孙俊胜
学生进入高二,学习了立体几何一段时间之后,在一次练习中,我们遇到了这样一道题目:在空间四边形中,互相垂直的边最多有多少对?我当场报出答案:6对!这个答案顿时引起全班学生的一片哗然,他们强烈要求马上讲这道题。
事实上,我在做这道题目的时候,误把题中的“空间四边形”读作“空间四面体”。如图:PA,AB,AC两两垂直,则有6对相互垂直的棱PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,PC⊥AB,PB⊥AC,AB⊥AC。
我当时估计学生可能出现的“错误”是:想当然地看到了相交垂直,没有认识有异面垂直的情况,为了“暴露学生的错误”,并且“帮助学生有效地改正错误”,就请学生上前说明自己的做法。
一、风波生,讨论起
先是顾丹上来,她果然画出了上面的图形,指出PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,忽略了异面垂直的情形。当我得意洋洋地“指出错误”的时候,有个别学生说:“老师题目中是‘空间四边形呀!”我仔细看了一下,呀!果然是把题目看错了。我心里一紧,糟了,这可如何是好!是草草收场,下课我自己认真研究一番之后再给学生答复,还是硬着头皮讨论下去当场给学生一个解答呢?
此时,学生群情激奋,彼此讨论得异常热烈。有的埋头作图,有的创建模型,丝毫没有作罢的意思。而且看着他们如此认真地投入,更是不忍心打断他们。况且解决这个问题的过程,依赖于学生对空间图形的认识和对垂直的相关关系的理解。于是,我决定先由学生自由探讨,再让他们展示成果,最后师生共同总结。
二、展成果,辨正误
经过一段时间的讨论,学生都不同程度地形成了自己的认识,我提议现场“发布”他们各部分的“研究成果”。场面真是相当壮观。他们一改平日里提问时吞吞吐吐、欲言又止的状况,争先恐后地说,声音更是响亮。
一展:一个女生宣布:“有四对!”随之拿出了自己的模型(一个正方形的便笺纸),沿对角线BD翻折:“翻折之后,如果我还让AB⊥BC且CD⊥AD,不就有四对了吗?”
■ ■
辨:乍一听,似乎言之有理。稍作思考之后,马上就有了疑问:“问题是,AB⊥BC且CD⊥AD的情况存在吗?”经过紧张的论证之后,他们得出结论:“不存在!”
还是这个女生自己推翻了先前的观点:“翻折前,翻折后,此时的AC长是小于翻折前的AC长,不满足勾股定理,所以AB⊥BC不能成立!同理,CD⊥AC也不能成立!”
二展:紧接着,另一个女生展示了自己的成果:相当于把刚刚的正方形沿着BD撕开,翻转后对接,使得DC垂直于另一个平面。而后再重新命名为:空间四边形P-CDB那么可以得到,,再由PB⊥面BCD,可得PB⊥BD。结论:有三对!
■ ■
辨:其他学生马上提出疑问:“除此之外,难道没有其它边相互垂直了吗?”一个男生补充道:“不是有CD⊥BC吗?”其他学生纷纷反驳:“BC是这个空间四边形的对角线,又不是边!”说得此男生连连点头,俯首称臣。
学生换了一种拼接方式,让两个直角顶点对接,得到类似于开始上课时的空间四边形MNOP:MP,PO,PN两两垂直。经过研究,得到结论:互相垂直的边仍然是有三对。那么根据刚才的研究是不是可以得出结论:最多有三对呢?有部分同学立即投入否定刚才这个结论的研究中,能不能再找到一对,有四对边垂直呢?
三展:另一个男生拿出几支笔,搭建了模型,提出了自己的猜想:保证1垂直于2,2垂直于3,转动4,能不能使得4同时与1和3都垂直呢?如果存在的话不就有四对边垂直了吗?
辨:刚一听,觉得还挺有道理。可仔细一想,如此一来,2和4就都是异面直线1与2的公垂线段了吗?
于是,假设错误。再于是,得到了一个类似于定理的结论:空间四边形的四个角不可能都是直角!得到了这样一个结论之后,他们都既兴奋又高兴,还有一点满足,还有一些意犹未尽。
三、大胆猜,严谨证
大家讨论热烈,积极探讨。等到把大家所能想到都研究过了,他们开始边犹豫,边试探:是不是真的最多只有三对呢?又如何才能严格地证明这样的猜想呢?这需要严格地分类讨论。
在刚才的理论“空间四边形的四个角不可能都是直角”的支持下进行讨论:
1.如果有三个内角是直角
图:角A,B,C分别是直角。已经有三对直角。
先考虑边1,若1⊥3,因为原本3⊥2,所以得到CB⊥面ABD,则3⊥BD与3⊥4矛盾。
再考虑边2,若2⊥4,可得2⊥BD,与2⊥1矛盾。
……
这样,逐一考虑结束之后,可以得出结论:在这种情况下,只有三对边垂直。
2.如果有两个内角是直角
(1)如果这两个内角相邻:角A,B是直角。考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2不可能与4垂直(否则2⊥BD,与2⊥1矛盾)。这样又可以得到结论:在这种情况下,只有三对边垂直。
(2)如果这两个内角相对:角A,C是直角。考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2不可能与4垂直(否则2⊥AC,与3⊥AC矛盾)。这样又可以得到结论:在这种情况下,只有三对边垂直。这个图形,其实就是二展中所展示的图形。
3.如果只有一个内角是直角
比如,上述的四边形中只有角A是直角。那么考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2最多4垂直。结论成立。
4.如果没有一个内角是直角
如果没有一个内角是直角,那么最多1与3垂直,2与4垂直,结论依然成立。
四、喟教训,促反思
讨论至此,这道最初因我误读而起的风波已经慢慢地平息了下来,大家都沉浸在提出问题、探索问题、解决问题的喜悦之中。在他们在激动和兴奋之中整理知识的时候,我也开始了反思。
由于我的粗心与失误,引起了这种强烈的冲突。还好最终问题得到了圆满解决。试想,如果问题展开了最终却没有获得解决,会造成什么样的后果!无论是数学学术还是现实生活,都有像这次误读一样因小失大、一字之差谬之千里的事情发生。下课之时,师生共同总结教训:读题目时,一定要逐字逐句;做人做事,一定要小心谨慎。
这场意外,却意外地引起学生浓厚的兴趣。全班同学无一例外地投身于这场热烈的讨论与探究之中,非常认真,非常主动,非常合作,前所未有。从知识上,这节课中他们搭建的模型、做出的图形都是集垂直于一身的典型题目。上完这节课,他们对线线垂直、线面垂直都有了非常深刻的认识;他们在这节课上经历了先猜后证、先归纳后总结的全过程,完整地体会了一个未知的结论诞生的过程。尤其值得称道的是,他们居然还能从研究过程中整理出一个结论:空间四边形的四个角不可能都是直角,并把它作为“引例”证明之后的结论,而这种方法是大学以后才涉入及并使用的。
由此,我开始反思自己的教学方法。以前按步就班的方法的确过于沉闷,不是学生不愿意配合,不是学生不愿意主动,而是我没有给学生营造这样的气氛。以后再上题目讲评课的时候,完全可以采用“我的错题我来评”,或者是“老师出错我来纠”等方法,引发学生的兴趣。
由此看来,一线教师在教书的同时,一定要深挖教材,做到“家中有粮心不慌”。
参考文献:
[1]傅海伦.对当前中学数学课堂教学的总结与反思[J].教育科学研究,2009(3).
[2]欧蕾.浅析运用思维转换法创造性地学习[J].贵州社会主义学院学报,2008(2).
学生进入高二,学习了立体几何一段时间之后,在一次练习中,我们遇到了这样一道题目:在空间四边形中,互相垂直的边最多有多少对?我当场报出答案:6对!这个答案顿时引起全班学生的一片哗然,他们强烈要求马上讲这道题。
事实上,我在做这道题目的时候,误把题中的“空间四边形”读作“空间四面体”。如图:PA,AB,AC两两垂直,则有6对相互垂直的棱PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,PC⊥AB,PB⊥AC,AB⊥AC。
我当时估计学生可能出现的“错误”是:想当然地看到了相交垂直,没有认识有异面垂直的情况,为了“暴露学生的错误”,并且“帮助学生有效地改正错误”,就请学生上前说明自己的做法。
一、风波生,讨论起
先是顾丹上来,她果然画出了上面的图形,指出PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,忽略了异面垂直的情形。当我得意洋洋地“指出错误”的时候,有个别学生说:“老师题目中是‘空间四边形呀!”我仔细看了一下,呀!果然是把题目看错了。我心里一紧,糟了,这可如何是好!是草草收场,下课我自己认真研究一番之后再给学生答复,还是硬着头皮讨论下去当场给学生一个解答呢?
此时,学生群情激奋,彼此讨论得异常热烈。有的埋头作图,有的创建模型,丝毫没有作罢的意思。而且看着他们如此认真地投入,更是不忍心打断他们。况且解决这个问题的过程,依赖于学生对空间图形的认识和对垂直的相关关系的理解。于是,我决定先由学生自由探讨,再让他们展示成果,最后师生共同总结。
二、展成果,辨正误
经过一段时间的讨论,学生都不同程度地形成了自己的认识,我提议现场“发布”他们各部分的“研究成果”。场面真是相当壮观。他们一改平日里提问时吞吞吐吐、欲言又止的状况,争先恐后地说,声音更是响亮。
一展:一个女生宣布:“有四对!”随之拿出了自己的模型(一个正方形的便笺纸),沿对角线BD翻折:“翻折之后,如果我还让AB⊥BC且CD⊥AD,不就有四对了吗?”
■ ■
辨:乍一听,似乎言之有理。稍作思考之后,马上就有了疑问:“问题是,AB⊥BC且CD⊥AD的情况存在吗?”经过紧张的论证之后,他们得出结论:“不存在!”
还是这个女生自己推翻了先前的观点:“翻折前,翻折后,此时的AC长是小于翻折前的AC长,不满足勾股定理,所以AB⊥BC不能成立!同理,CD⊥AC也不能成立!”
二展:紧接着,另一个女生展示了自己的成果:相当于把刚刚的正方形沿着BD撕开,翻转后对接,使得DC垂直于另一个平面。而后再重新命名为:空间四边形P-CDB那么可以得到,,再由PB⊥面BCD,可得PB⊥BD。结论:有三对!
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辨:其他学生马上提出疑问:“除此之外,难道没有其它边相互垂直了吗?”一个男生补充道:“不是有CD⊥BC吗?”其他学生纷纷反驳:“BC是这个空间四边形的对角线,又不是边!”说得此男生连连点头,俯首称臣。
学生换了一种拼接方式,让两个直角顶点对接,得到类似于开始上课时的空间四边形MNOP:MP,PO,PN两两垂直。经过研究,得到结论:互相垂直的边仍然是有三对。那么根据刚才的研究是不是可以得出结论:最多有三对呢?有部分同学立即投入否定刚才这个结论的研究中,能不能再找到一对,有四对边垂直呢?
三展:另一个男生拿出几支笔,搭建了模型,提出了自己的猜想:保证1垂直于2,2垂直于3,转动4,能不能使得4同时与1和3都垂直呢?如果存在的话不就有四对边垂直了吗?
辨:刚一听,觉得还挺有道理。可仔细一想,如此一来,2和4就都是异面直线1与2的公垂线段了吗?
于是,假设错误。再于是,得到了一个类似于定理的结论:空间四边形的四个角不可能都是直角!得到了这样一个结论之后,他们都既兴奋又高兴,还有一点满足,还有一些意犹未尽。
三、大胆猜,严谨证
大家讨论热烈,积极探讨。等到把大家所能想到都研究过了,他们开始边犹豫,边试探:是不是真的最多只有三对呢?又如何才能严格地证明这样的猜想呢?这需要严格地分类讨论。
在刚才的理论“空间四边形的四个角不可能都是直角”的支持下进行讨论:
1.如果有三个内角是直角
图:角A,B,C分别是直角。已经有三对直角。
先考虑边1,若1⊥3,因为原本3⊥2,所以得到CB⊥面ABD,则3⊥BD与3⊥4矛盾。
再考虑边2,若2⊥4,可得2⊥BD,与2⊥1矛盾。
……
这样,逐一考虑结束之后,可以得出结论:在这种情况下,只有三对边垂直。
2.如果有两个内角是直角
(1)如果这两个内角相邻:角A,B是直角。考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2不可能与4垂直(否则2⊥BD,与2⊥1矛盾)。这样又可以得到结论:在这种情况下,只有三对边垂直。
(2)如果这两个内角相对:角A,C是直角。考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2不可能与4垂直(否则2⊥AC,与3⊥AC矛盾)。这样又可以得到结论:在这种情况下,只有三对边垂直。这个图形,其实就是二展中所展示的图形。
3.如果只有一个内角是直角
比如,上述的四边形中只有角A是直角。那么考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2最多4垂直。结论成立。
4.如果没有一个内角是直角
如果没有一个内角是直角,那么最多1与3垂直,2与4垂直,结论依然成立。
四、喟教训,促反思
讨论至此,这道最初因我误读而起的风波已经慢慢地平息了下来,大家都沉浸在提出问题、探索问题、解决问题的喜悦之中。在他们在激动和兴奋之中整理知识的时候,我也开始了反思。
由于我的粗心与失误,引起了这种强烈的冲突。还好最终问题得到了圆满解决。试想,如果问题展开了最终却没有获得解决,会造成什么样的后果!无论是数学学术还是现实生活,都有像这次误读一样因小失大、一字之差谬之千里的事情发生。下课之时,师生共同总结教训:读题目时,一定要逐字逐句;做人做事,一定要小心谨慎。
这场意外,却意外地引起学生浓厚的兴趣。全班同学无一例外地投身于这场热烈的讨论与探究之中,非常认真,非常主动,非常合作,前所未有。从知识上,这节课中他们搭建的模型、做出的图形都是集垂直于一身的典型题目。上完这节课,他们对线线垂直、线面垂直都有了非常深刻的认识;他们在这节课上经历了先猜后证、先归纳后总结的全过程,完整地体会了一个未知的结论诞生的过程。尤其值得称道的是,他们居然还能从研究过程中整理出一个结论:空间四边形的四个角不可能都是直角,并把它作为“引例”证明之后的结论,而这种方法是大学以后才涉入及并使用的。
由此,我开始反思自己的教学方法。以前按步就班的方法的确过于沉闷,不是学生不愿意配合,不是学生不愿意主动,而是我没有给学生营造这样的气氛。以后再上题目讲评课的时候,完全可以采用“我的错题我来评”,或者是“老师出错我来纠”等方法,引发学生的兴趣。
由此看来,一线教师在教书的同时,一定要深挖教材,做到“家中有粮心不慌”。
参考文献:
[1]傅海伦.对当前中学数学课堂教学的总结与反思[J].教育科学研究,2009(3).
[2]欧蕾.浅析运用思维转换法创造性地学习[J].贵州社会主义学院学报,2008(2).
学生进入高二,学习了立体几何一段时间之后,在一次练习中,我们遇到了这样一道题目:在空间四边形中,互相垂直的边最多有多少对?我当场报出答案:6对!这个答案顿时引起全班学生的一片哗然,他们强烈要求马上讲这道题。
事实上,我在做这道题目的时候,误把题中的“空间四边形”读作“空间四面体”。如图:PA,AB,AC两两垂直,则有6对相互垂直的棱PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,PC⊥AB,PB⊥AC,AB⊥AC。
我当时估计学生可能出现的“错误”是:想当然地看到了相交垂直,没有认识有异面垂直的情况,为了“暴露学生的错误”,并且“帮助学生有效地改正错误”,就请学生上前说明自己的做法。
一、风波生,讨论起
先是顾丹上来,她果然画出了上面的图形,指出PA⊥AB,PA⊥AC,AB⊥AC,忽略了异面垂直的情形。当我得意洋洋地“指出错误”的时候,有个别学生说:“老师题目中是‘空间四边形呀!”我仔细看了一下,呀!果然是把题目看错了。我心里一紧,糟了,这可如何是好!是草草收场,下课我自己认真研究一番之后再给学生答复,还是硬着头皮讨论下去当场给学生一个解答呢?
此时,学生群情激奋,彼此讨论得异常热烈。有的埋头作图,有的创建模型,丝毫没有作罢的意思。而且看着他们如此认真地投入,更是不忍心打断他们。况且解决这个问题的过程,依赖于学生对空间图形的认识和对垂直的相关关系的理解。于是,我决定先由学生自由探讨,再让他们展示成果,最后师生共同总结。
二、展成果,辨正误
经过一段时间的讨论,学生都不同程度地形成了自己的认识,我提议现场“发布”他们各部分的“研究成果”。场面真是相当壮观。他们一改平日里提问时吞吞吐吐、欲言又止的状况,争先恐后地说,声音更是响亮。
一展:一个女生宣布:“有四对!”随之拿出了自己的模型(一个正方形的便笺纸),沿对角线BD翻折:“翻折之后,如果我还让AB⊥BC且CD⊥AD,不就有四对了吗?”
■ ■
辨:乍一听,似乎言之有理。稍作思考之后,马上就有了疑问:“问题是,AB⊥BC且CD⊥AD的情况存在吗?”经过紧张的论证之后,他们得出结论:“不存在!”
还是这个女生自己推翻了先前的观点:“翻折前,翻折后,此时的AC长是小于翻折前的AC长,不满足勾股定理,所以AB⊥BC不能成立!同理,CD⊥AC也不能成立!”
二展:紧接着,另一个女生展示了自己的成果:相当于把刚刚的正方形沿着BD撕开,翻转后对接,使得DC垂直于另一个平面。而后再重新命名为:空间四边形P-CDB那么可以得到,,再由PB⊥面BCD,可得PB⊥BD。结论:有三对!
■ ■
辨:其他学生马上提出疑问:“除此之外,难道没有其它边相互垂直了吗?”一个男生补充道:“不是有CD⊥BC吗?”其他学生纷纷反驳:“BC是这个空间四边形的对角线,又不是边!”说得此男生连连点头,俯首称臣。
学生换了一种拼接方式,让两个直角顶点对接,得到类似于开始上课时的空间四边形MNOP:MP,PO,PN两两垂直。经过研究,得到结论:互相垂直的边仍然是有三对。那么根据刚才的研究是不是可以得出结论:最多有三对呢?有部分同学立即投入否定刚才这个结论的研究中,能不能再找到一对,有四对边垂直呢?
三展:另一个男生拿出几支笔,搭建了模型,提出了自己的猜想:保证1垂直于2,2垂直于3,转动4,能不能使得4同时与1和3都垂直呢?如果存在的话不就有四对边垂直了吗?
辨:刚一听,觉得还挺有道理。可仔细一想,如此一来,2和4就都是异面直线1与2的公垂线段了吗?
于是,假设错误。再于是,得到了一个类似于定理的结论:空间四边形的四个角不可能都是直角!得到了这样一个结论之后,他们都既兴奋又高兴,还有一点满足,还有一些意犹未尽。
三、大胆猜,严谨证
大家讨论热烈,积极探讨。等到把大家所能想到都研究过了,他们开始边犹豫,边试探:是不是真的最多只有三对呢?又如何才能严格地证明这样的猜想呢?这需要严格地分类讨论。
在刚才的理论“空间四边形的四个角不可能都是直角”的支持下进行讨论:
1.如果有三个内角是直角
图:角A,B,C分别是直角。已经有三对直角。
先考虑边1,若1⊥3,因为原本3⊥2,所以得到CB⊥面ABD,则3⊥BD与3⊥4矛盾。
再考虑边2,若2⊥4,可得2⊥BD,与2⊥1矛盾。
……
这样,逐一考虑结束之后,可以得出结论:在这种情况下,只有三对边垂直。
2.如果有两个内角是直角
(1)如果这两个内角相邻:角A,B是直角。考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2不可能与4垂直(否则2⊥BD,与2⊥1矛盾)。这样又可以得到结论:在这种情况下,只有三对边垂直。
(2)如果这两个内角相对:角A,C是直角。考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2不可能与4垂直(否则2⊥AC,与3⊥AC矛盾)。这样又可以得到结论:在这种情况下,只有三对边垂直。这个图形,其实就是二展中所展示的图形。
3.如果只有一个内角是直角
比如,上述的四边形中只有角A是直角。那么考虑边1的话,1最多与3垂直。考虑2的话,2最多4垂直。结论成立。
4.如果没有一个内角是直角
如果没有一个内角是直角,那么最多1与3垂直,2与4垂直,结论依然成立。
四、喟教训,促反思
讨论至此,这道最初因我误读而起的风波已经慢慢地平息了下来,大家都沉浸在提出问题、探索问题、解决问题的喜悦之中。在他们在激动和兴奋之中整理知识的时候,我也开始了反思。
由于我的粗心与失误,引起了这种强烈的冲突。还好最终问题得到了圆满解决。试想,如果问题展开了最终却没有获得解决,会造成什么样的后果!无论是数学学术还是现实生活,都有像这次误读一样因小失大、一字之差谬之千里的事情发生。下课之时,师生共同总结教训:读题目时,一定要逐字逐句;做人做事,一定要小心谨慎。
这场意外,却意外地引起学生浓厚的兴趣。全班同学无一例外地投身于这场热烈的讨论与探究之中,非常认真,非常主动,非常合作,前所未有。从知识上,这节课中他们搭建的模型、做出的图形都是集垂直于一身的典型题目。上完这节课,他们对线线垂直、线面垂直都有了非常深刻的认识;他们在这节课上经历了先猜后证、先归纳后总结的全过程,完整地体会了一个未知的结论诞生的过程。尤其值得称道的是,他们居然还能从研究过程中整理出一个结论:空间四边形的四个角不可能都是直角,并把它作为“引例”证明之后的结论,而这种方法是大学以后才涉入及并使用的。
由此,我开始反思自己的教学方法。以前按步就班的方法的确过于沉闷,不是学生不愿意配合,不是学生不愿意主动,而是我没有给学生营造这样的气氛。以后再上题目讲评课的时候,完全可以采用“我的错题我来评”,或者是“老师出错我来纠”等方法,引发学生的兴趣。
由此看来,一线教师在教书的同时,一定要深挖教材,做到“家中有粮心不慌”。
参考文献:
[1]傅海伦.对当前中学数学课堂教学的总结与反思[J].教育科学研究,2009(3).
[2]欧蕾.浅析运用思维转换法创造性地学习[J].贵州社会主义学院学报,2008(2).