动态世界?摇 亮点永恒

朱建良

［摘要］ 教学时，教师应有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，感受到数学的魅力，在探究的体验中加深对几何变换的理解.

［关键词］ 类比；探究；拓展

随着新课改的进行，各地中考数学试卷异彩纷呈，尤其是动态问题的数学压轴题，题型新颖，设计精巧，既继承传统又勇于创新，以一些基本图形、核心概念为基础展开问题探究，体现能力立意和学科本质，具有典型性、示范性和迁移性，这些试题体现了命题者对于数学思想方法及数学教学的一些认识和理念，对广大一线数学教师的课堂教学起到非常好的导向作用．

本文对一道中考动态数学试题探索分析，期与同仁相互切磋，为推动数学教研活动尽微薄之力．

■ 试题呈现

（2013江苏苏州）如图1所示，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10 cm，BC＝12 cm. 点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1 cm/s，点F的运动速度为3 cm／s，点G的运动速度为1.5 cm／s. 当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动. 在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）.

■

（1）当t＝______s时，四边形EBFB′为正方形.

（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值.

（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

■ 解法探究

（1） 2.5.

（2）由题意得AE=t，BF=3t，CG=1.5t，BE=10－t，FC=12－3t，因为点F在BC上运动，所以0≤t≤4. ①当△EBF∽△FCG时，■=■，解得t=■；②当△EBF∽△GCF时，■=■，化简得t 2+28t－80=0，解得t■= －14+2■，t■=－14－2■（舍去）. 因为0≤t≤4，所以t=■或t=－14+2■，符合题意．

（3）不存在．理由如下：如图2所示，连结BD，因为点O为矩形ABCD的对称中心，所以点O为BD的中点. 假设存在实数t，使得点B′与点O重合，EF垂直平分OB于点H，则易知BD=2■，BH=■=■. 易证△EHB∽△BHF∽△BCD，所以BF=■，BE=■. 所以AE=10－BE=■. 因为■≠3，所以不存在实数t使得点B′与点O重合.

■

■ 追根溯源

（2006河北）如图3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发，沿AC边向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿CB边向点B以每秒4个单位长度的速度运动. P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动. 在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ，设运动时间为t（s）.

■

（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式.

（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？

（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想——是否存在时刻t使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在下面哪个时间段内：0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4. 若不存在，请简要说明理由．

解析?摇 （1）因为CQ=4t，PC=12－3t，所以S△PCQ=－6t 2+24t. 所以y=2S△PCQ=－12t 2+48t.

（2）如图4所示，因为PQ∥AB，所以△CPQ∽△CAB. 因为PC=12-3t，CQ=4t，■=■，所以t=2.

■

（3）如图5所示，延长PD交CB于点E，要使PD∥AB，则必有△PCE∽△ACB，△QDE∽△ACB，所以■=■=■. 所以PE=20-5t，CE=16-4t，DE=8-2t. 所以■=■. 所以t=■.

■

（4）如图6所示，延长PD交AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，PC=PD=12-3t，QB=16-4t，又PF⊥AB，所以△APF∽△ABC，△QBG∽△ABC. 所以■=■. 所以PF=■，DF=■-12. 所以■=■. 所以t=■. 时间段为2

■

■ 追踪类比

（2012湖北天门）如图7所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm，点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止运动. 设移动开始后第t s时，△EFG的面积为S（cm2）. ?摇?摇

■

（1）当t=1 s时，S的值是多少？

（2）写出S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由．

■

解析?摇 （1）S=24．

（2）S=8t2-32t+48（0≤t≤2），S=-8t+32（2

（3）t=■时，△EBF∽△FCG；t=■时，△EBF∽△GCF．

■ 研析设计共性，彰显数学本质

1.?摇问题搭台，思维唱戏

河北28题主要考查了图形对称性质、梯形、相似三角形、勾股定理、方程等知识，在运动状态下，建构数学基本图形解题．天门市24题分类讨论探究运动变化的面积S与t的函数关系，考查学生对基本几何图形特征的理解，由特殊到一般设计题组循序渐进，螺旋上升，以△EFG的面积为切入点，延伸思维触角． 苏州市28题以问题（1）（2）由 “以静制动”到“动静互化”，使学生思维由浅入深，拾阶而上，化多点运动问题为几何基本图形求解，问题（3）另辟蹊径，问题呈开放性，从假设两点重合的结论展开探究，在对称变换环境中进行观察、猜想、推理计算，让学生体会到变化中不变的特殊四边形和相似三角形的性质，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，感受到数学的魅力，在探究的体验中加深对几何变换的理解．三题的问题背景、涉及知识相同，但对主干知识的延伸拓展各有创新，以能力立意，关注学生思维品质培养．

2.?摇提炼几何图形性质，揭示内在规律

三题的共性都是先通过对运动图形涉及问题的特殊情况进行探究求解，通过对复杂的几何图形进行分解，从中找出基本图形，从中发现运动变化中几何图形的规律，进而设置最后一问，引导学生利用这个规律，找到解决问题的思路和方法，使学生的思维发展螺旋上升，促成学生的能力生成．河北28题第（4）问，在梯形中添加辅助线转化为矩形及相似的直角三角形，解题过程体现了灵活应用转化、建模的数学思想方法．天门市24题侧重于引导学生利用点的运动时间t来表示△EFG的面积，分类讨论运动变化的点的特殊位置，将图形和题目中的条件巧妙结合，深层次地挖掘各知识点之间的有效联系，解法简捷、流畅．苏州28题以第（1）问为知识起点，引导学生思维发展到一个良好平台，第（3）问意在运动变化中聚焦矩形对角线的交点问题展开探究，剖析对称点B′与点O重合的隐含条件，是本题的难点，巧妙利用图形的轴对称和中心对称介入再探究，是本题的点睛之笔，凸现命题设计的灵活性，第（3）问立意较高，思路灵活，区分度高，突出选拔功能．

■ 教学导向分析

1. 精心设置问题，彰显数学本质

本题为运动型综合问题，主题明确，线索清晰，在点的运动过程中构造新的几何图形，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点，第（1）问结合正方形的特征求解，第（2）问需分类讨论，利用相似三角形的性质列出方程求解，第（3）问设问亮丽，内涵深刻，突出对教师教学行为和学生学习能力培养的导向，第（3）问先假设存在，然后根据图形的对称性特点构造三角形相似的基本模型，推导出矛盾的结论，问题环环相扣，层层深入，链接紧密，强化了学生对运动变化过程中几何图形之间内在联系的认识，问题设置有效遵循了学生已有知识经验与认知规律，实现了从知识立意向能力立意的转化．

2. 立足方法引领，关注思维提升

用运动、变化的观点审视几何图形，渗透对称变换的数学思想，第（3）问中点B′与点O是否重合的探究，为学生提供了外显的“点”的重合到内隐的寻找相似三角形构建方程的思维场，帮助学生深刻理解对称问题的本质，帮助学生在运动变化的图形中寻找关键条件，又怎样挖掘出隐含条件，猜想推理融化一体，调动脑中的“内存”，汇聚题中信息，正确识图，剖析结构特征，综合利用轴对称性质及相似三角形性质，找到解题的突破口，走向“柳暗花明又一村”的坦途，突破难点，把隐性条件显性化，提升认知水平，积累数学活动经验，引导学生思维向纵深发展．

3. 渗透构造思维，力求创新

仔细分析本题的条件，发现可用来构造模型的运动因素，第（3）问首先假设点B′与点O重合，确定对称特定的对应关系，构造数学相似的模型，再回到原来的问题上，构造数学模型，着眼点在问题的数学机理、机构，即相似的三个母子直角三角形模型，转化到探求“BH=■BD”关系的巧妙应用，从陌生到熟悉、从暗到明、从未知到已知的信息转化，领悟其中的思想精髓，使其逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识．深入探究求解过程也是学生一个再创造过程，需要学生具有创新思维和开拓精神，同时也正是通过这种学习过程培养学生的开拓意识、创新意识．

■ 借题发挥，拓展再探究

（1）t为何值时，EF⊥FG？

解析?摇 如图9所示，由Rt△EBF∽Rt△FCG得■=■，所以t=■．

■

（2）t为何值时，点B关于EF的对称点B′在BD边上？

解析?摇 如图10所示，此时有EF⊥BB′，于是Rt△EBF∽Rt△BCD，所以■=■，解得t=■．

■

（3）如图11所示，以点B为原点建立平面直角坐标系，双曲线y=■经过矩形ABCD的交点O′和点G时，请判断点B′是否在该图象上．

■

解析?摇 可求出O′（6，5），y=■，G12，■，此时t=■. 容易求得BE=■，BF=5，BB′=■■，所以点B′■，■■，所以点B′不在该双曲线上．

拓展问题表述简约，自然流畅，设问角度有新意，翻折后的对称点位置，带给人一种意犹未尽却又绵绵不绝的探究意境，“点动”带动“线动”，“线动”带动“形动”，数形结合，把观察、探究、计算推理融于一体，由点B的对称点B′的位置展开探究，运用通性、通法纵深探究，在平面直角坐标系中设置特殊对称点位置探究问题，引发学生的联想，启迪学生思维，拓宽学生思路，以寻找相似三角形基本模型为突破口，综合运用方程、直角三角形、函数等核心知识灵活解决问题，揭示解析几何最本质的思想——几何问题代数化，关注了类比、转化等数学思想方法的考查，全面提升学生综合分析问题和解决问题的能力．