基于数学结构思想的解题教学

袁晶

摘要 利用数学结构思想指导学生进行数学解题，从结构和本质上认识数学，通过联想、感知和分析数学结构，提高学生对知识的系统掌握，领悟数学思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词数学结构思想数学结构解题教学

一、 问题的提出

解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中，我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息，无从下手，或者不能及时更换思维策略，不知所措， 从而导致学生数学学习上的困难。

例1P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离。按这个定义，求函数f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之间的距离。

此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点：

（1） y=f（x）是一个幂函数，图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线；（2）点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到圆心的距离，第二个突破点是解题的难点。

其实，解决例1时，我们若是能联想到结构相近的另一类问题，解题就会有所突破。如

引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。

对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动点到某直线的距离，可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征，实施 从“动”到“定”的转化。而结合引例，再来分析例1，区别在于y=f（x）的图象不是直线，且点P为动点，故要设点P的坐标，表示出点P到圆心的距离，进而借助函数解决问题。

从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中，应引导学生通过解题，理解和分析题中数学结构和知识特征，使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。

二、 数学结构思想

结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间的统一性。

数学结构通常分为两大类：纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等；另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质进行再认识与再处理。

可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完整的数学结构体系，提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。

三、 数学结构思想在解题教学中的运用和实践

1. 联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化

注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次地抓住问题本质。

如例题1，解题教学过程中，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，明确知识间的区别和联系，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的方法。

2. 感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系

理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中，一个已知条件可以有几种不同的考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目中的数学结构，识别各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范围。

解析：

方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识，借助图形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再结合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”的知识，设AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，结合x的范围利用基本不等式，得cosC≥32，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的边AB∩BC=B”的结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”的知识，先确定边BC，再以B为圆心，1为半径作圆，画出顶点A的轨迹，进而确定角C的变化，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

可见，学生审题过程中会出现多种思想火花，教师在数学结构思想的指导下，不要随意否定学生，应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构，形成系统知识体系。

3. 分析数学结构，合情归纳推理，达成目标简化

解题时，学生有时不能很快明确其中的突破点，教师在数学结构思想观下，引导学生合情推理，通过特殊到一般、类比归纳等方式，重新明确问题，进一步地分析其中的知识结构，建立恰当的数学模型，以达成目标的简化。

例3（江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题）

电子蛙跳游戏是： 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根据解题过程中（1）的数学结构，借助归类进一步认识结构，实际是分步计数原理的应用。利用树形图，合情推理和猜想，对结构从特殊到一般的认识，从而应用结构，对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。

四、 结论

基于数学结构思想的数学解题教学，不单是教会学生解决某一道题，也不是提倡“形式主义”，而是要通过解题，借助变式、一题多解等教学方式，让学生领悟各种数学结构，体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型，加深巩固所学的公式、概念和定理等，引导学生寻找知识联系，识别知识特征，合情归纳推理，提高解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]孙晓天.数学结构主义的思想与方法及其影响[J].东北师大学报自然科学版.1988（4）：25～29

[2]张奠宙，李士錡，李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003

[3]张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报.2006（12）：125

[4] 沈良.略谈数学结构观下的解题与教学[J].数学通讯.2012（12）：1

（江苏省无锡市第六高级中学）endprint

摘要 利用数学结构思想指导学生进行数学解题，从结构和本质上认识数学，通过联想、感知和分析数学结构，提高学生对知识的系统掌握，领悟数学思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词数学结构思想数学结构解题教学

一、 问题的提出

解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中，我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息，无从下手，或者不能及时更换思维策略，不知所措， 从而导致学生数学学习上的困难。

例1P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离。按这个定义，求函数f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之间的距离。

此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点：

（1） y=f（x）是一个幂函数，图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线；（2）点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到圆心的距离，第二个突破点是解题的难点。

其实，解决例1时，我们若是能联想到结构相近的另一类问题，解题就会有所突破。如

引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。

对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动点到某直线的距离，可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征，实施 从“动”到“定”的转化。而结合引例，再来分析例1，区别在于y=f（x）的图象不是直线，且点P为动点，故要设点P的坐标，表示出点P到圆心的距离，进而借助函数解决问题。

从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中，应引导学生通过解题，理解和分析题中数学结构和知识特征，使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。

二、 数学结构思想

结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间的统一性。

数学结构通常分为两大类：纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等；另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质进行再认识与再处理。

可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完整的数学结构体系，提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。

三、 数学结构思想在解题教学中的运用和实践

1. 联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化

注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次地抓住问题本质。

如例题1，解题教学过程中，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，明确知识间的区别和联系，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的方法。

2. 感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系

理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中，一个已知条件可以有几种不同的考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目中的数学结构，识别各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范围。

解析：

方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识，借助图形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再结合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”的知识，设AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，结合x的范围利用基本不等式，得cosC≥32，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的边AB∩BC=B”的结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”的知识，先确定边BC，再以B为圆心，1为半径作圆，画出顶点A的轨迹，进而确定角C的变化，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

可见，学生审题过程中会出现多种思想火花，教师在数学结构思想的指导下，不要随意否定学生，应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构，形成系统知识体系。

3. 分析数学结构，合情归纳推理，达成目标简化

解题时，学生有时不能很快明确其中的突破点，教师在数学结构思想观下，引导学生合情推理，通过特殊到一般、类比归纳等方式，重新明确问题，进一步地分析其中的知识结构，建立恰当的数学模型，以达成目标的简化。

例3（江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题）

电子蛙跳游戏是： 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根据解题过程中（1）的数学结构，借助归类进一步认识结构，实际是分步计数原理的应用。利用树形图，合情推理和猜想，对结构从特殊到一般的认识，从而应用结构，对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。

四、 结论

基于数学结构思想的数学解题教学，不单是教会学生解决某一道题，也不是提倡“形式主义”，而是要通过解题，借助变式、一题多解等教学方式，让学生领悟各种数学结构，体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型，加深巩固所学的公式、概念和定理等，引导学生寻找知识联系，识别知识特征，合情归纳推理，提高解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]孙晓天.数学结构主义的思想与方法及其影响[J].东北师大学报自然科学版.1988（4）：25～29

[2]张奠宙，李士錡，李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003

[3]张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报.2006（12）：125

[4] 沈良.略谈数学结构观下的解题与教学[J].数学通讯.2012（12）：1

（江苏省无锡市第六高级中学）endprint

摘要 利用数学结构思想指导学生进行数学解题，从结构和本质上认识数学，通过联想、感知和分析数学结构，提高学生对知识的系统掌握，领悟数学思想方法，培养学生分析问题和解决问题的能力。

关键词数学结构思想数学结构解题教学

一、 问题的提出

解题教学是数学教学过程中的一个重要组成部分。在平时的教学过程中，我们经常发现学生在解题时不能准确提取题目中的有用信息，无从下手，或者不能及时更换思维策略，不知所措， 从而导致学生数学学习上的困难。

例1P是函数y=f（x）图象上的点，Q是函数y=g（x）图象上的点，且P，Q两点之间的距离PQ能取到最小值d，那么将d称为函数y=f（x）与y=g（x）之间的距离。按这个定义，求函数f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之间的距离。

此题选自2013年上海浦东新区二模试题卷。解决这道题有两个突破点：

（1） y=f（x）是一个幂函数，图象就是抛物线y2=x在第一象限的曲线；y=g（x）是圆（x-2）2+y2=1在第一象限的半圆曲线；（2）点P到定圆上点Q的距离，要转化为点P到圆心的距离，第二个突破点是解题的难点。

其实，解决例1时，我们若是能联想到结构相近的另一类问题，解题就会有所突破。如

引例：求圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最小距离。

对于引例，教师应指导学生抓住：研究圆上的动点到某直线的距离，可以借助定点圆心到该直线的距离的探究。利用圆的特征，实施 从“动”到“定”的转化。而结合引例，再来分析例1，区别在于y=f（x）的图象不是直线，且点P为动点，故要设点P的坐标，表示出点P到圆心的距离，进而借助函数解决问题。

从以上解题分析我们能感受到数学结构思想对解题的帮助。教师平时的解题教学中，应引导学生通过解题，理解和分析题中数学结构和知识特征，使得学生积累并掌握一定的数学知识结构和数学模型，进而用动态思维做到问题的转化和知识的创新。

二、 数学结构思想

结构思想是皮亚杰等发展起来的现代教育理论，法国布尔巴基学派认为数学的发展是各种结构的建立和发展，建立了数学结构思想学说，探讨诸多数学结构间的统一性。

数学结构通常分为两大类：纯数学结构和一般数学结构。纯数学结构从宏观上提出“结构”指代数结构、拓扑结构、顺序结构等；另一类为一般数学结构，即为了实现数学的教育功能而强调的数学知识间的广泛关联性，在此前提下提出的一些数学结构。如与数的知识有关的复数的分类结构、方程或方程组的同解变换结构、数学应用上的各式各样的数学模型结构、解题或证明的程序结构等等。数学结构思想的核心是“结构”。数学结构思想提出通过研究数学表面上的差异，探索数学知识间联系和一致性的方法和观点，对数学本质进行再认识与再处理。

可见，运用数学结构思想实施数学解题教学，可以帮助学生形成完整的数学结构体系，提高学生掌握数学知识的效率。在解题教学中渗透数学思想方法，通过解题提高他们分析、解决问题的能力。

三、 数学结构思想在解题教学中的运用和实践

1. 联想数学结构，寻找知识联系，实现问题转化

注重数学结构思想的运用，有助于学生整体性数学思维水平的提高。数学结构思想的内涵是探索知识能力间的结构联系，以此为指导开展解题教学，使学生高层次地抓住问题本质。

如例题1，解题教学过程中，教师运用引例，借助变式训练，指导学生通过提取已有的数学结构，明确知识间的区别和联系，进一步提升和转化已有的知识结构，进行创造性思维，找到解决问题的方法。

2. 感知数学结构，识别知识特征，形成数学体系

理解和掌握数学结构思想有助于学生建立良好的数学认知结构。一道题目中，一个已知条件可以有几种不同的考虑角度，教师在解题教学过程中，适当引导学生，感知题目中的数学结构，识别各种结构具有的知识特征，进而选择合理的解决方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范围。

解析：

方法一：感知“两边一对角”的结构特征，想到“用正弦定理判断三角形解的个数”的知识，借助图形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再结合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“两边和一角”的结构特征，想到“用余弦定理表示角”的知识，设AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，结合x的范围利用基本不等式，得cosC≥32，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的边AB∩BC=B”的结构特征，想到“借助作三角形图，观察动角C的变化”的知识，先确定边BC，再以B为圆心，1为半径作圆，画出顶点A的轨迹，进而确定角C的变化，再结合C∈0，π，得C∈0，π6。

可见，学生审题过程中会出现多种思想火花，教师在数学结构思想的指导下，不要随意否定学生，应该让学生通过一题多解积累多种数学知识结构，形成系统知识体系。

3. 分析数学结构，合情归纳推理，达成目标简化

解题时，学生有时不能很快明确其中的突破点，教师在数学结构思想观下，引导学生合情推理，通过特殊到一般、类比归纳等方式，重新明确问题，进一步地分析其中的知识结构，建立恰当的数学模型，以达成目标的简化。

例3（江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考23题）

电子蛙跳游戏是： 青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根据解题过程中（1）的数学结构，借助归类进一步认识结构，实际是分步计数原理的应用。利用树形图，合情推理和猜想，对结构从特殊到一般的认识，从而应用结构，对相似结构处理方法和过程等进行合理迁移。

四、 结论

基于数学结构思想的数学解题教学，不单是教会学生解决某一道题，也不是提倡“形式主义”，而是要通过解题，借助变式、一题多解等教学方式，让学生领悟各种数学结构，体会蕴含的数学思想。培养学生利用已有的数学知识结构和模型，加深巩固所学的公式、概念和定理等，引导学生寻找知识联系，识别知识特征，合情归纳推理，提高解决数学问题的能力。

参考文献：

[1]孙晓天.数学结构主义的思想与方法及其影响[J].东北师大学报自然科学版.1988（4）：25～29

[2]张奠宙，李士錡，李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社，2003

[3]张宏斌.试述数学结构思想及其在数学教学中的运用[J].辽宁教育行政学院学报.2006（12）：125

[4] 沈良.略谈数学结构观下的解题与教学[J].数学通讯.2012（12）：1

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