分类讨论解题策略

郭培俊， 郭晓曼

(1.浙江工贸职业技术学院, 浙江 温州 325003； 2.中南民族大学 经济学院, 湖北 武汉 430074)

1 分类讨论概述

分类与讨论是一种重要的数学思想,也是一种数学能力[1].当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.

当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解.分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件[2].

分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”.其一般规则及步骤是：(1)确定同一分类标准；(2)恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；(3)逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；(4)综合概括小结，归纳得出结论[3].

分类讨论,一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养.

近年来，在各地专升本试题中涉及“分类讨论”的问题越来越显现，因为这类试题不仅考查学生的数学基本知识与方法，而且考查了学生思维的深刻性.在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，由于高职生学习数学时间少和高职学习数学的要求“扁平化(必须、够用原则)”，导致对“分类讨论”的数学思想渗透不够，个人水平偏低.这需要参加专升本的学生补上一课，花点时间加强“分类讨论”的学习.

应用分类讨论思想解决问题必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简、完备.

2 分类讨论常见知识点

分类讨论是解题的需要，是同一本质的几种表现形式，是准确反映事物本质的要求.在专升本《高等数学》中，分类讨论常见的知识点有:

指数函数y=ax，其中底数a是参数，要分为01两情况进行讨论；

对数函数y=logax，底数a是参数，要分为01两情况进行讨论；

分段函数在分界点处的极限、导数要分左右极限、导数讨论；

x→∞的极限往往要分为x→+∞,x→-∞两情况讨论；

对函数的零点、驻点、极值点、拐点往往也作为讨论的对象，主要考察这些点把定义域分成的各个不同区间内所分析函数的性质.

3 分类讨论的例题解析

分析 把定义域按可能取得极值的极值点进行分类 ,即用驻点和不可导点将定义域分成不同的区间.

解函数的定义域为{x|x≠0}.

令y′=0得驻点x=-1,x=1.不可导点为x=0.

三个点x=0,x=-1,x=1把定义域分成四段，列表如下：

表的单调区间

所以单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞)；单调递减区间为(-1,0),(0,1).

例2试确定函数y=|x(1-x)|的单调性与极值[4].

分析 同例1一样,按可能取得极值的极值点进行分类 (用驻点和不可导点将定义域分成区间),而不可导点往往在分段函数的分界点处.本题在对含绝对值函数进行分段的基础上,再用驻点进行二次分类.

解显然y=y(x)是一个分段函数

由导数定义得y(x)在x=0处的左、右导数分别为

表2 函数y=|x(1-x)|的单调区间

例3讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln4x的交点个数.

分析 问题等价于讨论方程ln4x-4lnx+4x-k=0有几个不同的实根.除了对x进行分类讨论外,还要对参数k进行分类讨论.

解设φ(x)=ln4x-4lnx+4x-k，则

令φ′(x)=0，得唯一驻点x=1.

当01时，φ′(x)>0.因此，x=1是φ(x)的极小值点，极小值为φ(1)=4-k.

当φ(1)>0，即当k<4时，φ(x)≥φ(1)>0,φ(x)无零点.

当φ(1)=0，即当k=4时，φ(x)≥φ(1)=0,φ(x)有唯一零点.

当φ(1)<0，即当k>4时，由于

故φ(x)有两个不同的交点.

综上所述，当k<4时，两曲线没有交点；当k=4时，两曲线仅有一个交点；当k>4时，两曲线有两个交点.

分析 通过观察，需对en,xn进行大小比较，转化为e,x的比较.分三种情况：xe讨论.

解(i)当x

(ii)x=e时，

(iii)x>e时，

分析 分段函数有一个分界点,求导要分类.本题要分为x<0,x>0,x=0三种情况.特别注意不能忽视第三种情况，即如何求f′(0).

解(i)x<0时，f′(x)=-2e2x.

(ii)x>0时，f′(x)=2x.

(iii)x=0时，由于f(0)=0，而

例6设f(x)在(-∞,+∞)内连续,且对x,y的一切实数值满足

f(x+y)=f(x)+f(y)，

试证f(x)在(-∞,+∞)内为线性函数f(x)=ax,其中a=f(1).

分析 首先进行一级分类,把实数分为有理数和无理数,只须对有理数进行分析,无理数用极限逼近成有理数情况；再进行二级分类,把有理数又可分成整数、分数(分子为1或不为1)进行讨论.最后采用从特殊到一般的思想进行归纳推理.分类结构为

证任取x∈(-∞,+∞),当y=0时,由题设可知

f(x)=f(x+0)=f(x)+f(0),

由此可得f(0)=0.若取y=-x,则由题设可知

f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,

从而知f(-x)=-f(x).即f(x)为奇函数.

对x进行分类讨论

1. (x取整数)设x=k,k为正整数,由数学归纳法可证得

f(k)=f(1+1+…+1)=kf(1).

从而

综上可知,任取x为有理数,总有f(x)=f(1)x.

综上可知,在(-∞,+∞)内,恒有f(x)=f(1)x=ax,其中a=f(1).

分析 以0为分界点,对k分三种情况讨论.

对k分以下三种情况讨论:

(i) 当k>0时,由上式得

(ii)当k=0时,原级数的通项un=1不趋于零,故原级数发散.

(iii) 当k<0时, -k>0,原级数的通项un=(ln(1+n))-k趋于+∞,故原级数发散.

综上,原级数发散.

例8求微分方程y″-ay=0的通解,其中a为常数.

分析 在特征方程中,对a分三种情况讨论.

解这是常系数线性齐次微分方程,它的特征方程为r2-a=0.

当a=0时, 特征根r=0是二重根,原方程的通解为

y=C1+C2x.

4 分类讨论练习

(A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)第二类间断点

提示 通过讨论x→0-,x→0+的左、右极限再作判断.

(vi) 设函数f(x)的定义域是0≤x≤1，求g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域，其中a>0为常数.

(vii) 设函数

试求复合函数f[g(x)]与g[f(x)].

(viii) 设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1)=0,试证对任意一个实数l(0

(x) 试确定实常数a,b的不同取值范围,讨论方程ax=bx,a>1的实根分布.

[参 考 文 献]

[1] 王镇海.关于数学分类讨论题的教学[J].教学与管理，1992，9(3)：43-44.

[2] 张小芳.浅谈教学应如何进行分类讨论[J].成功(教育),2010，4(2)：114-115.

[3] 王勇.分而治之,各个击破——解读分类讨论的思想方法[J].高考(数语英),2007，3(Z1)：29—30.

[4] 邵剑,李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].上海:同济大学出版社,2008.

[5] 毛纲源.考研数学(二)常考题型及其解题方法技巧归纳[M]武汉:华中科技大学出版,2004.