扩频信号跟踪环路中的锁频环研究*

马 路 石立国 王竹刚

1.中国科学院大学，北京 10019 2.中国科学院空间科学与应用研究中心，北京 100190



扩频信号跟踪环路中的锁频环研究*

马 路1,2石立国1,2王竹刚2

1.中国科学院大学，北京 10019 2.中国科学院空间科学与应用研究中心，北京 100190

为了正确地接收扩频应答机的高动态信号，接收机需要很宽的频率跟踪范围。二阶锁频环，因其对频率斜升信号的频率跟踪误差为0而广泛应用于扩频信号的跟踪环路。在详细分析了具有四象限反正切鉴频器的二阶锁频环的噪声特性、频率跟踪范围的基础上，通过仿真得到了最优环路带宽。整个分析和推导过程及结论对扩频信号跟踪环路的设计和优化具有很好的参考价值。

扩频信号；二阶锁频环；四象限反正切鉴频器；最优带宽

航天测控系统的发展以航天器飞行需求为牵引。早期的航天器测控与通信系统采用单一功能的分散体制，不同的测控功能由相互分离的跟踪设备、遥测设备、遥控设备分别在不同的频段完成。60年代中期出现了S波段统一测控系统(Unified S-Band System，USB)，它的主要特点是集各种功能于一体，设备简单可靠，但是测距精度难以提高，难以实现对多目标的同时测控，抗干扰能力差。20世纪70年代以来，为了满足不断复杂的航天任务，出现了统一扩频测控体制。它能实现多星同时测控，抗干扰性和隐蔽性高，多码合一和时分复用使设备简单便于管理[1]。

同步技术是所有相干接收机的关键部分。扩频应答机更是如此，在接收端它需要补偿±90kHz的多普勒频偏和3kHz/s的多普勒变化率。扩频信号的高动态对同步技术提出了更高的要求。本文从该指标要求出发设计满足统一扩频测控体制需求的载波跟踪技术。

1 轨道和信号模型

本文讨论的轨道参数与文献[1]相同，即：卫星过境时间为11min，多普勒频率从+90kHz到-90kHz变化，最大多普勒变化率为3kHz/s。这些参数是根据低轨卫星理论参数并考虑一定的余量得到的。假定卫星轨道高度为500km，射频载波为2.46GHz，卫星在轨道上的角速度为0.001106053390841rad/s，卫星从地面站0°视角的地方出现到最后消失在0°视角的地方的过境时间为：11.5636min。由此计算得到卫星的多普勒范围为：±57.8kHz，多普勒变化率为880Hz/s，其对应的变化如图(1)所示。由轨道速度转化为多普勒频移的公式如下[2]：

(1)

其中，vd(t)为多普勒速度，fc为射频载波频率，c为光速。

图1 应答机动态特性

因此，信号的相位模型中只考虑到频率斜升，不考虑频率二次变化率及更高变化率的情况。

(2)

其中，f0是多普勒频率，f1为频率一次变化率。

虽然跟踪频率斜升信号的方法很多[3-4]，如卡尔曼滤波(Kalman)、二阶锁频环(FLL)和三阶锁相环(PLL)。但是考虑到扩频应答机的高动态以及相对于GPS信号高信噪比的特性，本文采用结构简单的二阶FLL对扩频应答机信号进行载波跟踪。详细分析了环路的结构，数学模型，噪声特性，动态特性和最优环路滤波器参数设计。

2 锁频环特性研究

2.1 锁频环线性数学模型

在扩频应答机中，频率鉴别器的作用是对频率误差δωk估计得到ek。频率误差估计的方法是计算积分清零之后的相邻2个时间的相位误差，估计得到的频率误差是TL时间内的平均误差。一般情况下，频率误差只有在鉴频器线性范围内才能被正确估计出来[5]。

楚墨跟进卧室，念蓉已经躺下。楚墨替她关掉台灯，紧挨着她躺下，一动不动。过了一会儿，楚墨支起身体，看看念蓉，伸出手，轻轻抚摸念蓉的肩膀，念蓉转过身去，给楚墨一个冷脊梁。楚墨俯下身体，亲吻念蓉的肩膀和后背，念蓉既不躲闪，也不迎合，冷淡得就像一条冬日的鳗鱼。楚墨的嘴唇沿着念蓉的腰畔往下滑动，终吻上念蓉的脚踝。黑暗里的念蓉将脚抽开，说：“还想不想让我睡觉了？”声音里竟有几丝厌恶。楚墨僵住了，嘴唇却仍然保持着亲吻的姿势，黑暗里，要多可笑有多可笑。他叹一口气，老老实实地躺下，双手抱紧抱枕。

图2 FLL的数学模型

这些近似表达式将为分析和优化环路设计提供很大的方便。

(3)

图1中,iD为流过二极管D的电流,vD为D两端的电压,vr为D的正向导通压降,RD为D的导通电阻,CD为D的寄生电容。因此,vD也可表示为寄生电容CD两端的电压,视作为电路的状态变量,致使二极管D的工作状态是处于正向导通和反向截止。基于图1所示电路模型,二极管D的伏安关系可描述为

由鉴频器的鉴频特性曲线可以看出：在无噪的情况下鉴频范围为：-π<δωTL<π；在有噪声的情况下，鉴频器的有效鉴频范围(单调线性区间)随着信噪比的变化而变化。所以在分析环路稳定性之前，必须分析环路有效鉴频范围。

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(4)

(5)

式中，ΔΩ(z)为δω(k)的Z变换，Nω(z)为nω(k)的Z变换。其中，NCO的传输函数为：

(6)

相位差分器：

(7)

从事招标采购工作的人员素质良莠不齐，职业自律意识薄弱，一些从业人员知法犯法，操作不规范，导致招标文件编制质量不高、招标方案存在漏洞、资格审查不严格，让不法投标人有可乘之机。高校可以加强对招标采购人员的培训，同时定期组织讨论学习，解决在实际工作中遇到的困难，提高对实践工作的认识和理解，提升工作人员的法律意识和专业水平。在专家库建设过程中，细化专家分类，积极鼓励更多的专家进入专家库，同时加大对专家的培训力度，加强招投标相关法律法规的学习，提高评标专家的职业素养。

(8)

其中，SNR为信噪比，CNR为载噪比，TL为积分清零时间，且有：SNR=CNR·TL=A2/σ2。

图3是3种不同信噪比下的噪声分布概率密度函数(Probability Density Function)。

图3 不同信噪比下的鉴频噪声概率密度函数

2.2 噪声带宽和跟踪误差

根据图5可知，arctan2鉴频器的鉴频函数可表示为：

（6）创新科技产品：智能家居、AR/VR产品、无人机、机器人、智能穿戴、数字医疗、健康运动数码、节能环保等新技术、新能源产品等。

(9)

系统的带宽越大，瞬时响应越快，但跟踪误差越大。

为了分析热噪声引入的频率跟踪误差，必须得到nω的功率谱密度。由于频率误差估计值是通过相邻积分清零时间的相位差差分得到的，所以经过鉴频器之后的噪声已不再是标准高斯白噪声(相邻2个样本是相关的)，所以得到相关函数如下：

(10)

功率谱密度(PSD)和自相关函数之间是一对傅里叶变换对，其对应的Z域表达式为：

(11)

(12)

对于公路施工期噪声而言，为了在今后工作的开展上创造出更高的价值，还必须在防噪设备的使用上取得更好的效果。例如，我们在施工过程中，对于一些设备的应用过程中，可以加强变频系统的选用，这样不仅可以在噪声的分贝上有效降低，更加能够促使施工设备的损坏有所减少。与此同时，防噪的一些装备应有效佩戴，针对基础施工人员和技术人员，都要加强防噪设备的使用，这对于人体造成的伤害可以有效的降低，对于公路施工期噪声防治而言，也取得了较好的效果。

通常扩频应答机的环路滤波器采用二阶数字滤波器。其传输函数如下：

(13)

其中，C0，C1为二阶滤波器的系数。其对应的传输函数的结构如图4。环路滤波器参数设置如表1[8]。

图4 二阶数字滤波器结构

表1 环路滤波器参数设计

阶数典型滤波器参数稳态误差二阶C0=1.414ωnTKC1=ω2nT2KBn=0.53ωnd2R/dt2ω2n

将环路滤波器F(z)、鉴频器D(z)、数控振荡器NCO(z)带入系统传输函数和噪声传输函数表达式得到二阶传输函数为：

Hω(z)=

(14)

Hn(z)=

(15)

根据文献[9]附录中的表Ш得到二阶锁频环的噪声带宽和噪声方差为：

(16)

(17)

2.3 四象限反正切鉴频器

四象限反正切鉴别器(arctan2)为：

(18)

其中，dot=IkIk-1+QkQk-1,cross=QkIk-1-IkQk-1。

该频率鉴别结果等于相邻2个积分清零时间间隔的相位差，并且对数据跳变敏感。

四象限反正切鉴频器对频率误差的响应如图5所示。可以看出，该鉴频器对信噪比(SNR)敏感：鉴频器线性区间和鉴频增益随着信噪比SNR的改变而变化。

图5 不同信噪比下的鉴频曲线

鉴频器的鉴频结果是2个连续的相位样本在TL时间内的增量，这2个相位样本可分别表示成如下的形式：δθ[k-1]+nω[k-1]和δθ[k-1]+δωTL+nω[k]，其中δωTL表示连续TL时间内的相位增量。就产生同样大小的相位增量来说，可以做如下假定：k-1时刻的同相和正交分量的相位样本分别为：Ik-1=cos(nω[k-1])，Qk-1=sin(nω[k-1])；k时刻的相位样本为：Ik=cos(δωTL+nω[k])，Qk-1=sin(δωTL+nω[k])；鉴频器对这2个相位样本做差分得到频率误差δω。所以，四象限反正切鉴频器(arctan2)的鉴频结果可表示为：

(19)

其中，p(·)为噪声分布函数，其表达式为式(8)，f(·)为arctan2鉴频函数。

系统Hω(z)的双边噪声带宽为：

fatan2(δωTL)=δωTL

[u(δωTL+π)-u(δωTL-π)]

(20)

其中，u(·)为阶跃函数(Heaviside)。

鉴频器的鉴频增益定义为鉴频函数在频率误差为0处的斜率[6]，即：

(21)

(22)

鉴频增益随信噪比SNR的变化曲线如图6所示。由图6可知，当SNR>10dB时，鉴频增益KD为常数1；当SNR<10dB时，鉴频增益KD随着信噪比SNR的降低而降低；当SNR<-15dB时，鉴频增益KD几乎为0。

图6 不同信噪比下的鉴频增益

(23)

图7 不同信噪比下的鉴频噪声方差

采用同样的方法可以得到相关函数Rn[1]的表达式为：

(24)

通过仿真可以发现，相关函数和Rn[0]具有一定的相关性。在高信噪比SNR情况下，Rn[1]近似为0.5Rn[0]。并且随着信噪比减少，Rn[1]的相关性逐渐下降，频率热噪声逐渐变成高斯白过程。如图8所示为比值Rn[1]/Rn[0]随信噪比的变化曲线。

图8 不同信噪比下R[1]/R[0]比值变化

根据文献[10]，当信噪比为 -3dB

通观全书，王玉生的新著文风踏实，文笔流畅，文采飞扬，体现出作者的史观、史学、史识和史才，体现了作者开阔的学术视野和扎实的理论功底，读来有博大中正、凝重厚实之感，是一部深入研究蔡元培大学职能思想的佳作。这部著作的问世，必将能够对我国大学改革与发展以重要的、有益的现实启示。

KD≈1-e-0.7683·SNR

(25)

具有热噪声干扰的鉴频器的鉴别结果可近似表示为：

3 环路稳定性和瞬态响应

为了分析环路的稳定性和跟踪性能，建立了如图2所示的FLL的线性数学模型。其中，D(z)为差分鉴频器，KD为鉴频增益，F(z)为环路滤波器，NCO(z)为数控振荡器。

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锁频环的有效鉴频范围为鉴频曲线中第一个峰值与零点的距离。由于鉴频曲线在该点是峰值，所以在该点处的斜率为0，为此可以求出离0点最近的2个斜率为0的点，该点距离0点的长度即为有效鉴频范围。因此，求下列方程的根：

(26)

该方程没法得到解析解，只能通过数值仿真的方法得到。如图9为不同信噪比下的有效鉴频区间。

图9 不同信噪比下的有效鉴频范围

参照文献[10]的拟合方法得到鉴频区间与信噪比的关系如下：

(27)

无噪情况下的环路稳定条件和瞬时响应过程的讨论可参考文献[11]。下面分析在有噪声情况下的环路稳定性条件和瞬时响应过程。

(28)

其中，Ω(z)为ω(k)的Z变换，ΔΩ(z)为w(k)的Z变换。该关系式建立了频率跟踪误差与输入频率及环路滤波器F(z)之间的关系。下面将分析二阶FLL的锁定条件和频率动态误差。

二阶FLL对应的锁频环的传输函数为式(13)，因此环路的时域差分方程满足下式：

The Presentation of Macao by Mainland Tourism E-commerce—based on the Analysis of Website Content________________________HUANG Jihua,REN Xinying 13

wk+(G0+G1-2)wk-1+(1-G0)wk-2

(29)

假定输入频率二次变化率信号具有如下形式：

(30)

令环路参数r为：

(31)

为了分析环路的稳定性，采用文献[12]中介绍的固定点方法。为此，需要将上述差分方程写成xk+1=G(xk)的形式。假定yk=wk+1和xk=wk，则等式(29)可以转换成如下的矩阵形式：

(32)

其中，频差向量为wk=[xk,yk]T。

各景区都有其合理的环境承载量，但长假期间游客洪流般涌入各景区，造成了景区负荷严重超载，一些自然和人文景观景点受到了污染和损害[2]，基础设施损耗加剧，留下了大量垃圾。降低了游客的享受效用，影响了游客的观景兴致和审美情趣，景区所在地居民的生活环境被干扰，产生抵触情绪。虽然带来了巨额的经济效益，但景区的可持续发展难以为继。

(33)

为了保证G′(x)的特征值小于1，得到如下关系式

(34)

令式(33)等于0，可以得到环路更快收敛的条件为：

从王钻清一百余首大时空诗中，我们发现他的“大时空诗”（或称“科幻诗”）形成了“体系”。他在自己的写作中，在未来设计的时空压缩与时代嬗变的文化反刍中，一边建立自己与时间幻想、空间探测、抽象现实、人类未来等相关的题材体系——将地表人、外星人、地球、月球、太阳、火星、星系、太空、外太空等作为描写对象，把光年、光速、量子、粒子、中子、微中子等当作诗歌的“大数据”；一边建立与“大时空”、人类性、现代性等诸多因子紧密联系且富有个性的语言体系——科幻的、诗性的、哲思的、神性的、灵异的、奇幻的、混沌的语言体系；或者说，构成显而易见的一套完整的由科幻新感觉、转喻新概念、众多新意象组成的前后连贯的体系。

G0=1,rG0=2

(35)

(36)

由此得到二阶FLL对频率斜升信号的牵引范围为：

(37)

假定环路的预检积分时间为TL=0.5ms，二阶频率变化率为ω2=40π rad/s2，则在G0-r平面上绘制FLL的参数稳定取值范围如图10所示。二阶锁频环的瞬时响应如图11所示。由图得到，环路收敛最快的参数为：G0=1，r=2。

图10 不同滤波系数下的瞬态响应

图11 ω2=40π(rad/s3)时的稳定区域

4 最优带宽设计

环路滤波器的作用是对误差信号进行滤波处理，其输出量直接控制NCO。因此，滤波器的好坏决定着环路的跟踪误差。对于阶数确定的二阶FLL，其滤波器参数必然存在使环路跟踪误差最小的数值，而滤波器参数与环路带宽具有表1所示的关系。因此，环路必存在最优带宽。

三是各级税务机关要对纳税信用良好、生产经营困难的民营企业，进一步研究针对性、操作性强的税收帮扶措施，并积极推动纳入地方政府的统筹安排中。对确有特殊困难而不能按期缴纳税款的民营企业，要通过依法办理税款延期缴纳等方式，积极帮助企业缓解资金压力。

稳态优化的目的是使环路的稳态误差最小。其性能函数如下：

Q=E[nω(k)]2+λ[ω(∞)]2

(38)

其中，参数λ是动态误差占总的跟踪误差的权重。

根据式(17)和(38)得到环路的性能函数为：

(39)

利用式(39)可以得到稳态情况下的最优环路带宽。

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环路仿真参数设置如下：信噪比变化范围：SNR=-10～30dB；预检测积分时间设为：TL=0.5ms，ω2=40π(rad/s3) ，ω1=6000π(rad/s2)，ω0=1000π(rad/s)，θ0=0.01π(rad)，λ=1。

如图12所示，在SNR=17dB时，FLL的最优带宽为17Hz，此时具有最小的频率跟踪误差：0.26Hz。图13为不同信噪比条件下的FLL最优带宽，图14为不同信噪比下的最小跟踪误差。由图13和14可知：当SNR<10dB时，最优带宽随着信噪比的增减而线性增加，跟踪误差随着信噪比的增加而线性减小；当SNR>10dB时，最优带宽不再随信噪比的增加而增加，基本保持恒定，跟踪误差不再随信噪比的增加而线性减小，基本保持恒定。

图12 SNR=17dB时的FLL跟踪误差

图13 不同信噪比下的FLL最优带宽

图14 不同信噪比下的FLL最小跟踪误差

5 总结

由于扩频应答机的高动态特性，接收机需要利用捕获范围更广的锁频环来跟踪载波。二阶锁频环对频率斜升信号的频率跟踪误差为0，完全满足扩频应答机的需求。详细地分析了具有四象限反正切鉴频器的锁频环噪声特性、环路的动态跟踪范围和二阶环路最优滤波器参数的设计。所得结论对设计和优化扩频信号的跟踪环路具有很好的参考价值。

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Study of Frequency-Locked Loops for Tracking Spread Spectrum Signals

MA Lu1,2SHI Liguo1,2WANG Zhugang2

1.University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190，China 2.Center for Space Science and Applied Research, Beijing 100190, China

Awidefrequencytrackingrangeisrequiredforreceiverstoaccuratelyacquirespreadspectrumsignals.Thesecondorderfrequency-lockedloops(FLL)aregenerallyusedinspreadspectrumtrackingloopsbecauseofzerofrequencytrackingerrorforDopplerratesignals.Thenoiseperformanceandfrequencypull-inrangeofasecondorderFLLwithfourquadrantarctangentdiscriminatorarediscussedanddeducedinthispaper.AndtheoptimumbandwidthofthetrackingloopiscalculatedandsimulatedbyMATLAB.Thederivationandresultsarevaluableforloopdesignandoptimization.

Spreadspectrumsignals;Secondorderfrequencylockedloops;Fourquadrantarctangentdiscriminator;Optimalbandwidth

*国家“863”计划项目(2011AA7014053)

2013-08-09

马 路(1990-)，男，安徽滁州人，硕士研究生，主要从事数字信号处理研究；石立国(1984-)，男，山东聊城人，硕士研究生，主要从事数字信号处理研究；王竹刚(1974-)，男，北京人，博士，研究员，主要从事射频微波通信和数字信号处理技术研究。

1006-3242(2014)04-0054-08

TN914.3

A