具有马尔科夫分布时延网络控制系统的保性能控制器设计*

朱其新 卢开红 朱永红 胡寿松

1. 苏州科技学院机械工程学院，苏州 215009 2．华东交通大学电气与电子工程学院，南昌 330013 3．景德镇陶瓷学院机械电子学院，景德镇3330014. 南京航空航天大学自动化学院，南京 210016



具有马尔科夫分布时延网络控制系统的保性能控制器设计*

朱其新1,2卢开红2朱永红3胡寿松4

1. 苏州科技学院机械工程学院，苏州 215009 2．华东交通大学电气与电子工程学院，南昌 330013 3．景德镇陶瓷学院机械电子学院，景德镇3330014. 南京航空航天大学自动化学院，南京 210016

针对一类具有马尔科夫时延的网络控制系统，讨论了其保性能控制器的设计问题，并提出了一种通过切换反馈增益来维持网络控制系统性能的设计方法。首先把网络控制系统建模为一类具有不确定性参数的离散系统，利用Lyapunov稳定性理论，讨论了系统的稳定性，结合一个最优二次型性能指标，推导出该类系统保性能控制器的存在性。最后通过仿真算例验证了此控制方法的有效性和可行性。

网络控制系统；马尔科夫时延；Lyapunov稳定性；最优二次型性能指标；保性能

网络控制系统( Networked Control System ,NCS) 是指通过实时网络形成闭环的反馈控制系统[1-3],它融合了计算机、通信、网络和控制等技术。与传统的点对点连接方式相比 ，它具有连线少、信息资源能共享、易于维护和扩展等优点。因此，NCS的研究受到越来越多的学者的关注并成为研究的一个热点。当NCS各组件之间通过网络传输信息时不可避免地产生网络诱导时延(包括传感器-控制器时延τsc,控制器-执行器时延τca)，而时延会导致系统性能降低甚至可能会引起系统不稳定。因而要使NCS具有较好的性能，NCS控制器必须对网络诱导时延进行补偿。文献[4]讨论了短时延NCS的LQG控制问题；文献[5]讨论了长延时NCS的H∞控制问题；文献[6]针对一类马尔科夫网络控制系统，研究了均方指数问题；文献[7-8]把网络控制系统建模为一类具有不确定性的离散时延系统，讨论了一类不确定性时延网络控制系统保性能控制器的设计问题，其中文献[8]将Lyapunov稳定性原理和鲁棒控制理论结合，提出了鲁棒保性能控制的存在条件。本文针对具有马尔科夫跳跃特性时延的网络控制系统，将其建模为一类不确定性的离散系统。并通过反馈将其转换为含有不确定参数的闭环系统。利用Lyapunov稳定性理论和矩阵不等式给出了该类系统保性能控制律存在的条件。

1 问题描述

考虑一类含不确定参数的线性离散系统，如下所示

(1)

其中，x∈Rn，u∈Rn，y∈Rn分别为状态、输入和输出状态向量。Ao,Bo,C和D分别为适维的系统、输入、输出和传输矩阵的确定分量。ΔA[τ(k)]，ΔB[τ(k)]为系统受时延影响产生的不确定参数。

网络控制系统中不可避免地存在时延。在实时网络系统中，当前的时延通常与之前时刻的时延有关，这种随机时延服从马尔科夫分布，可建模为马尔科夫链[9]。

为了分析问题的方便，本文不考虑数据包的时序错乱问题,作如下假设：

1) 马尔科夫的状态在一个采样周期内最多转换一次；

2) 网络诱导延时有界服从一确定的分布，且0≤τ(k)<τ≤∞ ；

3) 传感器、控制器和执行器均为时钟驱动。

网络诱导时延τ(k)的概率分布由马尔科夫链中的状态给出，根据假设2)，不妨令生成随机变量的马尔科夫链有τ+1个状态，即

τ(k)∈I=(0,1,…,τ)

马尔科夫链从第i个状态到第j个状态的转移概率为

(2)

其中

所有pij可以构成一步转移概率矩阵,即有：

(3)

马尔可夫链是一个时间离散且状态离散的随机过程，它的状态是在时间一步步推进的过程中，按照一步转移概率矩阵中的转移概率发生改变的。

一般假设控制器采用最新数据，若新的采样数据可在一个采样周期内到达控制器，则控制器收到数据后立即计算控制量并输出至执行器，若在一个采样周期内控制器未收到数据包，则认为丢包发生，此时控制量u保持旧的数据不变。这种控制策略常见于一些实时网络控制系统中。

假设系统状态完全可测，考虑式(1)的离散控制模型，令状态反馈控制器的控制增益为Kτ(k)，状态反馈可表示为：

图1 网络控制系统结构

u(k)=Kτ(k)x(k-τ(k))

(4)

对于不确定系统式(1)，令A=Ao+ΔA[τ(k)]，B=Bo+ΔB[τ(k)]。 将式(2)代入式(1)可得状态闭环系统为

x(k+1)=Ax(k)+BKτ(k)x(k-τ(k))

(5)

系统结构如图1所示，该系统可根据时延的变化，通过改变切换开关的位置来对Kτ(k)进行合理选取以达到理想的控制性能。也就是说，时延的变化将引发相应的切换开关动作，切换开关的动作规律与时延的状态是一一对应的。

2 保性能控制器设计

对于闭环系统(5)，本文讨论使下列性能指标极小的控制律设计

(6)

其中,Q，R为对称正定阵。

1)S<0；

u(k)=Kτ(k)x(k-τ(k))。

定理1 对于已知的正定对称矩阵Q，R，P，若存在反馈控制增益Kτ(k)，使矩阵不等式

< 0

(7)

成立，则系统(5)渐近稳定，且对系统所有允许的不确定性，系统的性能指标值满足

J∞

(8)

其中,M=-(BΤPB+R)-1。

证明：若矩阵不等式(7)成立，即有

< 0

应用引理1可得

(9)

(10)

可得：

(11)

即有

(A+BKτ(k))ΤP(A+BKτ(k))-P+Q+

(12)

可得

(A+BKτ(k))ΤP(A+BKτ(k))-P<

(13)

Q，R正定，必有

[A+BKτ(k)]ΤP[A+BKτ(k)]-P<

(14)

现取Lyapunov函数为

V(k)=xΤ(k)Px(k)

(15)

沿系统(5)的任意轨线向前作差分必有

ΔV(k)=V(k+1)-V(k)=

{[A+BKτ(k)]x(k)}ΤP[A+BKτ(k)]x(k)-

xΤ(k)Px(k)=xΤ(k){[A+

BKτ(k)]ΤP[A+BKτ(k)]-P}x(k)

(16)

根据式(14)可知

(17)

故闭环系统系统(5)渐进稳定，即有

(18)

对于性能指标(6)有

根据式(17),可知

(19)

J∞

(20)

由定义1可知，系统(5)的保性能控制律存在。因此，定理1得证。

3 仿真算例

以如下所示网络控制下的一不稳定模型为对象进行仿真研究，以验证本文所提出的控制算法。取采样周期T=1s，考虑如下模型：

其中

讨论性能指标(6)：

假设系统初始状态为

x(0)=[0.400 -0.7800]Τ，

系统存在马尔科夫时延τ(k)∈(0,1)，且时延的初始状态为τ(0)=0，传输概率矩阵为：

由以上传输概率矩阵,根据马尔可夫链蒙特卡洛仿真[10]可以获得马尔科夫延时曲线，如图2所示，存在正定阵：

由于系统受时延影响，通过解不等式(7)所示的矩阵不等式的可行性解的问题，可得一组根据时延跳跃变化而反复跳跃切换的最优反馈增益：

Kτ(k)=0=[-0.0156 0.0280]，

Kτ(k)=1=[-0.0160 0.0296]。

即可得到所考虑系统的保性能控制律为：

当时延τ=0时，

u(k)=[-0.0156 0.0280]x(k)；

当时延τ=1时，

u(k)=[-0.0160 0.0296]x(k-1)；

相应闭环系统的保性能J∞=1.0869。

在此保性能控制律的条件下，闭环系统的控制信号曲线和状态响应曲线分别如图3和4所示。显然从图中可以看出，系统存在马尔科夫延时时，在上述的保性能控制器作用下，系统具备良好的渐进稳定性能和控制性能。

图2 马尔科夫延时曲线τ(k)

图3 闭环状态轨迹曲线

图4 控制信号轨迹曲线

4 结论

针对一类具有马尔科夫跳跃特性时延的网络控制系统，将其建模为一类不确定性的离散系统。并通过反馈将其转换为含有不确定参数的闭环系统，提出了一种通过切换反馈增益来维持网络控制系统性能的设计方法。利用Lyapunov稳定性理论和最优控制理论给出了该类系统保性能控制律存在的条件。

由于系统本身受时延影响而导致了不确定性，为了维持系统良好的性能，就需要系统像仿真算例中一样对保性能状态反馈增益进行切换。为了使反馈增益的切换次数有限，当延时在很小的范围类，时延对系统的影响可以忽略不计，同一反馈增益可以达到期望的控制目的；但假设时延超过某一临界值时，就需要对系统反馈增益进行有效切换。决定保性能状态反馈增益进行切换的这一临界值的选取有待于进一步的研究。

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The Guaranteed-Cost Controller Design for Networked-Control

ZHU Qixin1,2LU Kaihong2ZHU Yonghong3HU Shousong4

1. School of Mechanical Engineering, Suzhou University of Science and Technology,Suzhou 215009，China 2.School of Electronical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013，China 3. School of Mechanical and Electronic Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezheng 333001，China 4. College of Automatic Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016，China

RegardingaclassofMarkovtime-delaynetworkedcontrolsystems,theproblemofdesigningguaranteedcostcontrollerisresearchedandaswitchingfeedbackgainmethodisproposedtomaintainsystemperformance.Firstly,thenetworkedcontrolsystemsaremodeledasdiscretesystemswithuncertainparameters.ThroughusingLyapunovstabilitytheory,thesystemstabilityisdiscussed.Then,bycombiningwithagivenoptimalquadraticperformanceindex,theexistenceofguaranteedcostcontrollersisderived,andthecorrespondingdesignmethodofguaranteedcostcontrollerisproposed,whichisbasedonLMItoolbox.Finally,theeffectivenessandfeasibilityofthecontrolmethodareverifiedwithasimulationcase.

Networkedcontrolsystem; Markovtimedelay;StabilitytheoryofLyapunov;Optimalquadraticperformanceindex;Guaranteedcost

*国家自然科学基金资助项目(51375323,61164014)

2013-11-05

朱其新(1971-)，男，安徽定远人，博士，教授，主要研究方向为网络控制和伺服控制；卢开红(1990-)，男，四川南充人，硕士研究生，主要研究方向为网络控制；朱永红(1965-)，男，江西鄱阳人，博士，教授，主要研究方向网络控制和陶瓷窑炉控制；胡寿松(1937-)，男，南京人，教授，博士生导师，主要研究方向为故障诊断及复杂系统的自修复控制。

1006-3242(2014)04-0003-05

TP273

A