空天再入飞行器最优过渡段轨道设计方法研究

郭付明 高晓光 端军红

西北工业大学电子信息学院，西安710129



空天再入飞行器最优过渡段轨道设计方法研究

郭付明 高晓光 端军红

西北工业大学电子信息学院，西安710129

针对空天再入飞行器在再入角和再入点位置给定条件下的过渡段轨道设计问题，提出了一种最优过渡段轨道的设计方法。首先，在制动点给定的条件下，由制动脉冲最大限制求得初始航迹角的区间范围，然后详细推导了由给定再入角解析计算初始航迹角的公式，进而可由初始航迹角计算所需的离轨制动脉冲和转移时间。最后用一维搜索策略对转移时间最短和燃料消耗最小的最优制动点位置进行了迭代求解。仿真表明，该算法简单易行，具有很强的实时性，对于空天再入飞行器再入时最优过渡轨道的设计具有较高的工程应用价值。

过渡段轨道设计；离轨制动脉冲；再入角；最优制动位置

近年来，由于空间远程快速运输系统和全球快速精确打击等的需求，各类能够往返于地球表面和空间轨道之间的空天飞行器成为各国的研究热点。其中具有代表性的是美国研制的X-37B轨道试验飞行器[1]，它不仅可用于空间运输和空间试验，而且在侦查监视与预警、全球快速精确打击等军事应用方面具有重大潜力。此外，这类飞行器还有美国猎鹰计划中的通用航空飞行器(CAV)、空间作战飞行器(SOV)以及可重复使用运载器(RLV)等。

空天再入飞行器的返回过程可分为原轨道运行段、过渡段和大气内再入飞行段[2]。目前国内外对再入飞行器返回过程中的再入飞行段进行了大量的研究，主要研究内容集中在以下几个方面：再入飞行器的再入制导方法[3-4]、再入轨迹的离线优化问题[5-7]和三自由度再入轨迹的实时在线生成技术[8]。而关于再入飞行器过渡段的轨道设计问题研究较少，许多文献研究飞行器再入飞行段时均假定再入点位置和再入参数已知[9-10]。文献[11-13]在研究气动力辅助轨道转移的离轨阶段时，均采用简单的切向脉冲离轨制动方法来确定再入点位置和再入参数，过渡转移轨道远地点为离轨点，近地点在大气层内。文献[14-15]研究了航天器连续小推力离轨制动的最优控制问题，但连续小推力离轨制动时间过长，一般不满足航天器快速返回的任务需求。文献[16]在圆轨道情况下分析了依据初始轨道半径和可施加的速度脉冲范围确定最优离轨推力角和转移椭圆轨道的方法，但不适用于再入点位置已规划好的情况。文献[17]通过改变制动点的位置，不断迭代求解Lambert问题来寻找满足给定再入角和再入位置的过渡段转移轨道，每改变一次制动点位置，均要重新求解一次Lambert问题，计算较为繁琐，效率不高。

本文针对再入角和再入点位置给定条件下的空天再入飞行器过渡段轨道设计问题，首先推导出由给定再入角解析计算初始航迹角的公式，进而可用初始航迹角由极坐标系下的转移轨道速度计算公式直接求出所需的离轨制动脉冲，避免了迭代计算，在此基础上，以初始轨道飞行弧段对应的地心角为迭代变量，采用黄金分割法迭代求解出转移时间最短和燃料消耗最小过渡轨道对应的制动点位置。

1 最优过渡段转移轨道设计问题

如图1所示，设再入飞行器在初始点M收到再入任务命令，要求以给定的再入角到达再入点E。再入飞行器并不立即进行离轨制动，而是沿原轨道飞行一段时间后，在K点进行离轨制动，显然不同的制动点K对应的总转移时间和需要施加的制动速度脉冲各不相同，把所需转移时间最短或燃料消耗最小的制动点都称为最优制动点。最优过渡段转移轨道设计问题的实质就是最优制动点位置的选择和制动脉冲的求解问题。

图1 最优过渡段轨道设计问题示意图

若给定制动点位置，且规定从制动点到再入点的转移时间，则再入飞行器从制动点到再入点的轨道转移过程可以看成Lambert问题。但是Lambert问题仅仅对转移时间有要求，对飞行器到达目标位置的速度倾角并没有进行限制，然而对于再入飞行器来说，再入点处的速度倾角对飞行器大气再入段的过载和热负荷起着十分重要的作用，一般在任务规划阶段应给出确定值，飞行器到达再入点的速度倾角应严格满足给定值；相反，对转移飞行时间并不需要严格规定为某一定值，只需要在一定的时间范围内即可。

下面首先研究制动点位置、再入角、再入点位置均给定的情况下离轨制动脉冲的求解方法，在此基础上，再讨论确定最优制动点位置的迭代算法。

2 制动点给定时离轨制动脉冲的求解方法

2.1 极坐标系下轨道方程

以地心为极点，地心到再入飞行器制动点的连线为极轴建立极坐标系，再入飞行器的运动可以用极径r和极角θ表示，如图2所示。

图2 极坐标示意图

假设再入飞行器只受地球引力的作用，则在r1和r2组成的平面内，再入飞行器的运动方程可描述为[18]

(1)

V=

(2)

初始速度脉冲的方向由下式确定

(3)

其中，

(4)

在0<λ<2，λ=2，λ>2三种情况下，由积分式(4)，可得飞行时间的闭合形式解ft(γ)(具体形式参见文献[18])，它们分别对应的转移轨道形状为椭圆、抛物线和双曲线。

2.2 初始航迹角范围限定

由于再入飞行器携带燃料有限，其制动速度脉冲有最大值限制，所以制动后的速度大小也不会超过某一最大值。设飞行器初始速度大小为V0，制动速度脉冲最大值为ΔVmax，当制动速度脉冲沿初始速度方向时，制动后所能达到的最大速度为

Vmax=V0+ΔVmax

(5)

在式(2)中，将V对γ求导并令导数为0，可得极点

(6)

(7)

求解上式中的γ，可得最大制动速度对应的2个极限速度倾角为

(8)

(9)

其中，

Δ=k4sin2θf-(1-cosθf)2+

2.3 由给定再入角解析求解初始航迹角

由2.1节可知，若已知制动点位置、再入点位置和初始航迹角，便可求出到达再入点所需的初始速度和转移时间，进一步可得到再入飞行器到达再入点时的速度和再入角。因此再入角可以看作是关于初始航迹角的函数，下面推导再入角关于初始航迹角的关系式。

(10)

在r1处，由能量守恒定理可得转移轨道半长轴

(11)

在r2处，由能量守恒定理有

(12)

将式(11)带入式(12)可得

(13)

将式(13)带入式(10)，可得再入角γf关于初始速度倾角γ的函数关系式

γf=fγ(γ)

(14)

图3 再入角-航迹角关系曲线

在满足初始航迹角限制时，再入角关于初始航迹角的函数曲线形状可能出现如图4所示的3种情况：单调增，单调减，先单调增后单调减。对于单调增和单调减的情况，如果给定再入角，可能存在唯一的初始航迹角，使再入飞行器到达再入点时满足给定的再入角要求，也可能不存在满足要求的初始航迹角；对于先单调增后单调减的情况，则可能有3种结果： 存在唯一的初始航迹角、存在2个初始航迹角或不存在满足给定再入角要求的初始航迹角。

图4 航迹角限制下的再入角-航迹角关系曲线

对于上述由已知再入角求解初始航迹角的问题，直观的想法是先确定一个隔根区间，然后迭代求解方程γf=fγ(γ)的根，但是下面经过推导发现式(14)可化为关于tanγ的一元二次方程形式，从而可获得γ的解析解，避免了求解γ值的迭代计算。

2、基于当下开始普及流行的 HTML5，Web App可以实现很多原本Native App才可以实现的功能，比如 Canvas、本地离线存储等；

(15)

将式(2)和(13)带入上式，经化简整理可得

acos2γ+bcosγsinγ+c=0

(16)

将式(16)进一步整理为关于tanγ的一元二次方程形式

ctan2γ+btanγ+a+c=0

(17)

解上述方程可得求解γ的解析公式

(18)

特别地，当γf=0时，方程有唯一实根

(19)

此时γ值对应图2中曲线的顶点。

2.4 离轨制动脉冲求解步骤

综上，将再入飞行器在制动点位置、再入角和再入点位置均给定的情况下解析求解离轨制动脉冲的步骤归纳如下：

1)根据变轨速度增量限制由式(8)和(9)求解初始航迹角范围[γmin,γmax]；

2)将制动点位置r1、再入点位置r2、地心角θf、给定再入角γf带入式(18)，求解初始航迹角；

3)将初始航迹角值γ1和γ2与步骤1)求解出的航迹角范围进行比较，若γ1和γ2有1个值位于区间[γmin,γmax]内，则该值即为所求；若γ1和γ2均位于限制区间内，由文献[19]可知转移飞行时间随初始航迹角单调递增，较小的初始航迹角对应的转移轨道所需转移时间较少，因此可选择较小的初始航迹角作为求解结果；若γ1和γ2均位于限制区间外，则不存在满足要求的解；

4)将步骤3)所求的初始航迹角带入式(2)～(4)，求得所需初始速度矢量V和转移时间，进而求解离轨速度脉冲矢量ΔV=V-V0，其中V0为制动点处原轨道速度矢量。

3 最优过渡段轨道的确定

在以上求解制动脉冲问题的讨论中，假设再入飞行器的制动点是给定的，但在实际工程中，考虑到过渡段时间与能量的限制有必要对过渡段的轨道设计进行寻优，即确定最优制动点的位置。在得到最优制动点位置后，由上节给出的方法求得该制动点处的制动速度脉冲，便可完成最优过渡段轨道的设计。下面分别讨论最短转移时间和最小燃料消耗制动点的求解方法。

3.1 最短转移时间制动点求解

1)置初始区间[θmin,θmax]=[0,θME]及精度要求ε>0，计算试探点λ1，μ1，计算函数值tME(λ1)，tME(μ1)，其中试探点计算公式为

λ1=θmin+0.382(θmax-θmin)

(20)

μ1=θmin+0.618(θmax-θmin)

(21)

2)若θmax-θmin<ε，则停止计算，取最优值θMK=(θmin+θmax)/2。否则，当tME(λ1)>tME(μ1)时， 转步骤3)；当tME(λ1)≤tME(μ1)时，转步骤4)。

3)置θmin=λ1，λ1=μ1，μ1=θmin+0.618(θmax-θmin)，计算函数值tME(μ1)，转步骤2)；

4)置θmax=μ1，μ1=λ1，λ1=θmin+0.382(θmax-θmin)，计算函数值tME(λ1)，转步骤2)。

3.2 最小燃料消耗制动点求解

4 仿真算例

设再入飞行器初始时刻位于轨道倾角i0=0°的近地圆轨道上，轨道高度为400km，初始点M的经度φM=30°，纬度φM=0°。再入点在地心惯性系中的经度、纬度、高度分别为φE=120°，φE=5°，hE=120km，且满足给定再入角γE=-6.0°。再入飞行器离轨制动速度脉冲限制ΔVmax=2000m/s，黄金分割法的迭代精度ε=0.01°。

最短转移时间过渡轨道设计结果如表1所示，最小燃料消耗过渡轨道设计结果如表2所示。图5为再入飞行器在地心惯性系OXYZ中的过渡段飞行轨迹，图中M为初始点，E为再入点，K1为最短转移时间制动点，K2为最小燃料消耗制动点。

表1 最短转移时间制动点设计参数

表2 最小燃料消耗制动点设计参数

图5 再入飞行器过渡段飞行轨迹

在本仿真算例中，由最短转移时间过渡轨道设计结果可知，θMK数值很小，可以近似认为制动点与初始点位置相同，制动速度脉冲大小为1491.70m/s，总体转移时间1173.12s。对于最省燃料设计结果，θMK为42.9161°，制动速度脉冲大小为1037.64m/s，总体转移时间为1424.33s。轨道设计算法在CPU为3.0GHz的微机配置下，由Matlab编程实现，2种轨道设计结果分别仅耗时2.55ms和5.51ms，说明算法具有很高的实时性。

5 结论

针对空天再入飞行器最优过渡段轨道设计问题，提出了一种求解离轨制动脉冲解析算法，并给出了确定最优制动点位置的一种迭代算法。从再入角关于初始航迹角的函数关系式出发，推导出由已知再入角求解初始航迹角的解析公式，进而由得到的初始航迹角计算离轨制动脉冲，避免了迭代计算，保证了算法的实时性。以初始轨道飞行弧段对应的地心角为迭代变量，采用黄金分割法迭代求解了最短转移时间和最省燃料制动点位置。通过仿真算例证明了算法的可行性和较强的实时性，该算法对于天地往返的空天飞行器或天基再入对地打击武器等的过渡段轨道设计具有很高的参考应用价值。

[1] Paez C A. The Development of the X-37 Reentry Vehicle[J]. AIAA-2004-4186, 2004.

[2] 赵汉元.飞行器再入动力学和制导[M].长沙: 国防科技大学出版社, 1997.

[3] 胡建学, 陈克俊, 赵汉元, 等. RLV再入标准轨道制导与设计[J].航天控制, 2007, 25(6): 13-16.(Hu Jianxue, Chen Kejun, Zhao Hanyuan, et al. Reentry Trajectory Design and Guidance for Reusable Launch Vehicle[J]. Aerospace Control, 2007, 25(6): 13-16.)

[4] Saraf A, Leavitt J A, Chen D T, et al. Design and Evaluation of an Acceleration Guidance Algorithm for Entry[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2004, 41(6): 986-996.

[5] Jorris T R, Cobb R G.. Three-dimensional Trajectory Optimization Satisfying Waypoints and No-fly Zone Constraints[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2009, 32(2): 543-553.

[6] 康炳南, 唐硕.有动力通用再入飞行器的轨迹设计与优化[J].航空学报, 2009, 30(4): 738-743. (Kang Bingnan, Tang Shuo. Trajectory Design and Optimization of Powered Common Aero Vehicles[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(4): 738-743.)

[7] 姚寅伟, 李华滨.基于Gauss伪谱法的高超声速飞行器多约束三维再入轨迹优化[J].航天控制, 2012, 30(2): 33-38. (Yao Yinwei, Li Huabing. The Generation of Three-dimensional Constrained Entry Trajectories for Hypersonic Vehicle Based on the Gauss Pseudospectral Method [J]. Aerospace Control, 2012, 30(2): 33-38.)

[8] Shen Zuojun, Lu Ping. Onboard Generation of Three-dimensional Constrained Entry Trajectories[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 2003, 26(1): 110-121.

[9] 洪蓓, 辛万青.升力式飞行器多阶段轨迹优化改进策略研究[J].导弹与航天运载技术, 2013(2): 8-12.(Hong Bei, Xin Wanqing. Improved Strategy of Lift Vehicle Multi-phase Trajectory Optimization[J]. Missiles and Space Vehicles, 2013 (2): 8-12.)

[10] 王智, 唐硕, 闫晓东.高超声速滑翔飞行器约束预测校正再入制导[J].飞行力学, 2012, 30(2): 175-179.(Wang Zhi, Tang Shou, Yan Xiaodong. Constrained Oredictor-corrector Reentry Guidance for Hypersonic Glide Vehicle[J]. Flight Dynamics, 2012, 30(2): 175-179.)

[11] Christopher L Darby. Minimum-fuel Low-earth-orbit Aeroassisted Orbital Transfer of Small Spacecraft[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2011, 48(4): 618-628.

[12] 符俊, 蔡洪, 张士峰.气动力辅助双脉冲最优异面变轨问题研究[J].弹道学报, 2011, 23(2): 22-27.(Fu Jun, Cai Hong, Zhang Shifeng. Reserch on Optimal Two-impulse Aeroassisted Orbital Transfer[J]. Journal of Ballistic, 2011,23(2):22-27.)

[13] 陈洪波, 杨涤.气动辅助空间交会最优轨道设计与闭环导引律[J].航天控制, 2006, 24(6), 17-22. (Chen Hongbo, Yang Di. Optimal Trajectories Design and Closed-loop Guidance Law Study for Aero-assisted Space Rendezvous[J].Aerospace Control, 2006, 24(6):17-22.)

[14] 李艳艳, 任凌.地球同步卫星的小推力离轨最优控制[J].系统仿真学报, 2010, 22(1): 96-98. (Li Yanyan, Ren Ling. Optimal Low-thrust Control for Geosynchronous Satellite Deorbit[J]. Journal of System Simulation, 2010, 22(1): 96-98.)

[15] 袁宴波, 李东伟.天基对地打击武器最优过渡轨道研究[J].科学技术与工程, 2009, 9(6): 1146-1149.

(Yuan Yanbo, Li Dongwei. Transition Orbit Optimization Research of Space-to-ground Kinetic Weapon[J]. Science Technology and Engineering, 2009, 9(6): 1146-1149.)

[16] 陈洪波, 杨涤.升力式再入飞行器离轨制动研究[J].飞行力学, 2006, 24(2): 35-39. (Chen Hongbo, Yang Di. De-orbit Operations Study of Lifting Reentry Vehicle[J]. Flight Dynamics, 2006, 24(2): 35-39.)

[17] 胡正东, 郭才发, 曹渊, 等.轨道轰炸飞行器过渡段轨道设计与制导[J].固体火箭技术, 2009, 32(5): 473-477. (Hu Zhengdong, Guo Caifa, Cao Yuan, et al. Transition Trajectory Planning and Guidance for Orbital Bombing Vehicle[J]. Journal of Solid Rocket Technology, 2009, 32(5): 473-477.)

[18] Paul Zarchan. Tactical and Strategic Missile Guidance[M]. New York: AIAA, Inc, 1987.

[19] Nelson S L. Alternative Approach to the Solution of Lambert’s Problem[J]. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 1992, 15(4): 1003-1009.

Research on Optimal Transition Trajectory Planning for Reentry Vehicle

GUO Fuming GAO Xiaoguang DUAN Junhong

School of Electronic and Information Technology，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710129，China

Amethodoftheoptimaltransitiontrajectoryplanningisproposedfortheproblemofplanningthetransitiontrajectoryofthereentryvehicleonconditionthatthereentrylocationandreentryanglearefixed.Firstly,onconditionofagivenbrakingposition,theconstraintofthevelocityincrementistransformedintoflyoutangleinterval.Secondly,theformulatocalculatetheflyoutanglebyusingknownreentryangleisderived,andthenthede-orbitthrustandthetransfertimecanbecalculated.Finally,theoptimalbrakingpositionsoftheoptimaltransfertimeandtheoptimalfuelconsumingarecalculatediteratively.Thesimulationresultapprovesthatthemethodproposedissimpleandhighreal-time,whichpossesseshighapplicationvalueforthechoiceofthebrakingpositionandthede-orbitthrustcalculationofreentryvehicle.

Transitiontrajectory；De-orbitthrust；Reentryangle；Optimalbrakingposition

2013-09-10

郭付明(1987-)，男，河南鹤壁人，硕士研究生，主要研究方向为先进火力控制技术；高晓光(1957-)，女，辽宁鞍山人，博士，教授，主要研究方向为航空武器系统效能分析与先进火力控制技术；端军红(1983-)，男，河北邢台人，博士研究生，主要研究方向为先进火力控制技术。

1006-3242(2014)04-0069-06

V448.235

A