不等式恒成立问题

张艳香

不等式恒成立问题一直是高中数学学习的难点，也是高考的热点，试题基本是从函数、数列、不等式等内容的交汇处入手，全面考查对概念的理解和解决问题的综合能力。然不等式恒成立问题在高考中的主要题型有：证明某个不等式恒成立；已知不等式恒成立，求其中的参数的取值范围；存在性问题，即是否存在一个参数的值使已知不等式成立。下面主要从以下几个方面来谈谈我的看法：

一、不等式恒成立与有解的基本区别

1.不等式f（x）＜k在x∈I时恒成立?圳f（x）max＜k，x∈I，或f（x）的上界小于等于k

2.不等式f（x）＜k在x∈I时有解?圳f（x）min＜k，x∈I，或f（x）的下界小于k

3.不等式f（x）＞k在x∈I时恒成立?圳f（x）min＞k，x∈I，或f（x）的下界大于等于k

4.不等式f（x）＞k在x∈I时有解?圳f（x）max＞k，x∈I，或f（x）的上界大于k

不等式恒成立与有解是有明显区别的，以上充要条件应细心甄别差异，恰当使用等价转化，切不可混淆。

二、不等式恒成立问题的基本策略

1.判别式法

对于定义在R上的二次函数的恒成立问题仅用一元二次方程根的判别式即可解决。

2.分离参数法

若能将恒成立不等式中所涉及的两个变量分离，使它们分别在不等式的一边，则可由一个变量的范围推出另一个变量所适合的不等式，进而求得其范围。

3.单调性法

对于在所研究的区间上具有单调性的函数，通过用区间端点处的函数值列不等式求解。

4.最值法

很多不等式恒成立可转化为构造函数，研究新函数的最大（小）值所适合条件的问题。

5.图象特征法

结合函数的图象，利用函数图象的上下位置关系来确定参数的范围.如：不等式x2-logax＜0，在x∈（0，0.5）时恒成立，求a的取值范围。设f（x）=x2，g（x）=logax，然后在同一坐标系中准确画出两个函数的图象，借助图象观察便可求解。

6.分类讨论法

例如:已知函數f（x）=x2+ax+2a2-7，且f（x）＞0在区间［-1，+∞）上恒成立，求a的取值范围。此题不能用分离参数法来解，只能通过讨论对称轴的位置求解。

7.变换主元法

例如:对一切0≤a≤1，不等式3x2-ax+3a-3＜0恒成立，求实数x的取值范围。若用变量x作为主元，无论是分离变量还是研究二次不等式的公共解都很繁琐，但用参数a作为变量，构造关于a的一次函数h（a）=（3-x）a+3x2-3，只要满足h（0）＜0且h（1）＜0即可。

总体说来，将不等式恒成立问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质求解，由于此类问题一般综合性较强，大多情况要用多种方法综合使用。

三、典型例题

例1.已知函数f（x）=x2-4ax+a2（a∈R），若关于x的不等式f（x）≥x在R上恒成立，求实数a的取值范围。

解析:由题设（x）≥x，可得x2-（4a+1）x+a2≥0在R上恒成立，所以Δ=（4a+1）2-4a2≤0，求得a的范围为［-■，-■］。

例2.已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0，若对任意的x∈［0，+∞），有f（x）≤kx2恒成立，求实数k的取值范围。

解析：f（x）的定义域为（-a，+∞），由f（x）=x-ln（x+a）得f′（x）=1-■=■，所以当x＞1-a时，f′（x）＞0；当-a＜x＜1-a时，f′（x）＜0，故f（x）min=f（1-a）=1-a=0，所以a=1.

设g（x）=kx2-f（x）=kx2-x+ln（x+1）（x≥0），则g（x）≥0在x∈［0，+∞）上恒成立?圳g（x）min≥0=g（0）■

因为g（1）=k-1+ln2≥0，所以k＞0.

又因为g'（x）=2kx-1+■=■，当2k-1＜0，即k＜■与■式矛盾；当2k-1≥0即k≥■时符合■式，所以实数k的取值范围为［■，+∞）.

例3.是否存在实数m，使得不等式m2+mx+1≥■对任意a∈［-1，1］及x∈［-1，1］恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

解析：假设存在实数m符合题意，则有（■）max≤m2+mx+1，又当a∈［-1，1］时，■≤3，故（■）max=3，于是3≤m2+mx+1即mx+m2-2≥0对任意的x∈［-1，1］恒成立。令f（x）=mx+m2-2，则f（1）=m2+m-2≥0f（-1）=m2-m-2≥0，解得m≤2或m≥2，所以存在实数m∈（-∞，-2］∪［2，+∞）

不等式恒成立问题形式千变万化，考题也不断出现新的背景，因此在学习时要引导学生进行必要的转化与变形，归结为恒成立问题，在平时的学习中不断领悟和总结，提高此类问题的解决能力。

（作者单位 湖南省株洲市茶陵县第一中学）

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