不确定二阶系统的非奇异快速终端滑模控制

李 浩 梁 婕 梁海波 吕章刚

北京航天自动控制研究所，北京 100854



不确定二阶系统的非奇异快速终端滑模控制

李 浩 梁 婕 梁海波 吕章刚

北京航天自动控制研究所，北京 100854

针对不确定SISO二阶系统中存在不确定参数、扰动等影响，研究非奇异快速终端滑模控制算法，设计控制器，理论上证明了系统的稳定性和输出误差的有限时间收敛，与采用线性滑模面的滑模控制方法相比，该方法提高了系统的响应性能。最后通过仿真证明了该方法的有效性。

二阶系统；非奇异快速终端滑模控制；稳定性；有限时间收敛

现代战争对制导武器的准确性、快速性等性能提出了全新的要求，导弹无疑承担了重要的角色。电动舵机是导弹制导和控制系统中执行机构的重要组成部分，其性能的好坏直接决定导弹飞行过程中的动态品质。电动舵机作为典型的二阶系统，在实际应用中由于存在参数变化和扰动等不确定因素，控制器必须能适应参数变化和负载扰动的影响，才能取得良好的动、静态性能。

滑模变结构控制通过控制作用的切换使系统状态保持在滑模面上，对不确定参数、扰动具有很强的鲁棒性，是对不确定系统进行控制的一种有效方法[1]。文献[2]研究了舵机控制中舵面铰链力矩和外加干扰对系统参数的影响，提出一种滑模面参数的设计方法。文献[3]通过相轨迹优化设计参数，揭示了滑模控制增益、滑模面参数和电机机电时间常数之间的关系。文献[4]采用滑模变结构控制提高了系统响应时间，改善了系统在干扰条件下的性能。文献[5]设计了一种PID形式的滑模面，当存在不确定参数、外界扰动和非线性因素时可实现系统的稳定控制。上述文献的滑模控制器采用线性滑模面，系统状态在滑模面上指数收敛，意味着系统状态到达滑模面后只有当时间趋于无穷时才能收敛到平衡点。

终端滑模控制通过在滑模面中引入终端吸引子来改变系统的收敛特性，可实现系统状态的有限时间收敛[6]，然而终端滑模只有在系统平衡点附近才具备快速收敛性，文献[8]中提出的快速终端滑模虽然在系统远离平衡点时仍具有快速收敛性，但存在奇异性问题。文献[9]针对n阶系统提出一种非奇异快速终端滑模面，解决了奇异性问题，但针对具体应用对象时其控制律不易实现。

本文在文献[9]的基础上提出一种不确定SISO二阶系统的快速终端滑模控制方法，基于系统模型参数的界来设计鲁棒控制器，可以有效地抑制系统中不确定性对系统性能的影响，并实现系统状态的有限时间收敛，提高系统的响应速度。

1 问题描述

考虑如下二阶系统：

(1)

其中，x=[x1,x2]T为系统状态向量，y为系统输出，u为系统输入控制量，φ(x)∈Rm-1为已知函数组成的向量，a=[a1,a2,…，am-1]T，ai∈R(i=1,2,…，m-1)。b为控制增益，Δ为系统未建模动态，a和b不确定，但满足：

假设1：系统参数和干扰有界，即：

ai,min≤ai≤ai,max,i=1,2,…,m-1

0

(2)

其中，ai,min,ai,max,bmin,bmax和ζd已知。

控制的目标是对模型(1)，在满足假设1和2时，设计控制器，使系统输出误差e1=y-xd收敛为0，并且保证系统中所有信号有界。

2 控制器设计

以式(1)作为研究对象，可设计如下非奇异快速终端滑模面(NFTSM)[9]：

(3)

其中，β>0，c>0，γ=p1/q1，p1和q1为大于0的互质奇数，且p1

(4)

其中，t0为系统到达滑模面σ2的时间，而γ′和β′为：

注1：式(3)中，若令β=γ=1，则σ2为线性滑模面。然而非奇异快速终端滑模面中当系统状态到达滑模面时，可实现误差e1的有限时间收敛，而线性滑模面中当系统状态到达滑模面时只能实现误差的指数收敛。

对σ2求导，可得[9]：

(5)

(6)

则由式(3)可知：

(7)

(8)

=-cσ2+β″[bu+φT(x)a+Δ+xed]

=-cσ2+β″[bu+ψT(x)θ+Δ]

(9)

由式(9)可设计如下控制律：

u=(us1+us2)/bmin

(10)

注2：式(10)中us1用于构造趋近律，加快系统状态到达滑模面的速度。而us2则用于抑止系统中不确定性的影响，这里us2是基于不确定参数和系统扰动的界来设计的。

3 稳定性分析

定理1：对于对象(1)，采用式(3)和(10)组成的控制器时，有：

1) 闭环系统稳定；

2) 系统状态有限时间收敛。

(11)

2) 首先证明系统状态在有限时间内到达滑模面σ2，分2种情况来证明。

由式(11)可知：

(12)

(13)

即：

(14)

(15)

将式(10)代入式(15)，有：

ψT(x)θ+Δ

(16)

当σ2>0时，有：

当系统状态到达滑模面σ2之后，由式(3)和(4)可知，系统状态在有限时间内收敛到平衡点。

4 仿真与分析

以电动舵机为例，进行仿真分析。忽略电感的影响，舵机的数学模型为[10]：

(17)

其中，δ为舵偏角，u为电机电枢电压，J，f和K1分别为折算到舵机输出端的转动惯量、粘滞摩擦系数和力矩-电压转换常数，Δ′为系统未建模动态。TL为舵机负载力矩，TL为舵偏角的函数[10]：

(18)

(19)

其中，Δ=Δ′/J。由(19)可知φ(x)=[-x1,-x2,-1]T，ai(i=1,2,3,4)为：

计算可得a=[23.81,1.2,0.635]T，b=1.714。在进行仿真时假设参数a和b未知，但其最小值和最大值已知，分别为：amin=[20,1.0,0.48]T，bmin=1.34，amax=[28.58,1.5,0.8]T，bmax=2.057。

对2种控制器进行对比，即非奇异快速终端滑模控制器(NFTSMC)和基于线性滑模面的滑模控制器(LSMC)。采用Matlab/Simulink的ODE4仿真算法，仿真步长为1ms，仿真时长为5s。控制器参数分别为：

1) NFTSMC

β=0.1，c=10，γ=r=3/5，k1=k2=20，k3=4。

2) LSMC

由注1知，当终端滑模面中的β=γ=1时，可获得线性滑模面，因此令NFTSMC中β=γ=1，则可得LSMC。

仿真时分别对阶跃输入和正弦跟踪时系统响应性能进行比较。

1) 0.1rad的阶跃响应

为了使期望轨迹满足假设2，设置如下前置滤波器来获得阶跃响应时的期望轨迹：

(20)

图1为阶跃响应时的误差曲线。由图可知在阶跃响应时NFTSMC比LSMC收敛速度更快。由于仿真时的计算误差等原因，系统存在一定的稳态误差，从图1中的放大图可以看出NFTSMC的稳态误差比LSMC的小。图2为阶跃响应时的系统控制量。由于在控制律中采用符号函数sign(σ2)，系统控制中存在一定程度的抖振。

在正弦跟踪时，系统初始位置设置为0.2rad。图3为正弦跟踪的系统误差，由图可知在正弦跟踪时,与LSMC相比，NFTSMC的收敛速度快，稳态误差小。图4为正弦跟踪时的系统控制量。

图1 阶跃响应时系统误差曲线

图2 阶跃响应时的系统控制量

2) 0.2sin(πt)rad的正弦信号跟踪

图3 正弦跟踪时系统误差

由阶跃响应和正弦跟踪的仿真结果可知，NFTSMC在系统响应速度和稳态误差方面均比LSMC具有更好的性能。

图4 正弦跟踪时系统控制量

5 结论

针对不确定二阶系统研究了一种非奇异快速终端滑模控制方法，在系统存在不确定参数和外界扰动的情况下，可实现系统的稳定控制，并使系统状态有限时间收敛。理论分析和仿真实验证明该方法比采用线性滑模面的滑模控制具有更快的收敛速度和更高的稳态响应精度。

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Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Control for Uncertain Second Order System

LI Hao LIANG Jie LIANG Haibo LV Zhanggang

Beijing Aerospace Automatic Control Institute, Beijing 100854, China

Theapproachofnonsingularfastterminalslidingmodecontrolisresearchedandthecontrollerforsecondordersystemwithuncertainparametersandloaddisturbanceisdesigned.Theclose-loopstabilityofthesystemandthefinite-timeconvergenceofthetrajectorytrackingerrorareproved.Thesystemperformanceisimprovedincomparisonwiththeslidingmodecontrolbasedonlinearslidingmode.Finally,theeffectivenessofproposedmethodisvalidatedbysimulation.

Secondordersystem；Nonsingularfastterminalslidingmodecontrol；Stability；Finite-timeconvergence

2013-10-08

李 浩(1982-)，男，四川汉源人，博士，工程师，主要研究方向为系统综合，滑模控制；梁 婕(1980-)，女，四川成都人，硕士，高级工程师，主要研究方向为系统综合，自动控制；梁海波(1984-)，男，天津宝坻人，博士，工程师，主要研究方向为系统综合，导航制导与控制；吕章刚(1986-)，男，山东烟台人，硕士，助理工程师，主要研究方向为系统综合，自动控制。

1006-3242(2014)04-0008-05

TP13

A