又一类含变量可转移函数核的Hilbert型积分不等式

洪 勇

（广东财经大学 数学与统计学院，广州510320）

0 引言与引理

设p＞1，1／p＋1／q＝1，K（x，y）≥0，ω1（x）≥0，ω2（y）≥0，f（x）≥0，g（y）≥0.不等式

称为Hilbert型积分不等式.

关于Hilbert型不等式的研究，目前基本上围绕积分核K（x，y）的特性而展开，对于齐次积分核，其研究已取得许多成果［1－10］.文献［11］通过引入一种变量可转移函数的概念，在其参数满足λ1λ2＞0的情况下，研究了具有变量可转移函数积分核的Hilbert型积分不等式.本文研究λ1λ2＜0情形下相应的Hilbert型积分不等式.

定义1［11］设λ1λ2≠0，若函数K（x，y）满足：当t＞0时，有 K（tx，y）＝K（x，tλ1／λ2y），K（x，ty）＝K（tλ2／λ1x，y）.则称K（x，y）是具有参数λ1和λ2的变量可转移函数.

故式（1）成立.

类似地可证明式（2）成立.

1 主要结果

特别地，若还有λ1bp－λ2aq＝λ1－λ2，则

证明：利用Hölder不等式和引理1，有

故式（3）成立.

由式（5）～（7），可得

令ε→0＋，并利用Lebesgue控制收敛定理，得

定理2 设条件与定理1相同，则

特别地，若还有λ1bp－λ2aq＝λ1－λ2，则

式（9）中的常数因子是最佳的.

证明：用类似于文献［11］中定理2的证明方法可证.

2 应 用

推论1 设p＞1，1／p＋1／q＝1，λ1λ2＜0，α＞1，f（x）≥0，g（y）≥0，B（u，v）表示Beta函数.则

上式中的常数因子都是最佳的.

故由定理1和定理2可知结论成立.

推论2 设p＞1，1／p＋1／q＝1，λ1λ2＜0，0＜c＜α＜1，f（x）≥0，g（y）≥0，B（u，v）是Beta函数.则

上式中的常数因子都是最佳的.

故由定理1和定理2可知结论成立.

推论3 设p＞1，1／p＋1／q＝1，r＞1，1／r＋1／s＝1，λ1λ2＜0，λ1／r＋λ2／s＜0，f（x）≥0，g（y）≥0，Γ（u）是Gamma函数.则

上式中的常数因子都是最佳的.

证明：在式（4）和式（9）中取a＝（λ2－λ1）／（λ2qr），b＝（λ1－λ2）／（λ1ps），则λ1bp－λ2aq＝λ1－λ2.又因为K（x，y）＝e－xλ1yλ2是参数为λ1和λ2的变量可转移函数，且有

于是由定理1和定理2可知结论成立.

推论4 设p＞1，1／p＋1／q＝1，c＞0，λ1λ2＜0，f（x）≥0，g（y）≥0，Γ（u）是Gamma函数.则

上式中常数因子都是最佳的.

故由定理1和定理2可知结论成立.

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