弱M－拟Armendariz环的性质及等价刻画

丁婷婷，吴 俊，张培雨

（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖241003）

本文所有的环均指有单位元的结合环.用N（R）表示环R的所有幂零元集合，Tn（R）表示环R上的n阶上三角矩阵环，M是幺半群，e是M 的单位元.Rege等［1］通过引入Armendariz环的概念，研究了Armendariz环与半交换环之间的关系.如果

有aibj＝0（∀0≤i≤n；0≤j≤m），则环R 称为 Armendariz环［1］.目前，对 Armendariz环及Armendariz环的推广研究已取得了丰富成果［2－10］.如果

有aiRbj＝0（∀0≤i≤n；0≤j≤m），则环 R 称为拟 Armendariz环［2］.Ebrahim［3］引入了M－拟Armendariz环的概念，并研究了其相关性质.如果

有aiRbj＝0（∀1≤i≤p；1≤j≤q），则环R 称为M－拟 Armendariz环［3］.如果式（2）成立，且有aiRbj⊆N（R）（∀0≤i≤n；0≤j≤m），则环 R 称为拟弱 Armendariz环［4］.如果式（3）成立，且有aiRbj⊆N（R）（∀1≤i≤p；1≤j≤q），则环R称为弱M－拟Armendariz环［5］.

若对M的任意两个非空有限子集A，B，存在g∈M唯一表示成ab的形式，则幺半群M称为u.p.－幺半群，其中：a∈A；b∈B.若对任意的a∈I，存在x∈I，使得ax＝a，则R的理想I称为右s－unital的.若对任意的a∈R，lR（Ra）◁R是右s－unital的，则环R称为左APP－环.

文献［6］证明了M是幺半群，N是u.p.－幺半群，R是左APP－环，则R是M×N－拟Armendariz环当且仅当R是M－拟Armendariz环.对于弱M－拟Armendariz环有如下结论.

定理1 设M，N是u.p.－幺半群，R是左APP－环，则下列命题等价：

1）R是弱M×N－拟Armendariz环；

2）R是弱M－拟Armendariz环；

3）R是弱N－拟Armendariz环.

则

由于R 是弱M×N－拟 Armendariz环，所以对任意的i，j，有aiRbj⊆N（R）.故R 是弱M－拟Armendariz环.

易证存在环同构

设

由文献［6］中推论2.5知R［M］是N－拟Armendariz环，因此对任意的p，q，有

由于R是弱M－拟Armendariz环，所以aiRbj⊆N（R），i∈Ap，j∈Bq.因此aiRbj⊆N（R），1≤i≤s，1≤j≤s′.故R是弱M×N－拟Armendariz环.

1）⇔3）.注意到R［M×N］≅R［N×M］，由类似于1）⇔2）的证明方法即证.

推论1 设M是u.p.－幺半群，R是左APP－环，则下列命题等价：

1）R是弱M－拟Armendariz环；

2）R是弱ℤ－拟Armendariz环；

3）R是弱ℕ－拟Armendariz环；

4）R是弱（M×ℤ）－拟Armendariz环；

5）R是弱（M×ℕ）－拟Armendariz环.

证明：由于ℤ，ℕ是u.p.－幺半群，故由定理1即证.

命题1 设M是交换幺半群，R是弱M－拟Armendariz环，则M是可消的.

证明：设m，g，h∈M，mg＝mh，但g≠h，则对任意的r∈R，m′∈M，

故

但1·1·1＝1∉N（R），与R是弱M－拟Armendariz环矛盾.所以M是可消的.

如果式（1）成立，且有aibj∈N（R）（∀0≤i≤n；0≤j≤m），则环R称为弱Armendariz环［7］.

对于幺半群M，用G（M）表示M的最大子群.文献［6］证明了若M 是交换幺半群，G（M）＝｛e｝，R是拟Armendariz和M－拟Armendariz环，则R［M］是拟Armendariz环.对于幺半群M，若R是拟弱Armendariz和弱M－拟Armendariz环，R［M］是否是拟弱Armendariz环未知.而对于半交换环R，则有如下结论.

命题2 设M是交换幺半群，G（M）＝｛e｝，R是半交换和弱M－拟Armendariz环，则R［M］是拟弱Armendariz环.

即

若对某个i′，i″，有gi′p′g2i′＝gi″p″g2i″.当i′＝i″时，由命题1知 M 是 可消的，则 gi′p′＝gi′p″，故p′＝p″.因此不失一般性，设i′＞i″，因为 M 是可消的，故gi′p′g2（i′－i″）＝gi″p″.易见对任意的i，j，p，q，gip，hjq均有逆元，故gip，hjq∈G（M）＝｛e｝.则可令αi＝aie，βj＝bje，即有

αiγβj＝ （air1bj）m1＋ （air2bj）m2＋ … ＋ （airnbj）mn， air1bj，air2bj，…，airnbj∈ N（R）.由文献［8］中引理3知αiγβj∈N（R［M］），所以R［M］是拟弱Armendariz环.

若对某个j′，j″，有hj′q′g2j′＝hj″q″g2j″，则类似于上述证明可得R［M］是拟弱 Armendariz环.

若每组gipg2i不同，每组hjqg2j也不同.由于R是弱M－拟Armendariz环，所以aipRbjq⊆N（R）.任取γ＝r1m1＋r2m2＋…＋rnmn∈R［M］，则有

由文献［7］中引理3.1和文献［8］中引理3知αiγβj∈N（R［M］），所以R［M］是拟弱Armendariz环.

由文献［6］知，M是幺半群，R是左APP－环，则R是M－拟Armendariz环当且仅当Sn（R）是M－拟Armendariz环.但对于弱M－拟Armendariz环有下列结论.

定理2 设M是幺半群，R是环，则下列命题等价：

1）R是弱M－拟Armendariz环；

2）Tn（R）是弱M－拟Armendariz环.

下证AiTn（R）Bj⊆N（Tn（R））.任取C＝（cef）∈Tn（R），则

设R为环，M为（R，R）－双模，R对于M 的平凡扩张T（R，M）＝R⊕M，其中运算为

易知

推论2 设M是幺半群，R是环，则下列命题等价：

1）R是弱M－拟Armendariz环；

2）Sn（R）是弱M－拟Armendariz环；

3）T（R，R）是弱M－拟Armendariz环；

4）R［x］／（xn）是弱 M－拟 Armendariz环.

证明：注意到

由定理2的证明方法即证上述命题等价.

注1 由定义可知，M－拟Armendariz环一定是弱M－拟Armendariz环，下面的例子说明反之不成立.

如果对任意的n∈N，m∈M，有nm∈N（mn∈N），则非空子集N是幺半群M 的右（左）理想.若N既是M的右理想，又是M的左理想，则称N是M的理想.

命题3 设N是幺半群M 的右（左）理想，且在N中存在M 的一个左（右）可消元.若R是弱N－拟Armendariz环，则R是弱M－拟Armendariz环.

两边同时左乘Ig得

因此

由于R是弱N－拟Armendariz环，所以对任意的i，j，有aiRbj⊆N（R）.因此R是弱M－拟Armendariz环.

推论3［5］设M 是可消的幺半群，N 是M 的理想.若R是弱N－拟Armendariz环，则R是弱M－拟Armendariz环.

命题4 设M是幺半群，R是弱M－拟Armendariz环.若I◁R，则I是弱M－拟Armendariz环.

则αR［M］［（se）β］＝0.由于 R 是弱 M－拟 Armendariz环，所以aiR（sbj）⊆N（R）.特别地，aisbj∈N（R）∩I＝N（I），即aiIbj⊆N（I）.所以I是弱M－拟Armendariz环.

命题5 设M是幺半群，R1，R2是环，则下列命题等价：

1）R1，R2是弱M－拟Armendariz环；

2）R1×R2是弱M－拟Armendariz环.

于是

故

类似可得

由于R1，R2是弱M－拟Armendariz环，所以对任意的i，j，有

则

即

所以R1×R2是弱M－拟Armendariz环.

2）⇒1）.R1≅R1×｛0｝，R2≅｛0｝×R2且R1×｛0｝，｛0｝×R2是R1×R2的理想，由命题4即证.

推论4 设 M 是幺半群，Ri（i∈I＝｛1，2，…，n｝）是环，则下列命题等价：

1）对于每个i∈I，Ri是弱M－拟Armendariz环；

证明：类似于命题5可证1）⇔2）.

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