理顺关系 克服难点

马文胜

“平行四边形”是初中数学的一个重点内容，具有很重要的地位.主要研究对象是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形.在填空、选择、解答等题型中均有出现.近年的考试中又出现了相关的开放题、应用题、阅读理解题、学科综合题、动点问题、折叠问题等，应引起同学们的高度重视.

一、 掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明

例1 如图1，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.

（1） 求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2） 若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

【重点】平行四边形的概念及有关性质和判定.

【难点】平行四边形多种判定方法的合理选取.

证明：（1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形.

在▱ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又∵DC∥AB，即EC∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形.

（2） 上述结论成立. （过程略）

方法总结：平行四边形的判定方法：

（1） 如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；

（2） 如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；

（3） 如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.

二、 掌握平行四边形与矩形的关系，会利用矩形的性质与判定来解题

例2 如图2，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF. 那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

【重点】矩形的概念及有关性质和判定.

【难点】判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等.

证明：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四边形AECF是矩形.

【方法总结】矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定. 矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点. 证明一个四边形是矩形的方法：（1） 先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2） 先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；（3） 证明有三个内角为90°.

三、 掌握平行四边形与菱形的关系，会利用菱形的性质与判定来解题

例3 如图3，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.

（1） 求证：四边形OCED是菱形；

（2） 若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长.

【重点】菱形的相关性质和判定，菱形的面积计算方法.

【难点】菱形判定方法的合理选取，菱形面积公式的使用分析：（1） 先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；（2） 因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长.

证明：（1） ∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四边形OCED是菱形.

（2） ∵∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形.

过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x.

在Rt△DFA中，∵AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面积为8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

【方法总结】菱形的定义既可作为性质，也可作为判定. 证明一个四边形是菱形的一般方法：（1） 四边相等；（2） 首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；（3） 对角线互相垂直平分；（4） 对角线垂直的平行四边形.

（作者单位：江苏省常熟市周行中学）

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“平行四边形”是初中数学的一个重点内容，具有很重要的地位.主要研究对象是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形.在填空、选择、解答等题型中均有出现.近年的考试中又出现了相关的开放题、应用题、阅读理解题、学科综合题、动点问题、折叠问题等，应引起同学们的高度重视.

一、 掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明

例1 如图1，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.

（1） 求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2） 若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

【重点】平行四边形的概念及有关性质和判定.

【难点】平行四边形多种判定方法的合理选取.

证明：（1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形.

在▱ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又∵DC∥AB，即EC∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形.

（2） 上述结论成立. （过程略）

方法总结：平行四边形的判定方法：

（1） 如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；

（2） 如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；

（3） 如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.

二、 掌握平行四边形与矩形的关系，会利用矩形的性质与判定来解题

例2 如图2，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF. 那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

【重点】矩形的概念及有关性质和判定.

【难点】判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等.

证明：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四边形AECF是矩形.

【方法总结】矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定. 矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点. 证明一个四边形是矩形的方法：（1） 先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2） 先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；（3） 证明有三个内角为90°.

三、 掌握平行四边形与菱形的关系，会利用菱形的性质与判定来解题

例3 如图3，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.

（1） 求证：四边形OCED是菱形；

（2） 若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长.

【重点】菱形的相关性质和判定，菱形的面积计算方法.

【难点】菱形判定方法的合理选取，菱形面积公式的使用分析：（1） 先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；（2） 因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长.

证明：（1） ∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四边形OCED是菱形.

（2） ∵∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形.

过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x.

在Rt△DFA中，∵AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面积为8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

【方法总结】菱形的定义既可作为性质，也可作为判定. 证明一个四边形是菱形的一般方法：（1） 四边相等；（2） 首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；（3） 对角线互相垂直平分；（4） 对角线垂直的平行四边形.

（作者单位：江苏省常熟市周行中学）

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“平行四边形”是初中数学的一个重点内容，具有很重要的地位.主要研究对象是平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊的四边形.在填空、选择、解答等题型中均有出现.近年的考试中又出现了相关的开放题、应用题、阅读理解题、学科综合题、动点问题、折叠问题等，应引起同学们的高度重视.

一、 掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明

例1 如图1，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB.

（1） 求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2） 若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

【重点】平行四边形的概念及有关性质和判定.

【难点】平行四边形多种判定方法的合理选取.

证明：（1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD，CF=CB，

∴△AED，△CFB是正三角形.

在▱ABCD中，AD=BC，∴ED=BF.

∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF.

又∵DC∥AB，即EC∥AF，

∴四边形AFCE是平行四边形.

（2） 上述结论成立. （过程略）

方法总结：平行四边形的判定方法：

（1） 如果已知一组对边平行，常考虑证另一组对边平行或者证这组对边相等；

（2） 如果已知一组对边相等，常考虑证另一组对边相等或者证这组对边平行；

（3） 如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分.

二、 掌握平行四边形与矩形的关系，会利用矩形的性质与判定来解题

例2 如图2，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC. 设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF. 那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

【重点】矩形的概念及有关性质和判定.

【难点】判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等.

证明：当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠BCA，∴∠1=∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO. 同理，FO=CO，∴EO=FO.

又OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠1=∠2，∠4=∠5，

∴∠1+∠5=∠2+∠4.

又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，

∴∠2+∠4=90°，即∠ECF=90°.

∴四边形AECF是矩形.

【方法总结】矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定. 矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点. 证明一个四边形是矩形的方法：（1） 先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；（2） 先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；（3） 证明有三个内角为90°.

三、 掌握平行四边形与菱形的关系，会利用菱形的性质与判定来解题

例3 如图3，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.

（1） 求证：四边形OCED是菱形；

（2） 若∠ACB=30°，菱形OCED的面积为8，求AC的长.

【重点】菱形的相关性质和判定，菱形的面积计算方法.

【难点】菱形判定方法的合理选取，菱形面积公式的使用分析：（1） 先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；（2） 因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长.

证明：（1） ∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OC=BO=OD. ∴四边形OCED是菱形.

（2） ∵∠ACB=30°，∴∠DCO=90°-30°=60°. 又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形.

过D作DF⊥OC于F，则CF=OC，设CF=x，则OC=2x，AC=4x.

在Rt△DFA中，∵AF=3x ∴DF=x.

由菱形OCED的面积为8得OC·DF=8，即2x·x=8. 解得x=2. ∴AC=4×2=8.

【方法总结】菱形的定义既可作为性质，也可作为判定. 证明一个四边形是菱形的一般方法：（1） 四边相等；（2） 首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；（3） 对角线互相垂直平分；（4） 对角线垂直的平行四边形.

（作者单位：江苏省常熟市周行中学）

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