高中生数学发散思维与数学聚合思维比较研究

赵飞远 刘合香

摘 要： 为研究高中生数学发散思维与数学聚合思维的状况并加以比较，提出相关观点和策略，进一步提高高中生的数学思维水平，作者选取了南宁市某示范性高中70名学生进行测试调研.调研结果表明：在高中生数学解题过程中，发散思维和聚合思维对数学问题解决的影响普遍存在，数学发散思维和数学聚合思维受到已有知识、解题方法、能否变通等多方面因素的影响和制约，学优生和学困生的解题思维水平存在显著差异.

关键词： 数学发散思维 数学聚合思维 数学解题 高中生

一、问题提出

如果说把解决数学问题的思路比喻成道路的话，那么数学思维的角度和方向就变得举足轻重.按照数学思维的指向，可以把数学思维分为数学发散思维（又称数学辐射思维）和数学聚合思维（又称数学辐合思维）.

数学发散思维是对已知数学信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新的数学问题，探索新的数学知识或发现多种解答和多种结果的思维方式.

数学聚合思维是调动各种信息（已知的或回忆的），按照常规习惯寻求解决数学问题、整理数学知识或总结数学方法的思维方式.

数学发散思维以不同的思维方向、路径和角度探求解决数学问题的多种不同答案正受到人们的关注和重视，并成为创造性思维方法的重要组成部分；数学聚合思维则以其理性、逻辑、集聚、合围的特点给数学发散思维带来了扩张力 ，又提供了聚合力.因此，探讨数学发散思维和数学聚合思维的辩证统一性，不仅具有理论价值，还有其现实意义.

数学发散思维与数学聚合思维对高中生生解题的制约和影响是普遍存在的.究竟其影响程度如何？它们各自有哪些特点？两者之间又有何区别和联系？如何较有效地培养高中生的数学发散思维和数学聚合思维？对教师的教和学生的学有何指导意义？本研究编制了一套与高中生数学发散思维和数学聚合思维有关的测试题，对高中生在解决数学问题过程中的思维发散性和思维聚合性进行了实验研究，希望为教学提供参考.

二、研究方法

（一）被试

被试为南宁市一所示范性中学高二年级两个平行班的学生，总被试80人，发放数学调查问卷80份（每班40份），收回有效问卷70份，问卷回收率为87.5%.

（二）研究工具

本研究采用高中生数学调查问卷方式进行调研.

根据现行高中数学教材自编高中生数学发散思维与数学聚合思维比较研究测试题，经过多次修改，试卷的可靠程度较高，信度系数为0.763.本套调查试卷包括6道要求笔试完成的简答题，测试时间为80分钟，试卷满分100分：其中问题1、2、3、5各占15分，问题4、6各占20分，评卷施行按步给分，根据具体情况酌情处理.所考查的知识点均分布于高一至高二所学内容，根据数学发散思维与数学聚合思维各自的研究维度和子维度编制试题，试题有明显的代表性，适合高二学生进行测试.

测试得到的数据使用SPSS进行统计分析.

三、结果与分析

（一）学优生和学困生在数学发散思维方面的表现

数学发散思维包括多端性、独特性和变通性三个维度.在数学发散思维方面，学优生能够展开联想，从多个角度寻求解决问题的方法和途径；学困生则很难开启自身的发散思维，找不到或很难找到解决问题的有效途径. 6个数学问题的解决在水平上，学优生和学困生在数学聚合思维方面均表现出了显著性的差异.

（二）学优生和学困生在数学聚合思维方面的表现

数学聚合思维包括概括性和逻辑性两个维度.在数学聚合思维方面，学优生对数学思想方法的理解更透彻，能够多题一解，学困生则对于解决问题既存在知识问题，又存在思想和方法问题.6个数学问题的解决在水平上，学优生和学困生在数学聚合思维方面均表现出了显著性的差异.

（三）典型例题分析

问题1.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

辨析：这是一道三角函数的化简求值问题，学生可能会想到用积化和差，或是分子分母同乘以2cos10°以退为进，也可以两两组合（（sin10°sin30°）（sin50°sin70°），（sin10°sin70°）（sin30°sin50°））之后再进行积化和差.主要考查高中学生问题5和问题6这两个“姊妹题”是考查高中生数学聚合思维在解题中的概括性维度.学优生和学困生出现显著性的差异.

四、讨论

综合上述分析可以看出：数学发散思维与数学聚合思维的水平直接影响到学生的数学解题.如本研究中问题4，如果学生不能对方程的根这个数学概念深入了解，自然就不会由数形结合想到方程的根，其实就是相应的函数图像交点的横坐标.

从数学发散思维和数学聚合思维对学生解题的影响程度来看，数学聚合思维对学生的解题的影响更显著.我们考虑可能是由于数学知识只是数学思想的载体，而数学思想乃数学知识的灵魂，抓住隐藏在知识背后的思想，其实就抓住了数学问题解决的本质，那么真正意义上的解题自然水到渠成.

与学优生相比较而言，学困生的数学解题受到发散思维和聚合思维的影响更显著.

五、结论与建议

（一）结论

1.数学发散思维和数学聚合思维直接影响数学解题.

2.数学发散思维和数学聚合思维对数学解题的影响不同，其中，数学聚合思维数学解题的影响更大.

3.从优“差”生数学发散思维和数学聚合思维对数学解题影响的比较来看，学困生的数学发散思维和数学聚合思维对数学解题的影响更显著.

（二）建议

1.加强数学发散思维和数学聚合思维在数学解题中的训练力度，如：在函数图像的教学中，引导学生打开思维去想图像中蕴含的数学，以及由数学公式或符号生成的图形，与此同时多注意高中数学思想方法在解题和教学中的渗透.

2.在数学教学中，不仅要经常鼓励学生打破思维定势，进行发散思维，一题多解，一题多变，一题多用；有要懂得张弛有度，多题一解，把中学数学思想方法顺其自然，活灵活现地根植入学生内心.

3.对于学困生的教学，在补充好数学“双基”知识的前提下，重点应放在培养他们数学问题解决的意识，尤其是在问题解决过程中发散思维和聚合思维的巧妙运用上，从而形成一张看不见、摸不着却又真实起作用的知识网络.

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