更是难点，结合书本习题改编的如下变题可以拓宽学生的思维，让二轮复习的深度和广度得到有效加强.

变题（苏教版必修5P24，7改编题）已知∠A=60°，P，Q分别是∠A的两边上的动点，设AP=x，AQ=y.

（1） 如图7（1），若PQ=3，求△APQ面积的最大值，并求取得最大值时x，y的值；

（2） 如图7（2），设∠MAP=α，∠MAQ=β（α，β为定值），M在线段PQ上，且AM=32，求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值.

教师点评回归书本，以本为本.学会受变题影响普遍使用上述解法.教师可以让学生思考：改成填空题，一眼看穿法？善用面积公式灵活解决应用问题.既然是二轮复习，我们更应强调快速解题.在一轮复习一题多解的基础上最终回归书本回到一题一解，既强调通解更珍惜优解.

学生思路PQ为定值，角A在如图9所示的圆周上运动，要使△APQ面积最大只要PQ边上的高最大，则A运动到和PQ垂直的圆的直径上时，利用S△APQ=12PQ·h可求解（其中h是A到PQ线段的距离）.

（三） 挑战高考

（2013年江苏卷三角应用解答题（略）.

教师点评

再练2013年的江苏高考题，让学生感受高考，勇于挑战.

（四） 善于思考，寻找规律（请您留下宝贵经验）

奇思异想，展示风采（请您留下精彩题目）

高三二轮复习时间短，任务重.如何高效解决一类问题需要我们教师有更多的思考.学生的学习效果是检验我们教学效果的最好工具.教师是主持人，引领、拓展、升华，借助这样的小专题，让学生取得更高成绩.

（江苏省苏州工业园区第二高级中学）endprint

应用题是江苏高考必考项目，怎样复习更加有效？高三二轮复习中如何以小专题的形式上好复习课？为此苏州市园区学科联盟做了应用题专题的研究，在园区范围内展示应用题复习课的模式.本文借《三角函数专题》这一小专题复习课，与大家一起探讨应用题复习课应如何高效、简洁地在一节课中解决一类问题.

一、 高考要求

应用题考查学生的应用意识和运用数学知识与方法来分析、解决问题的能力.涉及数学模型有：数列模型、函数模型、几何模型、不等式模型、三角模型、概率模型等.灵活应用数学知识解决实际问题一直是高考命题的一个热点.

二、 教学设计

【教学目标】

1. 掌握一类三角函数应用题的求法；

2. 强化“审清问题”和“探求思路”的训练.

【教学重点】一类三角函数应用题的求法.

【教学难点】让学生弄清各变元之间的关系.

【教学过程】具体教学操作：从给定变元→选择变元；从给定模式→背景变换（变式教学）；从单一主元→多参变元.

（一） 小题热身

教师点评这样设变元建立函数模型，的确比较繁琐，可见选择变元很有讲究；当然，也可以运用复合函数求导，让他们课后完成（限理科学生）.有学生设AE+FC=x，和上面一样也有无理根式，运算不方便. 教学设计时，我们考虑例2应比例1更有挑战性，让学生根据条件自主选择变元，并在解答遇阻时适当点拨，指出“好变元”的特征：利用已知知识能快速方便解决问题的就是好变元.

例3如图6，金鸡湖O有南北走向的星湖街，为了解决新园二的交通问题，园区管委会决定修建两条公路：延伸从金鸡湖O出发北偏西60°方向的阳澄湖大道至B点；在金鸡湖O正南方向星湖街上选取A点，在A，B间修建中环.

（1） 如果在A点处看金鸡湖O和B点视角的正弦值为35，求在B点处看金鸡湖O和A点视角的余弦值；

（2） 如果△AOB区域作为保护区，已知保护区的面积为1543 km2，A点距金鸡湖O的距离为3 km，求中环的长度；

（3） 如果设计要求金鸡湖O到中环AB段的距离为4 km，且中环AB最短，请你确定A，B两点的位置.

学生解答（1） ∠AOB=23π，sin∠BAO=35，∠BAO是锐角，得cos∠BAO=45，cos∠OBA=cosπ3-∠BAO=4+3310；

（2） OA=3，S△OAB=12OB·OA·sin23π=1543得OB=5，cos23π=52+32-AB22·5·3得AB=7（km）；

（3） 12AB·4=12OA·OB·sin∠AOB得OA·OB=833AB.AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos120°=OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB=83，AB得AB≥83，当且仅当OA=OB=8时等号成立.

答：（1） 余弦值4+3310；（2）中环长度7 km；（3） 当AB最短时，A，B距金鸡湖O分别为8 km.

教师点评背景复杂的应用题给足学生阅读时间，找出关键字词，把问题抽象、简化为O，A，B点，顺利建模.本题难点是（3），利用等面积法和不等关系，学生很陌生，小题探究（3）的安排在这里起到承上启下的作用.等面积法的应用是热点更是难点，结合书本习题改编的如下变题可以拓宽学生的思维，让二轮复习的深度和广度得到有效加强.

变题（苏教版必修5P24，7改编题）已知∠A=60°，P，Q分别是∠A的两边上的动点，设AP=x，AQ=y.

（1） 如图7（1），若PQ=3，求△APQ面积的最大值，并求取得最大值时x，y的值；

（2） 如图7（2），设∠MAP=α，∠MAQ=β（α，β为定值），M在线段PQ上，且AM=32，求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值.

教师点评回归书本，以本为本.学会受变题影响普遍使用上述解法.教师可以让学生思考：改成填空题，一眼看穿法？善用面积公式灵活解决应用问题.既然是二轮复习，我们更应强调快速解题.在一轮复习一题多解的基础上最终回归书本回到一题一解，既强调通解更珍惜优解.

学生思路PQ为定值，角A在如图9所示的圆周上运动，要使△APQ面积最大只要PQ边上的高最大，则A运动到和PQ垂直的圆的直径上时，利用S△APQ=12PQ·h可求解（其中h是A到PQ线段的距离）.

（三） 挑战高考

（2013年江苏卷三角应用解答题（略）.

教师点评

再练2013年的江苏高考题，让学生感受高考，勇于挑战.

（四） 善于思考，寻找规律（请您留下宝贵经验）

奇思异想，展示风采（请您留下精彩题目）

高三二轮复习时间短，任务重.如何高效解决一类问题需要我们教师有更多的思考.学生的学习效果是检验我们教学效果的最好工具.教师是主持人，引领、拓展、升华，借助这样的小专题，让学生取得更高成绩.

（江苏省苏州工业园区第二高级中学）endprint