初中数学常见应用题解法例谈

朱卉斌

［摘要］ 应用题在初中数学中占有很大的比重，在解题时需要一定的方法和步骤. 本文根据笔者教学中的例子，对应用题解题方法进行了梳理，希望对教学有所帮助.

［关键词］ 初中数学；应用题；解法

解答初中数学应用题时，最关键的就是，要找准等量关系，列出有效的方程式.

■ 总结学习中常见的数量关系

初中数学中的应用题与实际生活联系较为紧密，大多数都存在着一定的数量关系. 比如，在工程问题中有以下的数量关系表达式：工作总量＝效率×工时；在路程问题中有以下的数量关系：路程=时间×速度；买卖问题中的数量关系表达式：总价=数量×单价；生产问题中的数量关系表达式：总产量=数量×单个产量；盈利问题中的数量关系表达式：利润=卖出价-购进价（利润=售价-成本）；浓度相关问题的数量关系表达式：溶液浓度=溶质的质量÷溶液的质量；储蓄问题中的数量关系表达式：利息=利率×存储时间×本金. 数量关系不仅以上几种，所以教师在教学过程中要对数量关系进行归纳和总结，让学生熟练掌握，以减少他们在审题过程中遇到的困难.

■ 教会学生通过列方程求解问题

的步骤

列方程求解是一种重要的解答应用题的方法，教师要帮助学生掌握该方法的基本步骤.

第一，审清题目. 要认真地审题，对题目的整体含义、给出的已知条件、题目的具体要求以及关键词进行准确地把握，要想在最短的时间内得到问题的答案，就必须做好审题环节的工作，通过题目的描述来寻找解决问题的方法.

第二，设未知数. 我们通常也将这一步称作“设元”. 其中设置的未知数主要分为直接未知数和间接未知数两种，一般情况下，我们都是直接设未知数，如果这种设元的方法不能简化问题，就需要根据题目的具体内容设置间接的未知数.

第三，列出与题目相关的所有等量关系式. 通常情况下，可根据题目的描述找到描述等量关系的一些关键词，然后将有关的等量关系式列出. 这时，可以与总结出的常见等量关系式相结合，建立起与题目有关的关系式，同时还可以采用画图、列表等方法找到数量关系.

第四，以这些等量关系为基础，列出相应的方程，再进行求解.

第五，对求得的结果进行检验. 将求得的结果带入题目当中，看其是否符合实际情况，同时还要检查计算过程中是否出现错误. 检查无误后，得出最终结果，并标明对应单位.

■ 加强对学生寻找题目等量关系

的练习

在解决应用题的过程中，最重要的就是要找到题目中的等量关系，以这些等量关系为基础，建立有关的方程，进行求解，最终得出答案. 因此，要加强对学生寻找等量关系的练习.

第一，抓住关键词. 通常，在题目中，会有凸显等量关系的关键词，这就要求在审题时对这些词语给予重视，从中找出等量关系. 这些词语主要有：几倍、多、少、总共、大、小、一半、几分之几、减少、增加、超出、不足等，当然，还要学会能将其转化为符号语言.

比如，某个健身馆在三年之中一共购买了140台跑步机，已知前年的购买量是去年的一半，去年的购买量为今年的一半，试求前年这家健身馆一共购买了多少台跑步机. 从题目中我们很容易找到关键词，并列出有关的等式：前年的购买量+去年的购买量+今年的购买量=140台，去年的购买量=前年的购买量×2，今年的购买量=去年的购买量×2.

第二，依据一些基本数量关系和计算公式，列出等量关系. 比如，在清扫某片生活垃圾时，清洁工A单独完成需要3小时，清洁工B单独完成需要2小时，假如让他们两人共同清扫这片垃圾，能在多长时间内完成？解答时，我们将二人共同完成的时间设为x，单位为小时，结合基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，可以得出等量关系——■+■x=1.

第三，依照题意画出相关的线段图，结合图形列出等量关系的表达式. 有的应用题数量关系十分烦琐，需要我们利用线段图对其相关量进行表述. 比如，骑摩托车往返于A地、B地之间，从A地到B地是顺风，路上需要6 h，从B地到A地是逆风，需要8 h，风速已知为■km/h. 有一名快递员，早上6时从A地出发去B地，路上由于颠簸，在到达B地后发现掉了一个快递，于是立马回去找. 终于在1 h后发现了丢失的快递，请问，这包快递是在什么时间掉下去的？我们将快递掉落的时间设为x，根据题意可画出如图1所示的线段图.

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根据线段图我们可以很清楚地看到，从快递掉落的地方到B地的路程=快递随风吹所走的路程+快递员从B地返回找到快递所行的路程，根据这个等式关系，可列出方程：（12-x）·■+1·■+■·1=（12-x）·■.

第四，寻找变化过程中的恒定量，找到隐含的等量关系. 在一些难度较大的应用题中，通常都会设置一些恒定量——在整个题目中一直都是不变的，在解答的过程中，要从这些恒定量入手. 比如，一架直升机从甲地到乙地是顺风，需要飞行4 h，从乙地到甲地是逆风，需要飞行6 h，假设风速不变，不考虑其他因素的影响，一个气球从甲地飘到乙地，需要多长时间？我们将气球从甲地飘到乙地的时间设为x，由于在无风条件下直升机的速度一直都是不变的，这就是问题的突破口，而无风下直升机的速度=顺风速度-风速=风速+逆风速度，所以我们可以得出方程——■-■=■+■.

第五，通过列表发现等量关系. 根据题目描述列出表格，能够很容易地发现已知量之间的等量关系. 例如，甲以 6 km/h的速度从A地去往B地，在甲出发40 min后，乙以8 km/h的速度从A地去B地，在甲还差5000 m就到达B地时，二者相遇. 试求甲、乙两地之间的距离. 解答时，我们可将两地之间的距离设为x km，根据题目的描述，列出下面的表格：

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我们很容易就能得出题目中的等量关系：甲的行驶时间与乙的行驶时间之差为■h，由此可列出方程——■-■=■，从而求得问题的答案.

第六，通过图形形象地表示题目中的数量关系. 例如，班级有45名学生，在运动会上有40人报了跑步类项目，有37人报了投掷类项目，又知同时报名跑步类和投掷类项目的人数是没有填报任何项目人数的9倍，试求既报名投掷类又报名跑步类项目的同学的人数. 根据题意可画出如图2所示的图形.

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设两个项目都填报的学生人数为x，由图可得x+■+（40-x）+（37-x）=45.

■ 强化学生根据题意列出有关方

程的练习

（1）强化列代数式的联系. 要想根据题意列出有效的方程式，首先要列好代数式，加强列代数式的练习，在练习中可以采用以下方法：借助数学语言来对代数式进行叙述，比如“9x+3”叙述为“某个数的9倍再加上3”；借助代数式来表达数量关系，如将“比x的4倍多7”，写成“4x+7”；结合实际题目的意思来对代数式的含义进行表述，如运动器材店进货，购进x个篮球，每个的进价为50元；购进15个排球，进价为y元，让学生结合题意表述例如50x，15y，50x+15y的数学含义，其中50x表示购进篮球所花的钱，50x+15y的含义为购进篮球和排球一共所花的钱.

（2）强化寻找等量关系的练习. 要想列出有效的方程进行求解，最为重要的就是寻找等量关系，在练习中，应尽量为学生设置一些与实际生活相关的题目，帮助学生实现全面提高. 比如，放学时去买雪糕，在找钱的时候，应找回的钱数=付款数-雪糕价钱，这种问题虽然简单，但能起到很好的联系效果.

（3）将以上两种练习进行有效地结合. 在强化列代数式和找等量关系的练习后，还要将二者进行很好地结合，列出有效的方程式. 比如，用一块长为40 m的布料做衣服，一共做了12件相同的衣服，每件衣服用布x m，最后发现还有7 m剩余，这个问题中的等量关系是：使用前布料的长度=剩余布料长度+使用的布料长度，于是可列出方程式——12x+7=40.

（4）以现有的方程式为基础，编写有效的应用题. 教师给出一个方程式，让学生对其中的关系进行分析，与实际生活相结合，编写出合理的应用题，培养学生的逆向思维，这能使学生更好地从正面理解题目. 例如，教师给出方程式■+■=1，让学生编写有关的题目. 实践时，学生给出的题目多种多样，有实际的建筑工程问题，还有放学路上的追逐问题，整个课堂效果相当好，学生对知识的掌握也更加牢固.

以上就是笔者结合例子对初中数学常见应用题解法的分析，并结合自己的教学实践，提出的解题的4种具体方法. 要想做好有关教学，还需根据实际情况采取有效的措施，切实提高初中生的数学应用题解题能力.