分类讨论思想在数列问题中的应用

林明霞

摘 要：分类讨论思想是中学数学学习中一种重要的策略，数列是中学中的重要知识，分类讨论思想在数列问题中应用广泛，那么数列中哪些问题会涉及分类讨论呢？就数列中求通项公式、求和这两种最常见的数列问题中涉及分类讨论思想的情况做简单的归纳与分析。

关键词：分类讨论思想；通项；分类标准

在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐步求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想。分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也是中学数学学习中的一种重要策略。数列是中学中的重要知识，也是高考的必考知识，数列在求通项公式、求前n项和等许多问题中，都涉及分类讨论思想。本文通过举例说明分类讨论思想在解决数列问题中的应用。

一、求数列通项

例1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-10n+9，求数列{an}的通项公式。

分析：数列通项an与前n项和Sn之间的关系为an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

解：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2-10n+9）-[（n-1）2-10（n-1）+9]=2n-11

當n=1时，a1=S1=0不符合上式 ∴an=0，n=12n-11，n≥2

例2.数列{an}：1，2，3，4，5，8，7，16，…写出它的通项公式。

二、数列求和

例3.求和S=1+x+x2+…+xn

例4.已知数列{an}的通项公式an=2n-11，求数列{|an|}的前n项和Tn。

分析：绝对值是分段定义的，从而要分an≥0和an<0讨论；

∴Tn=10n-n2，1≤n≤5n2-10n+50，n≥6

例5.已知数列{an}的通项公式an=（-1）n（2n-11），求数列{an}的前n项和Sn。

分析：an=（-1）n（2n-11）=-（2n-11），n为奇数2n-11，n为偶数，因此分n为奇数和偶数讨论。

总之，用分类讨论思想解决数列问题时要遵守一定的原则：（1）分类的对象确定，标准统一；（2）不重复，不遗漏；（3）分层次，不越级讨论。另外数列问题中引起分类讨论的原因有（1）等差数列、等比数列的定义中的限制条件引发；（2）公式an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2的限制引发；（3）数列的通项公式分段表示引发；（4）数列求和时正负项，奇偶项，等比数列公比q引发等。

（作者单位 浙江省苍南县钱库高级中学）

编辑 刘青梅