弦-梁耦合系统的动力学行为分析

王 霞, 李建平

(1. 郑州大学 数学系，郑州 450001；2. 河南工程学院 数理科学系，郑州 451191)

近几十年来，弦-梁耦合系统由于其在机械工程、建筑、航空航天以及汽车等领域都有广泛的应用，引起了国内外学者的广泛关注，已经有了大量的文献和研究成果，比如Cheng等[1]研究了通讯工程中的光纤耦合器，Wang等[2]用有限元方法研究了桥梁工程中的斜拉索桥，Fung等[3-5]分别用数值和理论分析的方法研究了索-梁组合结构的非线性行为，丁虎等[6]研究了轴向变速黏弹性梁的横向振动稳定性，Chen等[7]研究了高维轴向变速黏弹性梁的分岔和混沌运动，Ghayesh等[8]讨论了横向简谐激励力下的轴向运动梁的临界动力学行为，Cao等[9-10]分别用数值分析和全局摄动等方法讨论了弦-梁耦合系统的混沌动力学，文献[11]利用多尺度法研究了3∶1内共振条件下的弦-梁耦合系统的非线性动力学行为。

本文主要研究二自由度弦-梁耦合系统的稳定性和分岔行为。首先讨论了系统在平凡解处的稳定性，并给出了特征值随阻尼参数的变化情况。其次，利用理论分析方法研究了初始平衡解、周期解和拟周期解的稳定性以及导致Hopf分岔和2维胎面等分岔解的临界分岔曲线。

1 问题描述

考虑弦-梁耦合系统的非线性横向振动，如图1，文献[10]利用单模态Galerkin方法，得到弦-梁耦合系统的无量纲运动的非线性常微分控制方程为：

(1a)

(1b)

(2)

其中:

图1 模型示意图

2 稳定性分析

P(λ)=a0λ4+a1λ3+a2λ2+a3λ+a4=0

(3)

其中a0=1，a1=μ1+μ2，

a2=α2-α1l2+μ1μ2，a3=α2μ2-α1l2μ1，

a4=-α2α1l2。由Routh-Hurwitz判据，零解的稳定条件为：

a1>0,a4>0

e2=a1a2-a0a3=

由上述稳定性条件，可得系统的稳定性图,如图(2)，其中考虑α2=0.2，μ2=0.1，l2=0.7。

根据文献[12，13]，令:

(4)

由图(2)可知，系统在平凡解附近的局部性质有如下几种情况：

(1) 纯发散:a4>0,a2<0,K<0。此时特征方程(3)有四个实特征值，其中两个特征值是正的，另两个特征值是负的。(图2中阴影部分。)

(2) 颤振：K>0或者a2>0,a4>0,K<0,e3<0。此时特征方程(3)有两对复共轭特征值，其中一对复共轭特征值具有正实部，另一对复共轭特征值具有负实部。(图2中水平线部分。)

(3) 衰减振荡型发散：a4<0和e3>0或者e3<0和a3<0。此时特征方程(3)有一对具有负实部的复共轭特征值和两个相反符号的实特征值。(图2中斜线部分。)

图2 零解的稳定图

(4) 颤振型发散：a4<0，e3<0，a3>0。此时特征方程(3)有一对具有正实部的复共轭特征值和两个相反符号的实特征值。(图2中竖线部分。)

(5) 其他情况：一对纯虚根和一对具有负实部的复共轭特征值，此时要求e3=0，a3>0和e2>0；当e3=0，a4=0时，特征方程(3)有一对纯虚根和两个零根等等。

接下来，当参数α1=10,l2=-0.7,α2=0.2，参考文献[14]中的方法，讨论特征值随阻尼参数的变化情况。此时,特征值可表示为：

(5a)

(5b)

图3 λ1,2随参数变化示意图

图4 λ3,4随参数变化示意图

3 分岔分析

在本节中，利用文献[15-16]的方法，讨论弦-梁耦合系统的稳定性与分岔情况，主要考虑梁和弦之间的1∶2内共振，共振关系可表示为：

(6)

其中σ1和σ2是两个调谐参数。为便于下面分析，令外激励振幅f11=f12=0和Ω2=1。

由参考文献[10]可知系统的平均方程如下：

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

利用如下极坐标变换：

x1=ρ1cosθ1,x2=ρ1sinθ1

x3=ρ2cosθ2,x4=ρ2sinθ2

(8)

将(7)式转化为极坐标形式：

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

3.1 初始平衡解

由系统(7)可知，(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)是系统的初始平衡解。接下来讨论初始平衡解的稳定性。

系统(7)在初始平衡解处的Jacobi矩阵的特征多项式可表示为：

(10)

则初始平衡解的稳定条件为：

(11)

(12)

3.2 单模态解-周期解(ρ1≠0,ρ2=0)

在本小节，我们将给出周期解的稳定性条件。首先考虑系统(7)在周期解处的特征多项式如下：

(13)

由方程(13)可以看出，系统(7)在周期解处的Jacobi矩阵的前两个特征值λ1,2满足方程：

(14)

(15)

因此，周期解失去稳定性，并在直线μ2=0上发生Hopf分岔，产生混合模态解，即拟周期解(2维胎面)。

3.3 混合模态解-拟周期解(ρ1≠0,ρ2≠0)

由方程(9)可知系统的拟周期解(ρ1≠0,ρ2≠0)满足如下方程：

(16a)

(16b)

考虑系统(7)在拟周期解处的Jacobi矩阵为:

(17)

其中

b13=4a11ρ1ρ2sinθ1cosθ2

b14=4a11ρ1ρ2sinθ1sinθ2

b23=-4a11ρ1ρ2cosθ1cosθ2

b24=-4a11ρ1ρ2cosθ1sinθ2

b31=8a23ρ1ρ2cosθ1sinθ2

b32=8a23ρ1ρ2sinθ1sinθ2

b41=-8a23ρ1ρ2cosθ1cosθ2

b42=-8a23ρ1ρ2sinθ1cosθ2

从而得到系统(7)在拟周期解处的特征多项式为:

P(λ)=b0λ4+b1λ3+b2λ2+b3λ+b4=0

(18)

由Routh-Hurwitz判据，拟周期解的稳定条件为：

b1>0，b1b2-b0b3>0，b4>0，

(19)

则可得两条临界分岔曲线，其中一条为:

L2∶b4=0(b1>0，b1b2-b0b3>0，

(20)

在此临界线上发生静态分岔；另一条临界分岔线为:

(b1>0，b1b2-b0b3>0,b4>0)

(21)

沿此临界线出现第二次广义Hopf分岔，并产生一个3维胎面。

4 数值模拟

本节利用Maple软件，采用四阶Runge-Kutta 算法对常微分方程组(7)进行数值模拟。取系统参数a11=45,a14=24,a21=25,a23=16，f2=0.2，阻尼参数μ1=μ2=0.2，调谐参数σ1=0.02,σ2=0.01时，容易验证，这些参数均满足初始平衡解的稳定条件，则当系统初始值取为(x1,x2,x3,x4)=(0.01,-0.2,0.1,0.5)时，可得系统(7)的初始平衡解在x1-x2平面内的投影，如图5。当系统参数变为a11=4.5，a14=2，a21=5,a23=2,f2=2,阻尼参数变为μ1=μ2=0.02，调谐参数变为σ1=0.2,σ2=0.01时，容易验证，这些参数均满足Hopf分岔解的稳定条件，当系统初始值不变，可得系统(7)的Hopf分岔解在x1-x2平面内的投影，如图6。

图5 稳定零解的轨道投影

5 结 论

研究了一类弦-梁耦合系统在弦与梁之间为2:1内共振条件下的稳定性与分岔行为。给出了几种类型的不稳定点，即纯发散、颤振、衰减振荡型发散、颤振型发散等，并给出了特征值随阻尼参数变化的情况。利用稳定性分析等解析方法，对平均方程进行研究，给出了临界分岔曲线的表达式。研究了系统的静态分叉、Hopf分岔、2维胎面等分岔解及其稳定性。采用Runge-Kutta算法对系统进行数值模拟，验证了我们理论分析的正确性。

参 考 文 献

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