素环上非线性Lie中心化子

张 芳 娟

（1.西安邮电大学 理学院，西安710121；2.西安外事学院 工学院，西安710077）

设R是环，对任意的a，b∈R，如果aR b＝0，有a＝0或b＝0，则称R是素环.φ：R→R是可加映射，对任意的A，B∈R，如果φ（AB）＝φ（A）B（φ（AB）＝Aφ（B）），则称φ是左（右）中心化子；若φ既是左中心化子又是右中心化子，则φ是中心化子.目前关于中心化子的研究已取得了许多成果［1－5］.

如果φ（［A，B］）＝［φ（A），φ（B）］，则称φ是Lie同构，其中［A，B］＝AB－BA 表示A 和B 的Lie积.如果φ（AB）＝φ（A）B＋Aφ（B），则称φ是导子.如果φ（［A，B］）＝［φ（A），B］＋［A，φ（B）］，则称φ是Lie导子.文献［6－11］给出了算子代数上的Lie同构及Lie导子结构.张建华等［7］在因子von Neumann代数上讨论了非线性Lie同构的结构问题；张芳娟等［11］得到了因子von Neumann代数上的非线性Lie导子是可加的导子与中心值迹之和的结论.

受中心化子、Lie同构、Lie导子概念的启发，下面引出Lie中心化子的定义.

定义1 设φ：R→R是可加映射，对任意的A，B∈R，如果满足φ（［A，B］）＝［φ（A），B］（或φ（［A，B］）＝［A，φ（B）］），则称φ是R上Lie中心化子.

注1 观察发现：若φ（［A，B］）＝［φ（A），B］，则

在式（1）中交换A和B，可得

在式（2）中用－A代替A，有

即φ（［A，B］）＝［A，φ（B）］.于是可得φ（［A，B］）＝［φ（A），B］和φ（［A，B］）＝［A，φ（B）］是等价的，并且和φ的可加性无关.

设φ：R→R是可加映射，对任意的A∈R，如果有［φ（A），A］＝0，则称φ是交换映射.易知，每个中心化子是Lie中心化子，且每个Lie中心化子是交换映射.

受文献［11］的启发，本文研究素环上非线性Lie中心化子，并给出素环上非线性Lie中心化子的结构.

定理1 设M是包含非平凡投影P的素环，且素环的中心是平凡的.若φ：M→M是非线性映射，如果对所有的A，B∈M，都有φ（［A，B］）＝［φ（A），B］，则存在λ∈ℂ以及映射ξ：M→ℂ满足ξ（［A，B］）＝0（∀A，B∈M），使得对任意的X∈M，有φ（X）＝λX＋ξ（X）I.

引理1 设A∈M且P1∈M是非平凡投影.则A∈P1MP2＋ℂI当且仅当对任意的B∈P1MP2，有［A，B］＝0.

证明与文献［7］中引理2.2类似.

引理2 φ（0）＝0，φ（ℂI）＝ℂI.

证明：任取A∈M，有φ［A，0］＝［φ（A），0］＝0，则φ（0）＝0.又由于

所以φ（ℂI）＝ℂI.

引理3 设i，j∈｛1，2｝且i≠j，则

证明：设i，j∈｛1，2｝且i≠j，由［Pi，Pj］＝0和引理2得［φ（Pi），Pj］＝φ（0）＝0.因此φ（Pi）Pj＝Pjφ（Pi）.进而Piφ（Pi）Pj＝Pjφ（Pi）Pi＝0.所以

引理4 设i，j∈｛1，2｝且i≠j，则对任意的X∈Mij，有φ（X）＝Piφ（X）Pj.

证明：设i，j∈｛1，2｝且i≠j，X∈Mij.因为X＝［Pi，X］，故有φ（X）＝［φ（Pi），X］.由引理3，对任意的X∈Mij，有

引理5 设i，j，k，l∈｛1，2｝，则对任意的Aij∈Mij和Bkl∈Mkl，有

证明：1）如果i＝j且k≠l，则k＝i且l≠i或者l＝i且k≠i.

第一种情况：对任意的Til∈Mil，有［Aii＋Bil，Til］＝［Aii，Til］.因此

由引理1，存在λ1∈ℂ，使得

由［Aii，Pi］＝0得［φ（Aii），Pi］＝0.因此，式（3）可化为

由Bil＝［Aii＋Bil，Pl］得

由引理4和上面的等式有

于是由式（4）知，φ（Aii＋Bil）－φ（Aii）－φ（Bil）∈ℂI.同理可证第二种情况.

2）如果i≠j且k≠l，则k＝i且l＝j或者k＝j且l＝i.

第一种情况：由于Aij＋Bij＝［Pi＋Aij，Pj＋Bij］，由1）的第一种情况、引理3和引理4得

进而

第二种情况：对任意的Tij∈Mij，Sji∈Mji，有

从而可得

由引理1，存在λ2，λ3∈ℂ，使得

根据引理4，有Piφ（Bji）Pj＝Pjφ（Aij）Pi＝0.因此式（6），（7）可化为

由于Aij＋Bji＝ ［［Aij＋Bji，Pi］，－Pj］，有

由式（8）～（10）得

3）如果i＝j且k＝l，则k＝i或者k≠i.

第一种情况：对任意的Tim∈Mim和m∈｛1，2｝且m≠i，有

由式（5），

即对任意的Tim∈Mim，

由

分别得

于是可得

又由引理1有φ（Aii＋Bii）－φ（Aii）－φ（Bii）∈ℂI.

第二种情况：对任意的Tik∈Mik，有［Aii＋Bkk，Tik］＝AiiTik－TikBkk.根据式（5），

与3）的第一种情况类似可得

由引理1，有

引理6 设i，j∈｛1，2｝且i≠j，则对任意的A11∈M11，C22∈M22和Bij∈Mij，有

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证明：对任意的Tij∈Mij，有

由引理5，

再由引理1和Piφ（A11）Pj＝Piφ（C22）Pj＝0知，存在λ4∈ℂ，使得

显然Bij＝［A11＋Bij＋C22，Pj］，因此

再根据引理4，

所以

由引理6，

再由引理1和

知，存在λ5∈ℂ，使得

同理，对任意的T21∈M21，由

存在λ6∈ℂ，使得

根据引理5，有

由式（13），（14）可知，存在λ7∈ℂ，使得

由式（11），（12），（15）有

引理8 对任意的A，B∈M，φ（A＋B）－φ（A）－φ（B）∈ℂI.

由引理5，对任意的i，j∈｛1，2｝，有φ（Aij＋Bij）－φ（Aij）－φ（Bij）∈ℂI.因此，对任意的A，B∈M，φ（A＋B）－φ（A）－φ（B）∈ℂI.

引理9 对任意的A∈M11，P2φ（A）P2∈ℂP2；对任意的B∈M22，P1φ（B）P1∈ℂP1.

证明：设A∈M11，B∈M22，由［A，P1］＝0得［φ（A），P1］＝0，即φ（A）P1－P1φ（A）＝0，进一步P1φ（A）P2＝P2φ（A）P1＝0.因而，对任意的A∈M11，

同理，对任意的B∈M22，由［B，P2］＝0有

因为［A，B］＝［B，A］＝0，所以

结合式（16）～（18）得

因此，对任意的A∈M11，P2φ（A）P2∈ℂP2；对任意的B∈M22，P1φ（B）P1∈ℂP1.

注2 由引理9，对任意的A∈M11，B∈M22，定义f1（A）和f2（B）分别为出现在P2φ（A）P2和P1φ（B）P1中的数.特别地，P2φ（A）P2＝f1（A）P2，P1φ（B）P1＝f2（B）P1.由引理 9，对任意的A∈M11，

对任意的B∈M22，有

则对任意的Aij∈Mij（1≤i，j≤2），有g（Aij）＝0；对任意的Aij∈Mij（1≤i≠j≤2），有f（Aij）＝0.记ψ（A）＝φ（A）－g（A）I－f（A）I.

引理10 注2中的ψ是可加的.

证明：由ψ的定义，对任意的A∈M，一方面，由注2和引理4，有

另一方面，由注2，有

则P1ψ（A）P1＝ψ（P1AP1）.同理可得P2ψ（A）P2＝ψ（P2AP2）.由注2和引理4，有

因此对任意的Aij∈Mij，i，j∈｛1，2｝，

由注2知，当i≠j时，有g（Aij）＝f（Aij）＝0，于是，若i≠j，则有ψ（Aij）＝φ（Aij）.因此，由式（5），对任意的Aij，Bij∈Mij，i≠j，

设Tij∈Mij，i≠j，则对任意的Aii，Bii∈Mii（i＝1，2），有

因此

由式（19）～（21）知，对任意的A，B∈M，有ψ（A＋B）＝ψ（A）＋ψ（B）.

下面证明定理1.由引理10，ψ是可加映射，并且由于［A，A］＝0，所以，对任意的A∈M，

因此ψ是可加的可交换映射，由文献［5］，存在数λ∈ℂ和映射μ：M→ℂ，使得对任意的X∈M，ψ（X）＝λX＋μ（X）I.所以，对任意的X∈M，φ（X）＝λX＋ξ（X）I，这里ξ＝μ＋f＋g是M→ℂ的映射.进而，对任意的A，B∈M，φ（［A，B］）＝λ［A，B］＋ξ［A，B］I.另一方面，

则ξ［A，B］I＝0，即对任意的A，B∈M，ξ［A，B］＝0.

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