环 的 强 正 则 性

殷晓斌，陈赛男，豆 皖

（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖241003）

0 引 言

本文的环均指有单位元的结合环，环上的模均指单式模.设R是环，J（R），C（R）和N（R）分别表示R的Jacobson根、中心和幂零元之集.对于R中的任意元a，l（a）和r（a）分别表示a的左零化子和右零化子.如果对于任意的a∈R，存在正整数n，使得an≠0，且任意左R－模同态f：Ran→M均可扩张为R到M 的同态，则左R－模M 称为左GP－内射模［1］.类似可定义右GP－内射模.如果R的每个单左（右）R－模是GP－内射的，则R称为左（右）GP－V－环［1］；如果环R的每个单奇异左（右）R－模是GP－内射的，则R称为左（右）GP－V′－环［1］.如果R中不含非零的幂零元，则R称为约化环［1］.如果对于任意的a∈R，存在b∈R，使得a＝a2b，则R称为强正则环［2］.强正则环具有左右对称性.如果对于R的任意左（右）理想I，均有I2＝I，则R称为左（右）弱正则环［3］.如果R的每个左理想是由幂等元生成的，则R称为广义正则环［4］.如果对于任意的r∈R，x∈L，存在正整数n，使得（rx）n∈L（或（xr）n∈L），则环R的子加群L称为R 的弱左（右）理想［4］.如果J（R）＝N（R），则环R称为J－环［5］.如果对于任意的a，b，r∈R，且ab＝0，有arb∈C（R），则R称为中心半交换环.如果对于任意的a∈N（R），存在正整数n，使得an≠0，且任意左R－模同态f：Ran→M均可扩张为R到M 的同态，则左R－模M 称为左wnil－内射模［6］.如果对于任意的a，b∈R，ab＝0，存在正整数n，使得an≠0，bn≠0，anRbn＝0，则R称为拟ZI－环［7］.

1 GP－V－环与GP－V′－环的强正则性

引理1 设R是环，若R的每个主左（右）理想是弱右（左）理想，则R／J（R）约化.

证明：仅证左的情形，右的情形类似可证.

对任意的a∈R，若a∉J（R）且a2∈J（R），则存在R的极大左理想M，使得M＋Ra＝R.由a2∈J（R）可得R＝M＋Ma.于是存在m∈M，使得1－ma∈M.由于Rm是弱右理想，故存在正整数n，使得（ma）n∈Rm⊆M.因此有

故ma∈M，1＝ma＋（1－ma）∈M，矛盾.所以a∈J（R），R／J（R）约化.证毕.

引理2［1］若环R 是左（右）GP－V－环，则J（R）＝0.

引理3 设R是环，若R为每个幂等元是中心元的左（右）GP－V′－环，且每个主左（右）理想是弱右（左）理想，则R是约化环.

证明：仅证左的情形，右的情形类似可证.

对任意的a∈R，若a≠0且a2＝0，则存在R的极大左理想M，使得l（a）⊆MR，因此可以定义左R－模同态f：Ra→R／M；rar＋M，∀r∈R.

下证M是本质左理想.若不然，则存在e2＝e∈R，使得M＝Re＝l（1－e）.由a∈Ra⊆M＝l（1－e）及R的每个幂等元是中心元知，a（1－e）＝0＝（1－e）a.故有

矛盾.于是M是R的本质左理想.由R是左GP－V′－环知，单奇异左R－模R／M 是GP－内射的.又因为a2＝0，所以存在b∈R，使得1＋M＝f（a）＝ab＋M，1－ab∈M.注意到Ra是弱右理想，则存在正整数n，使得（ab）n∈Ra⊆M.类似引理1可证ab∈M，1∈M，矛盾.故a＝0，R是约化环.证毕.

定理1 设R是环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是左（右）GP－V－环，且R的每个主左（右）理想是弱右（左）理想；

3）R为每个幂等元是中心元的左（右）GP－V′－环，且每个主左（右）理想是弱右（左）理想.

证明：1）⇒2），3）显然.下证2），3）⇒1）.仅证左的情形，右的情形类似可证.

2）⇒1）.由引理1和引理2知，R是约化环，则对任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下证Ra＋l（a）＝R.若不然，则存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R，于是存在R的极大左理想M，使得Ra＋l（a）⊆MR.由R 约化知，l（an）＝l（a），因此可以定义左R－模同态f：Ran→R／M；ranr＋M，∀r∈R.注意到R是左GP－V－环，单左R－模R／M是GP－内射的.从而存在b∈R，使得1－anb∈M.又因为Ra是弱右理想，则存在正整数m，使得（anb）m∈Ra⊆M.类似引理1可证anb∈M，1∈M，矛盾.所以对任意的a∈R，有Ra＋l（a）＝R.故R是强正则环.

3）⇒1）.由引理3知，R是约化环，则对任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下证Ra＋l（a）＝R.若不然，则存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R.类似引理3的证明知，存在R的极大本质左理想M，使得Ra＋l（a）⊆MR.于是单奇异左R－模R／M是GP－内射的.类似2）⇒1）可证1∈M，矛盾.所以对任意的a∈R，有l（a）＋Ra＝R.故R是强正则环.证毕.

命题1 设R是中心半交换环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是左GP－V′－环，且R的每个主左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－环，且R的每个主右理想是弱左理想.

证明：1）⇒2），3）显然.

2）⇒1）.由中心半交换环的定义，设e是幂等元，则e（1－e）＝（1－e）e＝0，于是对任意的a∈R，有ea（1－e）∈C（R），（1－e）ae∈C（R）.从而ea（1－e）＝e·ea（1－e）＝ea（1－e）·e＝0，则ea＝eae.同理有ae＝eae.故ae＝ea，即幂等元e是中心元.由定理1即得结论.

3）⇒1）.对任意的a∈R，若a≠0且a2＝0，则存在R的极大左理想M，使得l（a）⊆MR，因此可定义左R－模同态f：Ra→R／M；rar＋M，∀r∈R.易知M 是本质左理想.由R是左GP－V′－环知，单奇异左R－模R／M是GP－内射的.又因为a2＝0，所以存在b∈R，使得1＋M＝f（a）＝ab＋M，1－ab＝m∈M，1＝ab＋m.由于R 是中心半交换环，则aba∈C（R）.从而有（aba）（ba）＝（ba）（aba）＝0，（ab）3＝0，ab是幂零元.故m＝1－ab有逆元，1∈M，这与M的极大性矛盾.所以a＝0，R是约化环，故l（a）＝r（a）.

下证对任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，则存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.类似引理3的证明知，存在R的极大本质右理想K，使得aR＋l（a）⊆KR.假设RaRK，则存在r，s∈R，使得ras∉K.故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由aR是弱左理想知，存在正整数m，使得（rast）m∈aR⊆K，则（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR⊆K，RaR＋l（a）⊆KR，从而存在R的极大本质左理想L，使得RaR＋l（a）⊆LR.由R约化知，l（an）＝l（a），因此可以定义左R－模同态g：Ran→R／L；ranr＋L，∀r∈R.由R 是左 GP－V′－环知，单奇异左R－模R／L 是GP－内射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因为anc∈RaR⊆L，则1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是强正则环.证毕.

定理2 设R是中心半交换环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是左GP－V′－环，且R的每个极大本质左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－环，且R的每个极大本质右理想是弱左理想.

证明：1）⇒2），3）显然.

2）⇒1）.由命题1知R约化，下证对于任意的a∈R，Ra＋l（a）＝R.若不然，则存在a∈R，使得Ra＋l（a）≠R.类似引理3的证明知，存在R的极大本质左理想M，使得Ra＋l（a）⊆MR.由R约化知，l（an）＝l（a），于是可以定义左R－模同态f：Ran→R／M；ranr＋M，∀r∈R.由R是左GP－V′－环知，单奇异左R－模R／M是GP－内射的，因此存在b∈R，使得1－anb∈M.又因为M 是弱右理想，则存在正整数m，使得（anb）m∈M.类似引理1可证anb∈M，1∈M，矛盾.所以对于任意的a∈R，有Ra＋l（a）＝R.故R是强正则环.

3）⇒1）.由命题1知R约化，故l（a）＝r（a）.下证对任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，则存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.类似引理3的证明知，存在R的极大本质右理想K，使得aR＋l（a）⊆KR.假设RaRK，则存在r，s∈R，使得ras∉K.故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由K 是弱右理想知，存在正整数m，使得（rast）m∈K，则（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR⊆K，RaR＋l（a）⊆KR，因此存在R的极大本质左理想L，使得RaR＋l（a）⊆LR.由R约化知，l（an）＝l（a），从而可定义左R－模同态g：Ran→R／L；ranr＋L，∀r∈R.由R是左GP－V′－环知，单奇异左R－模R／L 是 GP－内射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因为anc∈RaR⊆L，则1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是强正则环.证毕.

引理4［7］设R是拟ZI－环，若R是GP－V′－环，则R约化.

由文献［7］中引理1.1.3知，拟ZI－环的每个幂等元是中心元.于是有：

命题2 设R是拟ZI－环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是左GP－V′－环，且R的每个主左理想是弱右理想；

3）R是左GP－V′－环，且R的每个主右理想是弱左理想.

证明：1）⇒2），3）显然.由定理1可得2）⇒1）.

3）⇒1）.由引理4知R约化，故l（a）＝r（a）.下证对于任意的a∈R，aR＋l（a）＝R.若不然，则存在a∈R，使得aR＋l（a）≠R.类似引理3的证明知，存在R的极大本质右理想K，使得aR＋l（a）⊆KR.假设RaRK，则存在r，s∈R，使得ras∉K，故K＋rasR＝R，于是存在x∈K，t∈R，使得x＋rast＝1.由aR是弱左理想知，存在正整数m，使得（rast）m∈aR⊆K，从而（1－x）m＝（rast）m∈K，1∈K，矛盾.故RaR⊆K，RaR＋l（a）⊆KR，于是存在R的极大本质左理想L，使得RaR＋l（a）⊆LR.由R约化知，l（an）＝l（a），因此可定义左R－模同态g：Ran→R／L；ranr＋L，∀r∈R.由R是左GP－V′－环知，单奇异左R－模R／L是GP－内射的，因而存在c∈R，使得1－anc∈L.又因为anc∈RaR⊆L，则1∈L，矛盾.所以aR＋r（a）＝aR＋l（a）＝R，R是强正则环.证毕.

2 广义（弱）正则环的强正则性

引理5［4］若环R是广义正则环，则R是左非奇异环，且J（R）＝0.

定理3 设R是环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是广义正则环，且R的每个主左理想是弱右理想；

3）R是广义正则环，且R的每个主右理想是弱左理想.

证明：1）⇒2），3）显然.仅证2）⇒1），类似可证3）⇒1）.

2）⇒1）.由引理1和引理5知R约化，则R的每个幂等元是中心的.又因为R是广义正则环，则对任意的a∈R，Ra＝∑Rei，其中ei是中心幂等元.令a＝r1e1＋…＋rnen，则有

从而有Ra＝Re1＋…＋Ren.令f1＝e1＋e2－e1e2，则f21＝f1，e1f1＝e1，e2f1＝e2，于是

故Re1＋Re2＝Rf1.再令f2＝f1＋e3－f1e3，…，fn－2＝fn－3＋en－1－fn－3en－1，e＝fn－2＋en－fn－2en.如此继续下去，有

则存在b，r∈R，使得a＝re，e＝ba，故a＝ae＝ea＝ba2，即R是强正则环.证毕.

命题3 设R是J－环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是左弱正则环，且R的每个极大本质左理想是弱右理想；

3）R是左弱正则环，且R的每个极大本质右理想是弱左理想；

4）R是右弱正则环，且R的每个极大本质左理想是弱右理想；

5）R是右弱正则环，且R的每个极大本质右理想是弱左理想.

证明：1）⇒2），3），4），5）显然.下证2），3）⇒1），类似可证4），5）⇒1）.

2）⇒1）.因为R是左弱正则环，故J（R）＝0.又R是J－环，则N（R）＝J（R）＝0，从而R是约化环.下证l（a）＋Ra＝R.若l（a）＋Ra≠R，则存在R的极大左理想M，使得l（a）＋Ra⊆MR.易知M 是R的本质左理想.若不然，则存在e2＝e∈R，使得M＝Re＝l（1－e）.由a∈Ra⊆M＝l（1－e）及R约化知，a（1－e）＝0＝（1－e）a.故有1－e∈l（a）⊆l（1－e），1－e＝（1－e）2＝0，1＝e∈M，矛盾.于是M是R的本质左理想，从而M是弱右理想.又由于R是左弱正则环，故有Ra＝RaRa，则存在ri，si∈R，使得a＝∑riasia，因此（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）⊆M.若∑riasi∉M，则存在正整数k，使得rkask∉M.于是M＋Rrkask＝R，则存在x∈M，r∈R，使得x＋rrkask＝1.注意到M是弱右理想且a∈M，则存在正整数n，使得（rrkask）n∈M，则（1－x）n＝（rrkask）n∈M，1∈M，矛盾.所以对于任意的a∈R，有l（a）＋Ra＝R.故R是强正则环.

3）⇒1）.由上述证明知R是约化环，则对于任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下证r（a）＋aR＝R.若不然，则存在R的极大右理想K，使得l（a）＋aR＝r（a）＋aR⊆KR.类似2）⇒1）的证明知，K是R的本质右理想，则K是弱左理想.又因为R是左弱正则环，故有Ra＝RaRa.因此存在ri，si∈R，使得a＝ ∑riasia，从而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）⊆K.若∑riasi∉K，则存在正整数k，使得rkask∉K.于是K＋rkaskR＝R，则存在x∈K，r∈R，使得x＋rkaskr＝1.注意到K是弱左理想且a∈K，则存在正整数n，使得（rkaskr）n∈K，则（1－x）n＝（rkaskr）n∈K，1∈K，矛盾.所以对于任意的a∈R，有l（a）＋aR＝r（a）＋aR＝R.故R是强正则环.证毕.

定理4 设R是环，则下列叙述等价：

1）R是强正则环；

2）R是左弱正则环，且R的每个主左理想是弱右理想；

3）R是左弱正则环，且R的每个主右理想是弱左理想；

4）R是右弱正则环，且R的每个主左理想是弱右理想；

5）R是右弱正则环，且R的每个主右理想是弱左理想.

证明：1）⇒2），3），4），5）显然.下证2），3）⇒1），类似可证4），5）⇒1）.

2）⇒1）.因为R是左弱正则环，故J（R）＝0.由引理1知R是约化环.下证l（a）＋Ra＝R.若l（a）＋Ra≠R，则存在R的极大左理想M，使得l（a）＋Ra⊆MR.由于R是左弱正则环，故有Ra＝RaRa，则存在ri，si∈R，使得a＝ ∑riasia，从而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）⊆M.若∑riasi∉M，则存在正整数k，使得rkask∉M.于是M＋Rrkask＝R，则存在x∈M，r∈R，使得x＋rrkask＝1.注意到Ra是弱右理想，则存在正整数n，使得（rkask）n∈Ra⊆M，从而（1－x）n＝（rkask）n∈M，1∈M，矛盾.所以对于任意的a∈R，有l（a）＋Ra＝R.故R是强正则环.

3）⇒1）.由上述证明知R是约化环，则对于任意的a∈R，l（a）＝r（a）.下证r（a）＋aR＝R.若不然，则存在R的极大右理想K，使得l（a）＋aR＝r（a）＋aR⊆KR.又因为R是左弱正则环，故有Ra＝RaRa，则存在ri，si∈R，使得a＝∑riasia，从而（1－∑riasi）a＝0，1－∑riasi∈l（a）⊆K.若∑riasi∉K，则存在正整数k，使得rkask∉K.于是K＋rkaskR＝R，则存在x∈K，r∈R，使得x＋rkaskr＝1.注意到aR是弱左理想且a∈K，则存在正整数n，使得（rkaskr）n∈aR⊆K，从而（1－x）n＝（rkaskr）n∈M，1∈K，矛盾.所以对于任意的a∈R，有l（a）＋aR＝r（a）＋aR＝R.故R是强正则环.证毕.

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