方程的根与函数的零点

郭炳燕

【教材分析】

《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》的第一课时，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”。

（1）“函数零点”这一概念的引入，为方程根的求解问题提供了一种新的有效的方法，具有着重大的现实意义。因此，教学时应让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，让新知识自然的发生发展。也让学生体验到这一概念引入的必要性。

（2）零点存在性定理是本节的一个重要内容，如何引入才自然、恰当，让学生容易接受是一个难点。因此教学时应设计恰当的情景，让学生自己探究总结出零点存在性定理。同时，要让学生明确零点存在性定理仅能判断出零点的存在性，而对零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。

【学情分析】

1.对于函数零点的概念本质的理解，学生缺乏的是函数的观点，或是函数应用的意识，造成对函数与方程之间的联系缺乏了解。要解决这一问题，教学中要通过问题的设置，引导学生思考，再通过实例（如：二次函数图象和二次方程之间的联系）的确认与体验，从直观到抽象，从特殊到一般的学习方式，捅破学生认识上的这层“窗户纸”。

2.对于零点存在的判定定理，教材不要求给予其证明，这需要教师提供一定量的具体案例让学生操作感知，同时鼓励学生举例来验证，最终能自主地获得并确认该定理的结论。对于定理的条件和结论，学生往往考虑不够深入，需要教师通过具体的问题，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视。

【主要教学方式方法】

本节主要教学方式为课堂讨论法。实现教学目标，需要借助计算机或者计算器，一方面是绘制函数图象，通过观察图象加深方程的根、函数零点以及同时函数图象与x轴的交点的关系；另一方面，判断零点所在区间过程中，一些函数值的计算也必须借助计算机或计算器。

【教学目标】

1.理解函数零点的定义；

2.掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3.理解零点存在性定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。

【重点、难点】

教学重点：方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解与应用。

教学难点：准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。

【教学过程】

一、创设情境

问题1：求下列方程的根。

（1）2x-1=0；（2）x2-2x-3=0；（3）lnx+2x-6=0。

设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生自己总结出函数与方程的根之间的联系。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。

师：出示问题。

生：独立思考解答，并发现（3）存在的问题。

师：引导学生利用数形结合思想，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。推广到一般的方程和函数，引出零点概念。

二、新课探究

1. 函数零点的概念.：一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

问题2：函数y=x2-2x-3的零点是：（ ）

A．（-1，0）,（3，0）； B．x=-1；

C．x=3； D．-1和3．

设计意图：明确函数的零点并不是“点”，它实际是图象与x轴交点的横坐标，它是实数。

师：仅提出问题，不做任何提示。

生：相互交流，总结出零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数。

问题3：你能分别从函数图象和方程的角度，对函数的零点换一种说法吗？

设计意图：进一步掌握函数的核心概念，同时通过图象和方程进行一步完善对函数零点的全面理解，为下面借助图象探究零点存在性定理作好一定的铺垫。

师：提出问题，要求各学习小组讨论得出结论。

生：选两三个学习小组阐述各组观点，认真总结理解函数零点的意义。

2. 函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．

问题4：求函数f(x)=lg(x-1)的零点。

设计意图：通过学生的动手操作，既检查了学生对零点概念的理解，又让学生探索出求函数零点常用的两种方法：①可以解方程f(x)=0而得到（代数法），②可以利用函数y=f(x)的图象找出（几何法）。

师：提出问题，给三分钟时间让学生解答。展示学生解答，引导学生归纳出函数零点的求法。

生：独立完成解答，并展示成果。

3. 函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：

1（代数法）求方程f(x)=0的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

问题5：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（如图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？

（1）

（2）

设计意图：从现实生活中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。

问题6： 将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？（其中： A、B两点在x轴的两侧。）

设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。

问题7：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？

设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。

问题8：满足上述条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？

设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理。

师：引导学生从生活情景出发，利用“问题链”设计，结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况与函数零点是否存在之间的关系。

生：结合函数图象，思考、讨论、归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．

师：组织学生总结刚才探索所发现的结论，并加以讨论，形成集体的意见。

4．函数零点存在性判定定理

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

问题9：你能回答下列问题吗？

（1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述结论还成立吗？

（2）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内的零点个数一定唯一吗？

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（3）问题3中再加一个什么条件就能保证一定只有一个零点？

（4）如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点一定有f(a)·f(b)<0吗？

（5）一般地，所有函数的零点是否都可由上述的定理进行判断?(反例:同号零点）

设计意图：通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。

师：通过一串问题引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用。

生：让学生在黑板上画图象帮助理解。如：

（1）不行。如下图:

（2）不一定只有一个，如下图，有三个:

三、概念和定理的巩固及应用

例1：观察下表，分析函数f(x)=3x5+6x-1 在定义域内是否存在零点？

x －2 －1 0 1 2

f(x) -109 -10 -1 8 107

设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x,f(x)，的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识。

例2：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解法1：用计算器或计算机作出x,f(x)， 的对应值表和图象。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表可知，f(2)<0,f(3)>0则f(2)f(3)<0，这说明函数在f(x)区间（2，3）内有零点。结合函数f(x)的单调性，进而说明零点有且只有唯一一个。

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识。

生：结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数。

师：如果不用计算机或计算器来画函数的图象，还能解决本题吗？

生：（解法2）由f(x)=0⇒lnx=6-2x，因此分别构造函数f(x)=lnx，g(x)=6-2x，在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，图象有几个交点，本题就有几个零点。

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。本题既回答了引例中方程lnx+2x-6=0的根是否存在的问题，又引起学生对“如何求出它的根”作进一步的思考，为下一节二分法求方程的近似解埋下伏笔。

练习：利用函数图象判断下列方程根的个数。（不允许使用计算机或计算器）

（1）2x（x-2）=-3

（2）0=x-3+lgx

设计意图：①明确方程2x(x-2)=-3对应的函数是y=2x(x-2)+3，而不是y=2x(x-2)；

②让学生从实例中体会函数y=x-3+lgx的图象不容易画出时，把0=x-3+lgx变形成lgx=3-x的好处。

四、小结

（1）请回顾本节课所学知识内容有哪些？

（2）所涉及到的主要数学思想又有哪些？

（3）你还获得了什么？

五、作业

【基础作业】必做题

1. 若f(x)=x2-3x+2，则方程f(x)=0的实根为 ，函数y=f(x)的零点是，函数f(x)的图象与x轴交点的坐标为 。

2. 已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为( ) 。

A.３B.２C.１D.不确定

3. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个

A.5个 B.4个C.3个 D.2个

4. 函数f(x)= -x3-3x+5的零点所在的大致区间为（）

A.( - 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

5. 方程2-x+x2=3的实数解的个数为。（请说明理由）

设计意图：在概念的易错，易混点处出题，加深对概念的理解；利用常见题型帮助学生巩固所学新知。

【基础作业】选做题

已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值时能分别满足下列条件。

①有2个零点；②3个零点；③4个零点。

设计意图：为学有余力的学生搭建展示自己的舞台，充分利用学生的表现欲，激发学生对数学的兴趣。

【板书设计】

3.1.1 方程的根与函数的零点

一、创设情境

二、新课探究

1.函数零点的概念；

2.函数零点的意义；

3.函数零点的求法；

4.函数零点存在性判定定理。 三、概念和定理的巩固及应用

四、小结

五、作业 学生

板演区：

课后反思：

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。而在已有知识结构基础上的新矛盾的出现，又会刺激学生积极地思考。因此在新课导入中，设计了“问题1：求下列方程的根。①2x-1=0；②x2-2x-3=0；③lnx+2x-6=0。”让学生由熟悉的到陌生，引发思考。再者，本设计采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，逐层铺垫，降低难度；由具体到一般地建立方程的根与相应的函数的零点的联系，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程；给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会；设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。

建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。

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（3）问题3中再加一个什么条件就能保证一定只有一个零点？

（4）如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点一定有f(a)·f(b)<0吗？

（5）一般地，所有函数的零点是否都可由上述的定理进行判断?(反例:同号零点）

设计意图：通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。

师：通过一串问题引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用。

生：让学生在黑板上画图象帮助理解。如：

（1）不行。如下图:

（2）不一定只有一个，如下图，有三个:

三、概念和定理的巩固及应用

例1：观察下表，分析函数f(x)=3x5+6x-1 在定义域内是否存在零点？

x －2 －1 0 1 2

f(x) -109 -10 -1 8 107

设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x,f(x)，的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识。

例2：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解法1：用计算器或计算机作出x,f(x)， 的对应值表和图象。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表可知，f(2)<0,f(3)>0则f(2)f(3)<0，这说明函数在f(x)区间（2，3）内有零点。结合函数f(x)的单调性，进而说明零点有且只有唯一一个。

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识。

生：结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数。

师：如果不用计算机或计算器来画函数的图象，还能解决本题吗？

生：（解法2）由f(x)=0⇒lnx=6-2x，因此分别构造函数f(x)=lnx，g(x)=6-2x，在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，图象有几个交点，本题就有几个零点。

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。本题既回答了引例中方程lnx+2x-6=0的根是否存在的问题，又引起学生对“如何求出它的根”作进一步的思考，为下一节二分法求方程的近似解埋下伏笔。

练习：利用函数图象判断下列方程根的个数。（不允许使用计算机或计算器）

（1）2x（x-2）=-3

（2）0=x-3+lgx

设计意图：①明确方程2x(x-2)=-3对应的函数是y=2x(x-2)+3，而不是y=2x(x-2)；

②让学生从实例中体会函数y=x-3+lgx的图象不容易画出时，把0=x-3+lgx变形成lgx=3-x的好处。

四、小结

（1）请回顾本节课所学知识内容有哪些？

（2）所涉及到的主要数学思想又有哪些？

（3）你还获得了什么？

五、作业

【基础作业】必做题

1. 若f(x)=x2-3x+2，则方程f(x)=0的实根为 ，函数y=f(x)的零点是，函数f(x)的图象与x轴交点的坐标为 。

2. 已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为( ) 。

A.３B.２C.１D.不确定

3. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个

A.5个 B.4个C.3个 D.2个

4. 函数f(x)= -x3-3x+5的零点所在的大致区间为（）

A.( - 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

5. 方程2-x+x2=3的实数解的个数为。（请说明理由）

设计意图：在概念的易错，易混点处出题，加深对概念的理解；利用常见题型帮助学生巩固所学新知。

【基础作业】选做题

已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值时能分别满足下列条件。

①有2个零点；②3个零点；③4个零点。

设计意图：为学有余力的学生搭建展示自己的舞台，充分利用学生的表现欲，激发学生对数学的兴趣。

【板书设计】

3.1.1 方程的根与函数的零点

一、创设情境

二、新课探究

1.函数零点的概念；

2.函数零点的意义；

3.函数零点的求法；

4.函数零点存在性判定定理。 三、概念和定理的巩固及应用

四、小结

五、作业 学生

板演区：

课后反思：

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。而在已有知识结构基础上的新矛盾的出现，又会刺激学生积极地思考。因此在新课导入中，设计了“问题1：求下列方程的根。①2x-1=0；②x2-2x-3=0；③lnx+2x-6=0。”让学生由熟悉的到陌生，引发思考。再者，本设计采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，逐层铺垫，降低难度；由具体到一般地建立方程的根与相应的函数的零点的联系，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程；给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会；设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。

建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。

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（3）问题3中再加一个什么条件就能保证一定只有一个零点？

（4）如果函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点一定有f(a)·f(b)<0吗？

（5）一般地，所有函数的零点是否都可由上述的定理进行判断?(反例:同号零点）

设计意图：通过教师的设问让学生进一步全面深入地领悟定理的内容。

师：通过一串问题引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用。

生：让学生在黑板上画图象帮助理解。如：

（1）不行。如下图:

（2）不一定只有一个，如下图，有三个:

三、概念和定理的巩固及应用

例1：观察下表，分析函数f(x)=3x5+6x-1 在定义域内是否存在零点？

x －2 －1 0 1 2

f(x) -109 -10 -1 8 107

设计意图：初步应用零点的存在性定理来判断函数零点的存在性问题。并引导学生探索判断函数零点的方法，通过作出x,f(x)，的对应值表，来寻找函数值异号的区间，还可以借助计算机来作函数的图象分析零点问题。而且对函数有一个零点形成直观认识。

例2：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。

解法1：用计算器或计算机作出x,f(x)， 的对应值表和图象。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表可知，f(2)<0,f(3)>0则f(2)f(3)<0，这说明函数在f(x)区间（2，3）内有零点。结合函数f(x)的单调性，进而说明零点有且只有唯一一个。

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识。

生：结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数。

师：如果不用计算机或计算器来画函数的图象，还能解决本题吗？

生：（解法2）由f(x)=0⇒lnx=6-2x，因此分别构造函数f(x)=lnx，g(x)=6-2x，在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，图象有几个交点，本题就有几个零点。

设计意图：学生应用例题1方法来解决例题2的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。本题既回答了引例中方程lnx+2x-6=0的根是否存在的问题，又引起学生对“如何求出它的根”作进一步的思考，为下一节二分法求方程的近似解埋下伏笔。

练习：利用函数图象判断下列方程根的个数。（不允许使用计算机或计算器）

（1）2x（x-2）=-3

（2）0=x-3+lgx

设计意图：①明确方程2x(x-2)=-3对应的函数是y=2x(x-2)+3，而不是y=2x(x-2)；

②让学生从实例中体会函数y=x-3+lgx的图象不容易画出时，把0=x-3+lgx变形成lgx=3-x的好处。

四、小结

（1）请回顾本节课所学知识内容有哪些？

（2）所涉及到的主要数学思想又有哪些？

（3）你还获得了什么？

五、作业

【基础作业】必做题

1. 若f(x)=x2-3x+2，则方程f(x)=0的实根为 ，函数y=f(x)的零点是，函数f(x)的图象与x轴交点的坐标为 。

2. 已知函数f(x)是定义域为Ｒ的奇函数，且f(x)在(0,+∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为( ) 。

A.３B.２C.１D.不确定

3. 已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）个

A.5个 B.4个C.3个 D.2个

4. 函数f(x)= -x3-3x+5的零点所在的大致区间为（）

A.( - 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

5. 方程2-x+x2=3的实数解的个数为。（请说明理由）

设计意图：在概念的易错，易混点处出题，加深对概念的理解；利用常见题型帮助学生巩固所学新知。

【基础作业】选做题

已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值时能分别满足下列条件。

①有2个零点；②3个零点；③4个零点。

设计意图：为学有余力的学生搭建展示自己的舞台，充分利用学生的表现欲，激发学生对数学的兴趣。

【板书设计】

3.1.1 方程的根与函数的零点

一、创设情境

二、新课探究

1.函数零点的概念；

2.函数零点的意义；

3.函数零点的求法；

4.函数零点存在性判定定理。 三、概念和定理的巩固及应用

四、小结

五、作业 学生

板演区：

课后反思：

现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。而在已有知识结构基础上的新矛盾的出现，又会刺激学生积极地思考。因此在新课导入中，设计了“问题1：求下列方程的根。①2x-1=0；②x2-2x-3=0；③lnx+2x-6=0。”让学生由熟悉的到陌生，引发思考。再者，本设计采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，逐层铺垫，降低难度；由具体到一般地建立方程的根与相应的函数的零点的联系，恰当地使用多媒体和计算器，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程；给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会；设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。

建构主义认为：知识不是被动接受，而是认知主体积极主动建构的。本节的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设问题情境——建构概念——探究定理——注重反思——拓展应用”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，提高学习数学的兴趣，成为积极主动的建构者。

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