一维无界定解问题的傅立叶变换解法浅析

张科 余海军

摘 要： 傅立叶变换在解数理方程中的主要作用是将偏微分方程转化成常微分方程，简化计算.本文应用傅立叶变换法，求解了齐次和非齐次一维无限长热传导方程，并给出了详细的推导过程.

关键词： 一维无界定解问题 傅立叶变换 解法

数学物理中的偏微分方程反映的是一类现象的共同规律和普遍性，但各个具体问题有其特定的边界条件和初始条件.初始条件与边界条件统称为定解条件.把该偏微分方程与相应的定解条件合起来，就构成了数学物理中的定解问题.只有初始条件，没有边界条件的定解问题，即无界定解问题（又称为初值问题或柯西问题）.本文将以齐次和非齐次一维无限长热传导方程为例，讨论如何应用傅立叶变换法求解该类定解问题，并给出详细的推导过程.对该内容的分析，能够给理工科大学生在学习数学物理方法相关内容时，起到引导和拓宽作用，进一步加深对知识点的理解和掌握.

1.用傅立叶变换解齐次无限长细杆的热传导方程

热传导方程及其初始条件

3.结语

以上的求解方法，对于三维无界空间的热传导问题适用，对于无界空间的波动问题同样适用，这里不在分别讨论.总之，用傅氏变换解无界定解问题，是应用傅氏变换的一些基本性质进行运算，找到无界定解问题的解的表达式.可以清楚地看到，傅氏变换求解一维无界定解问题的一般解题步骤可归纳如下：

（1）对初值问题中的双边无界空间变量作傅氏变换，化偏微分方程的初值为常微分方程的初值问题.

（2）解常微分方程的初值问题，得到待求的偏微分方程的初值问题的解的傅氏变换函数.

（3）对变换函数，应用傅氏变换的反演公式，就得到偏微分方程的初值问题的解.

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淮南师范学院教学研究项目（项目编号：2013hsjyxm24）；

安徽省高校省级自然科学项目（KJ2014A236）。