数形结合法在高中数学中的应用

回春梅

数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定条件下相互补充、转化的

思想.

一、函数与图象的对应关系、方程与曲线的对应关系

在数学教学中，数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，这就有助于把握数学问题的本质.另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解且解法简洁.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如求函数的值域、最值问题，解方程及解不等式，或是求复数和三角函数方面.运用数形结合思想，不仅容易直观地发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，很大程度上简化了解题过程，这在解选择题、填空题时更显其优越性.下面以几个高考题为例来看一看数形结合法的简单应用.

1.在向量题中的应用

例1.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2■+■+■=0，■=■，则■·■等于（ ）

A.■ B.■ C.3 D.2■

因为■+■=2■，所以，点O为BC中点，以点O为圆心■=■=1，数形结合，△ABC为直角三角形且■·■cosC=■·2·cos30°=3.

2.在线性规划问题中的应用

例2.已知x、y满足x+3y-3≤0x≥0y≥0则z=■的取值范围是 .z=■数形结合，考虑它的几何意义，不难发现：z=■表示不等式组对应可行域内点与点（1，-2）；连线斜率k∈（-∞，-2]∪[1，+∞）.

3.在抽象函数问题中的应用

例3.若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）-log4x的零点的个数为

（ ）

A.4 B.5 C.6 D.8

解析：由题意知，函数y=f（x）是个周期为2的周期函数，且是个偶函数，在一个周期[-1，1）上.图象是两条斜率分别为1和-1的线段，且0≤f（x）≤1，同理得到在其他周期上的图象，函数 y=log4x也是个偶函数，先看他们在[0，+∞）上的交点个数，则它们总的交点个数是在[0，+∞）上的交点个数的2倍.在（0，+∞）上，y=log4x=log4x，图象过（1，0）和（4，1），是单调增函数，与f（x）交于3个不同点，∴函数y=f（x）的图象与函数y=log4x的图象的交点个数是6个.

4.在不等式问题中的应用

选修4-5不等式选讲.

已知函数f（x）=2x-a+x-1.

若f（x）≥5-x对∨x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

2x-a≥5-x-x-1恒成立.

令g（x）=5-x-x-1=6-2x，x≥14，x≤1则函数图象为

■

∴■≥3，∴a≥6

5.在微积分问题中的应用

曲线y=■与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形的面积为

.

解析：作图可知，令x=4，代入直线y=x-1得A（4，3），同理得C（4，■），由y=■=x-1，解得x=2.所以曲线y=■与直线y=x-1交于点B（2，1），那么∴SABC=S梯形ABCD-SBCEF，而■■dx表示为SBCEF，然后得到2ln2，然后∵S梯形ABEF=■（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABCD-SBCEF=4-2ln2.

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二、数形结合思想的掌握

数形结合思想应用的广泛性及优点，我们已从前面的分析总结中得以知晓.因此，要很好地掌握数形结合的思想，应注意以下几点：

（1）要善于观察图形，对图形中蕴含的数量关系要有一定的认识；

（2）正确绘制图形，尽量清晰地反映图形中相应的数量关系；

（3）把握“数”与“形”的对应关系，以“形”感知“数”，以“数”认知“形”；

（4）灵活应用数、形的转化，提高思维的灵活性与创造性.

数形结合的实质就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题.因此，数形结合思想应用分为两种情况：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”；二是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”.

（作者单位 河北省衡水市枣强中学）

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