M-强对称环

朱利民,吴 俊,费盼盼

(安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽 芜湖 241000)

1 基本性质

不难验证, 若M=(N,+), 则环R是M-强对称环当且仅当R是强对称环.

称幺半群M为u.p.幺半群, 若对任意非空有限子集A,B⊂M, 存在g∈M, 使得g有唯一的表示g=ab,a∈A,b∈B.

引理1[6]若M是u.p.幺半群,R是约化环, 则R[M]是约化环.

命题1若M是u.p.幺半群,R是约化环, 则R是M-强对称环.

证明注意到若α,β∈R[M]使得αβ=0, 则(βα)2=β(αβ)α=0, 由引理1知R[M]是约化环, 则βα=0.

(M,≤)是有序幺半群, 若对任意的g1,g2,h∈M,g1

易知, 严格全序幺半群是u.p.幺半群.

推论1若M是严格全序幺半群,R是约化环, 则R是M-强对称环.

命题2设M是交换可消幺半群,N是M的理想, 若R是N-强对称环, 则R是M- 强对称环.

由于R是N-强对称环, 故α1γ1β1=0, 所以αγβ=0, 即证R是M-强对称环.

命题3设M是幺半群,N是M的子幺半群,若R是M-强对称环, 则R是N-强对称环.

引理2[5]设M,N是u.p.幺半群, 则M×N也是u.p.幺半群.

命题4设M,N是u.p.幺半群, 若R是约化的, 则R是M×N-强对称环.

设T(G)是Abilian群G中所有有限阶元素的集合, 则T(G)是G的完全正规子群. 称G是无挠的, 若T(G)={e}, 其中e是G的单位元.

命题5设G是有限生成的Abilian群, 若G是无挠的, 则存在环R使得R是G- 强对称环.

证明设G是有限生成的Abilian群且T(G)={e}, 则G≅Z×Z×…×Z, 群Z的有限直积. 由引理2知G是u.p.幺半群. 设R是约化环, 则由命题1得到R是G-强对称环.

命题6设R是环,M是u.p.幺半群,I是R的理想, 若I是约化的, 且R/I是M-强对称环, 则R是M-强对称环.

推论2设M是严格全序幺半群, 若满足下面条件之一, 则R是M-强对称环.

1)R是约化环.

2)R/I是M-强对称环, 其中I是R的理想, 且I是约化的.

命题7若M,N是u.p.幺半群, 环R是约化的, 则R[M]是N-强对称环.

证明若M是u.p.幺半群, 环R是约化的, 由引理1知,R[M]是约化的, 又N是u.p.幺半群, 由命题1即知R[M]是N-强对称环.

设R为环,M为R-R-双模,R通过M的平凡扩张T(R,M)=R⊕M, 其运算是通常的加法和如下定义的乘法: (r1,m1)(r2,m2)=(r1r2,m1m2).

命题8设R是环,M是u.p.幺半群, 若R是约化的, 则T(R,R)是M-强对称环.

证明设α=(α0,α1),β=(β0,β1),γ=(γ0,γ1)∈T(R,R)[M] 满足αβγ=0, 从而有下面等式:

α0β0γ0=0,

(1)

α0β0γ1+α0β1γ0+α1β0γ0=0.

(2)

由引理1知R[M]是约化环, 从而R[M]是半交换环, 于是有对任意α,β∈R[M],αβ2=0(或者α2β=0)有αβ=0.

由式(1)得到α0R[M]β0R[M]γ0=0.

α0β0γ1+α1β0γ0=0.

(3)

式(3)右乘γ0, 同上可得α1β0γ0=0. 故有

α0β0γ0=α0β0γ1=α0β1γ0=α1β0γ0=0.

由于R是M-强对称环, 则

α0γ0β0=α0γ1β0=α0γ0β1=α1γ0β0=0.

所以αγβ=0, 即证T(R,R)是M-强对称环.

2 等价刻画

定理1设e是环R的中心幂等元, Δ是R的中心正则元构成的乘法闭集, 则下面叙述等价：

1)R是M-强对称环.

2)eR和(1-e)R是M-强对称环.

3)Δ-1R是M-强对称环.

证明1)⟹2) 设eα,eβ,eγ∈eR[M]使得eαeβeγ=0, 由于e是中心幂等元, 则有eαβγ=0. 又由R是M-强对称环, 则eαγβ=0, 即eαeγeβ=0, 故eR是M-强对称环. 同理可证(1-e)R是M-强对称环.

2)⟹1) 设α,β,γ∈R[M]使得αβγ=0, 从而有eαeβeγ=0,(1-e)α(1-e)β(1-e)γ=0, 由于eR和(1-e)R是M-强对称环, 则有eαeγeβ=0,(1-e)α(1-e)γ(1-e)β=0, 即eαγβ=0, (1-e)αγβ=0, 故αγβ=0.

3)⟹1)R是Δ-1R的子环.

设M是幺半群,N是M的子幺半群, 称N是M的理想, 若对任意的n∈N,m∈M, 有nm∈N,mn∈N.

环R称为右Ore环[7], 若a,b∈R,b是正则元, 则存在a1,b1∈R,b1是正则元, 使得ab1=ba1. 由Ore定理可知,R是右Ore环当且仅当存在R的古典右商环Q.

定理2设M是幺半群, 若存在环R的古典右商环Q, 则R是M-强对称环当且仅当Q是M-强对称环.

则αβγ=0, 由于R是M-强对称环, 则αγβ=0.

由于αγβ=0, 则

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