基于APOS理论的直线的倾斜角与斜率教学研究

文/罗湘+王小艾

摘 要：APOS理论是由美国数学家杜宾斯基提出来的一种建构主义学说，现阶段与中小学阶段关联较少。通过对APOS理论的介

绍，以“直线的倾斜角与斜率”设计为载体，展示APOS理论的四个成分，并在此基础上得到教学启示。

关键词：概念教学；APOS理论；教学设计

一、APOS理论概述

APOS理论是杜宾斯基等人提出的关于概念教学的一种理论。它指出学生通过不断构建、调整自己的认知结构，使得主客观得到统一，最终建立新的认知结构。因此，如何帮学生建立起适当的心智结构是一个值得研究的问题。APOS理论分别是由英文action、process、object和scheme的第一个字母所组合而成。APOS理论包含以下四个基本成分：

活动（Action）：个体通过指令对客观数学对象进行变换，或是做出反应。这里的活动强调亲身经历、感受，通过不同的活动来获得知识（概念）的意义。

程序（Process）：个体通过并不断重复这个活动，对其反思，进而形成内部结构。只要参与相应的活动或者给出相应的刺激，个体便会做出相应的反应，这时活动内化为程序。

对象（Object）：个体将上述程序作为整体进行操作，能了解和推出该对象的性质，并能进行一定的数学运算，这时程序就变成了对象。

图式（Scheme）：个体通过上述三个成分及它原有的图式进行整合，从而产生新的图式，建立新的知识网络，有利于学习其他高层次的知识。

二、直线的斜率和倾斜角教材说明

在普通高中数学课程标准实验教科书数学2必修（A版）（人民教育出版社2007年2月第3版）第82-86页中，直线的倾斜角和斜率一节的内容安排是这样的。

（1）在同一平面内作出无数条倾斜程度不同的直线后，引入直线倾斜角的定义。（2）由生活中“坡度”的概念联想到倾斜角的正切，引出直线的斜率的概念，进而推出两点间的直线的斜率公式。（3）最后是两个例题，一个是分别求出由三个点组合成的三条直线的斜率，判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角；另外一个是在平面直角坐标系中，画出过原点且斜率分别为四个不同值的直线。这样的编排联系不紧密。新课标要求教学和实际生活联系起来，让学生学以致用，而教材中与生活中的情境结合得少。

三、基于APOS理论的直线的斜率和倾斜角教学设计

1.活动

利用幻灯片给出楼梯和比萨斜塔的图片，问学生这两者有什么共同之处？引发学生思考，然后结合生活中的图片引入三个情境，通过三个情境四个问题来引入新知识。

情境一

问题1：对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？

问题2：任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，这个倾斜度可以用一个什么几何量来反映？

情境二

问题3：如果你是一名滑梯的设计师，滑梯该怎样设计既能保证安全又刺激？

情境三

问题4：讨论坡度与坡长、坡高有什么关系？

设计意图：通过真实的实例来吸引学生的注意力，并通过3个问题情境，让学生从实际和经验中领悟到直线的倾斜角和斜率的

意义与价值，激发学生探究的兴趣。

2.程序

通过以上3个情境，让学生分析其共同点，结合以前初中学过的知识，教师引导学生思考倾斜度和坡度之间的关系，引入直线的倾斜角和斜率的定义。

并提出两个问题：

（1）倾斜角为90°为什么没有斜率？

（2）斜率还可以用什么方式表示？

设计意图：教师引导，学生探究这一方式，让学生体验直线的倾斜角和斜率的概念的生成过程。教师通过提问，让学生反思和了解斜率存在的几种情况，帮助学生理清思路，使要探究的问题处于学生的“最近发展区”内，为下一步介绍斜率的公式埋下伏笔。

3.对象

通过回忆初中所学过的向量的基础知识，用向量来表示坐标及斜率与倾斜角之间的关系，让学生自己推导出斜率的公式及斜率存在的范围。

设计意图：通过师生共同活动，让学生头脑中的新知识和旧知识建立联系，形成新的认知结构。

4.图式

通过上述，学生对直线的倾斜角和斜率及斜率公式有了一定的理解，教师讲解下面两个例题，帮助学生将所学的知识做到学以致用，并可以将这些知识真正纳入自己的知识体系，形成学生头脑中的认知结构。

（1）已知，A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

（2）已知，直线l经过三点A（3，5）、B（x，7）、C（-1，y），若直线l的斜率为k=2，求x、y的值。

设计意图：通过以上三个阶段，学生在头脑中建立了直线的倾斜角、斜率、斜率公式、斜率存在的条件等图式，学生通过做练习题，将头脑中的图式重新组合，形成新的图式网络，为后面学习两条直线平行与垂直的判定奠定基础。

四、教学启示

APOS理论加强了与学生的实际经历之间的联系，帮助学生更快地建立起所学知识的认知框架，让学生学习数学的过程变成一个不断发现、创造的过程。概念的学习不能强制地灌输给学生，应该努力创设适合学生学习数学的情境，激发学生的兴趣。APOS理论中程序到对象的过程是一个螺旋上升的过程，教师可根据班级情况，合理地安排对象和程序的进程。教师应多给予学生学习探究数学概念的时间，为后面学生学习更高层次的知识奠定好的基础。由此可见，基于APOS理论设计数学探究课不失为一种有效方法。

参考文献:

［1］张伟平.基于APOS理论的数学概念教学研究［J］.数学通讯，2006（02）.

［2］徐晓燕.基于APOS理论下的概念教学设计［J］.中国数学教育，2011（11）.

编辑 谢尾合

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