高等数学中不定积分求法的探讨

梁翠敏

摘要：不定积分的求解问题是高等数学学习中最常遇到的问题之一，其主要思想就是根据已知函数来求其原函数。不定积分的求解方法很多，而且运用灵活，本文将介绍不定积分的性质，分析不定积分的多种求解方法并结合高等数学中实际例题加以探讨。

关键词：不定积分 高等数学 求解方法

不定积分是我们所学高等数学中的重要内容之一，下面我们就结合高等数学中的实际例题对不定积分问题的求解方法进行总结及探讨。

一、不定积分的基本概念及性质

定义 ：若在某区间上，有可导函数，如果存在此函数的原函数，则称函数为可积函数，并将函数的全体原函数表示为，称是在区间上的不定积分，其中是积分符号，是被积函数，被称作积分变量。

性质1：两个可积函数的代数和的积分等于它们各自积分代数和，其表达式为：

这个性质可以用于将自身不容易积分的函数分解为两个容易积分的函数来求解，或是将两个不容易积分的函数合并为和的形式来求解，这样便于更加灵活的求解不定积分。

性质2：被积函数的常数项可以被提到积分号外，其表达式为：

这个性质可以使得不定积分的求解计算更加清晰明了，不至于因为常数因子的干扰而导致计算错误。

二、不定积分的求解方法

本部分以高等数学学习中的实际例题来说明不定积分求解方法的原理和所适用的情况，为高等数学学习中不定积分的求解起到一定的指导作用。

1.直接积分法

直接积分法主要是直接或是通过不定积分的积分公式以及不定积分的线性运算规则来求不定积分，基本思路是：首先把被积函数变换为多个简单函数和的形式，然后再通过不定积分线性运算的法则和不定积分的基本积分的公式求解。

例1：不定积分的求解

分析：若果对它直接进行积分会发现很难，因此我们需要对所求的不定积分变形，使其出现能够使用简单的积分公式就能求出不定积分的形式。

解：

注：解此类题目，需要在能够记牢基本不定积分公式的基础上还要能够熟练运用这些公式，做到变换自如方能解题无阻。

2.换元法

第一类换元积分法

第一类换元积分法就是将所求被积函数用适当的变量代换以后，转化为公式中能够被积分的一种形式。也就是说当不定积分不容易用直接积分法求得时，我们可以将被积函数分解成的形式，通过变量代换，将关于的积分化为的积分，于是就有了下面的公式：

可以被简单积出，那么不定积分的问题也就解决了。

其基本步骤如下：

（1）先凑微分，即

（2）然后做变量代换后的积分，令，即

（3）最后再将变量带回得到原问题的解，即

例2：不定积分的求解

分析：看到积分变量上只是常数因子就应该要简单一些，就应该很容易想到要将作为换元的对象，然后就会很容易求出原不定积分的解。

解：设，则，于是按照上述步骤就得到下面的求解过程：

第二类换元积分法

如果出现不定积分使用前两种方法都不易求得，但是，在作变量替换后，得到的不定積分可以被求得，我们去解的问题就是第二类换元方法。

其基本步骤如下：

（1）首先换元，令，即

（2）然后再进行积分，

（3）最后代回，求出原不定积分的解，即

例3：不定积分的求解

分析：这是典型的第二类换元的例题，也是最常见的第二类换元形式，见到这种形式，首先就应该想到尝试用三角函数去换元。

解：令，则，，因此上述不定积分问题可以转换为下面公式

由于，因此可以得到，带入上式可得

3.分部积分法

分部积分法通常适用的情形是两类完全不同的被积函数的乘积。分部积分法主要包括两种类型：降幂分部积分和升幂分部积分。用此方法求解不定积分问题时的原则同样是是以新得到的积分比原先的积分更容易“积分”作为选择的原则。

三、总结

不定积分求解问题虽然没有固定方法可循，但这些题目的核心还是有规律可循的。在不定积分的学习过程中，要灵活多变，注意方法的结合，在练习中不断提升解不定积分问题的能力。

参考文献

[1]吴赣昌.高等数学（理工类）[M].北京：中国人民大学出版社，2008：130—149.

[2]张立卓， 孙辉. 谈不定积分运算中的一些灵活性[J]. 高等数学研究， 2002， 5（4）：32-34. DOI：10.3969/j.issn.1008- 1399.2002.04.014.