重视数学思想方法的渗透和应用培养优秀人才

林彩金

摘 要：数学基本思想是中学数学教学中的一个重要研究的课堂。教师要从数学思想的渗透和数学思想的应用这两个方面来研究。

关键词：数学教育；基本思想方法；优秀人才

随着现代科技的进一步发展，特别是计算机应用领域的扩大，对信息的加工、处理、分类、统计要求越来越高。培养一代高素质、具有创新能力的优秀人才，对我们的教育教学工作提出了新要求。因此，这就更加突出了数学基本思想在中学教学中的渗透和应用的重要意义。

下面，我就把教学中常用的数学思想方法的应用举例说明。

一、数学思想方法的渗透

数学思想的渗透既是培养数学能力的基础，又是创新的源泉，既增益，又减负。有利于中学数学的教学，也符合教学大纲的要求。

（1）数形结合思想的渗透。数形结合的思想是中学数学的重要思想之一，是数学的灵魂，数和形反映了事物的两个方面：数无形，少直观；形无数，难入微。因此，在解决有关数的问题时，需要画出图形或结合给出的图形去寻求数之间的联系；在解决形的问题时，又常常通过数的计算去找到图形之间的联系。这种数形结合的思想是解决数学问题的切入点，能让学生比较容易地找到解题的途径，达到化繁为简的目的。

例1：代数式■+■的最小值是____。（第十二届希望杯初二赛题）

分析：∵条件是x为实数，将数化为形。

如图1，BA⊥AC于A，DC⊥AC于C，AB=2，CD=3，AC=12，AP=x，则BP+PD=■+■。

即转化为：在AC上求一点P，使PB+PD最小。

于是作B关于AC的对称点F，从而可得出BP+PD=FD=13，故■+■的最小值为13。

（2）换元思想的渗透。在初中数学中我们就接触过换元法，有些题目如用常规方法求解，会带来很大的计算量，甚至不得要领，无从下手。而通过换元这种转化可减少运算量，化难为易，带来很大的方便。

例2：已知■=■=■，则■____。（2001年重庆初三数学竞赛题）

分析：可设■=■=■=k，从而得x=■y+z=■z+x=■， 解出x，y，z，可得■=■。

（3）方程思想的渗透。方程思想是最基本的也是最重要的数学思想方法之一，要从对问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（这种模型可以是方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。在具体应用中，常见的技能包括待定系数法、直接设元解方程、运用根的定义构造方程、运用判别式构造方程、运用根与系数关系构造方程、由待求式与条件式构造方程组、挖掘隐含条件构造方程（组）和构造复数方程八种解题方法，它们又是互相联系、协调统一的数学方法。

例3：若m2=m+1，n2=n+1，且m≠n，则m5+n5=____。（江苏省第四届初中数学竞赛题）

解：∵m2=m+1，n2=n+1，且m≠n，∴m、n是方程x2-x-1=0的两个根。由根与系数关系得m+n=1，m n=-1。∴m2+n2=3，m3+n3=4。m5+

n5=（m2+n2）（m3+n3 ）-m2 n2 （m+n）=11。

（4）分类讨论思想的渗透。分类讨论思想是指依据数学研究对象有本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想。分类讨论思想是一种常用而重要的数学思想。

例4：求y=1+sint+■ 的值域。

解：①当sint>0，y=1+sint+■≥3。②sint<0，y=1-（-sint+■）≤1-2=-1。∴ y ∈ （-∞，-1]∪ [3，+∞）。

（5）整体思想的渗透。解数学问题时，可将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，并注意已知条件及待求结论在这个整体中的地位和作用，然后对整体结构的调节和转化使问题获解。整体思想是数学解题中的一种常用思维方法，由于这种思维具有一定的简约性和跳跃性，掌握起来有一定的难度，教师在教学当中应注意通过一些具体实例由浅入深地进行展开和讨论，以便学生领会和掌握。

例5：设对所有实数x ，不等式x2log2■+2xlog2■+log2■>0恒成立，求a的取值范围。

分析：此题可以有多种解法，一般学生都利用二次函数性质来解，不但运算复杂，而且因讨论的层次较多，容易出错。如果通过观察题设中不等式的整体结构可以发现，式中三个对数可以转化为同一形式，从而原不等式化简为：3x2+[（〖x-1）〗2+1]log2■>0，这个不等式对所有实数恒成立的充要条件是log2■>0？圳■>1？圳0

二、数学思想的应用

所谓应用是让学生逐步独立地、自觉地将观念应用于数学思维过程中，一方面深化对观念的理解，一方面检验观念的正解与否，从而完成从抽象到具体的飞跃。这个阶段要求学生在数学观念下能概略解决问题，而教师的主导作用在于对学生思维活动的评价。

通过十几年教学实践，使我更深刻地认识到，在教学过程中注重数学思想的渗透，使学生受到潜移默化的教育，为数学思想应用奠定了基础，学生能容易地建立对这一数学思想的初步认识，从而在检验、应用中逐步独立地、自觉地将观念运用于数学思维的过程中，使学生提高了用同一种思想处理不同问题的能力，提高解决问题的能力，从而增强了数学思维的“动力机制”，提高了数学质量。

总之，我们数学师应重视数学基本思想在中学数学教学中的渗透，从而培养更多的优秀人才。

参考文献：

[1]田万海.数学教育学[M].杭州：杭州教育出版社，1999（3）.

[2]叶葱葱.换元法在数学竟赛中的应用[J].福建中学数学，2003（12）.

（福建莆田青璜中学）