例谈“动态平衡”问题的求解

陈惠英

高中物理静力学部分，有很多动态平衡问题。所谓动态平衡问题，就是通过某种途径（如绳子的收放、倾斜角的改变等）使物体的受力发生变化，但物体仍处于平衡状态。由于这类问题涉及变力，力的大小和方向均可能发生变化，要用动态思维来考虑这类问题。解决这类问题的指导思想是：动中求静，变中寻恒。下面结合例题谈谈这类问题的求解方法。

一、运用矢量三角形求解

【例1】将重为G的小球静止放置在固定斜面和竖直挡板间，不计一切摩擦。在挡板逆时针方向慢慢转到水平位置的过程中，请分析斜面和挡板对小球的弹力的大小，F1、F2是怎样变化？

解析：挡板缓慢转动的过程中，可以认为小球每一时刻都处于静止状态（如图1所示），即所受合力为零。画出如图2所示的矢量三角形，其中G的大小、方向都不会改变；F1的方向保持不变；F2的起点在G的终点处，而F2的终点一定在F1所在的直线上，由图可知，在挡板逆时针转动90°的过程中，F2也逆时针转动90°，所以由图2可知F1逐渐变小，F2先变小后变大。

总结：当物体在三个共点力作用下处于动态平衡时，如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，此时，可用力的矢量三角形来判断力的大小变化趋势。

二、运用相似三角形法求解

【例2】如图3中，轻杆BO的O端是用光滑铰链锁定在竖直放置轻杆AO上的，B端处挂上一个物体，并系着一条细绳，细绳跨过轻杆顶点A处的光滑小滑轮，细绳被外力F拉住，现把细绳慢慢向左拉，在杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少的过程中，拉力F和杆BO所承受的压力FN大小变化情况是（）。

A.F先增大，后减小

B.FN先减小，后增大

C.FN始终不变

D.F始终不变

解析：以杆的B端作为研究对象，则B端受绳的拉力F、BO杆的弹力FN、挂物体的绳子的拉力作用，挂物体绳子的拉力大小等于G，现将FN与G进行力的合成，它们的合力跟F大小相等、方向相反，画出如图4所示的受力分析图，其中力的三角形与几何三角形OBA相似，根据数学知识可知GH=FNL=Fl，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项C。

总结：物体在三个共点力作用下处于动态平衡时，如果有两个力的方向在变化，用力三角形与几何三角形相似，来判断力的大小变化比较简单。

三、运用隔离法和整体法求解

【例3】如图5，粗糙的水平地面上，与墙平行放置着一个截面为半圆形状的物块A，A与墙间放一个球B，不计球受到的摩擦力。整个系统处于静止平衡状态。现给B施加竖直向下并通过球心的力F，若墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。在F缓慢增大，而整个系统仍保持静止不动的过程，下面说法正确的是（）。

A.F1保持不变，F3缓慢减小

B.F1缓减小，F3保持不变

C.F2缓慢增大，F3缓慢增大

D.F3保持不变，F2缓慢增大

解析：由于F可分解为两个力，一是使B紧压竖直墙的力F′1，另一个是紧压A的力F′2。对系统进行整体分析，可得F′1和地面对A的摩擦力应大小相等，地面对A的支持力N=（mA+mb）g+F，所以地面对A的作用力就是地面对A的摩擦力和支持力的合力，力F缓慢增大的过程中，F′1和F′2会同时增大，所以答案是C。

总结：针对本题所给出的条件，综合运用整体法和隔离法进行分析讨论，可有效解答类似问题。

四、运用正交分解法求解

【例4】如图7所示，在水平拉力F作用下，物体B向右缓慢运动，A物体匀速上升。地面对B物体的支持力、摩擦力和绳对B物体的拉力分别用FN、Ff和T表示，那么在运动过程中FN、Ff和T的变化情况是（）。

A.FN、Ff都减小，T增大

B.FN、Ff都增大，T减小

C.FN、Ff、T都增大

D.FN增大，Ff减小，T不变

解析：因为A、B通过定滑轮相连，A匀速上升，那么拉力T的大小始终保持不变，为T=mAg。

画出如图8所示的受力图。

点评：正交分解法是解决平衡问题的一般方法，应用正交分解法一般应注意以下几点：（1）该方法不受研究对象所受外力多少的限制；（2）关于坐标轴的选取，原则上是任意的，就是说选择不同的坐标轴并不影响运算的结果，但具体应用时又以解题方便为原则。

五、运用极限分析法求解

总结：极限分析法就是运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去考虑解决实际问题的一种方法，极限分析法具有好懂、易学、省时、准确的特点，在物理学中有着重要应用。

（责任编辑 易志毅）endprint

高中物理静力学部分，有很多动态平衡问题。所谓动态平衡问题，就是通过某种途径（如绳子的收放、倾斜角的改变等）使物体的受力发生变化，但物体仍处于平衡状态。由于这类问题涉及变力，力的大小和方向均可能发生变化，要用动态思维来考虑这类问题。解决这类问题的指导思想是：动中求静，变中寻恒。下面结合例题谈谈这类问题的求解方法。

一、运用矢量三角形求解

【例1】将重为G的小球静止放置在固定斜面和竖直挡板间，不计一切摩擦。在挡板逆时针方向慢慢转到水平位置的过程中，请分析斜面和挡板对小球的弹力的大小，F1、F2是怎样变化？

解析：挡板缓慢转动的过程中，可以认为小球每一时刻都处于静止状态（如图1所示），即所受合力为零。画出如图2所示的矢量三角形，其中G的大小、方向都不会改变；F1的方向保持不变；F2的起点在G的终点处，而F2的终点一定在F1所在的直线上，由图可知，在挡板逆时针转动90°的过程中，F2也逆时针转动90°，所以由图2可知F1逐渐变小，F2先变小后变大。

总结：当物体在三个共点力作用下处于动态平衡时，如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，此时，可用力的矢量三角形来判断力的大小变化趋势。

二、运用相似三角形法求解

【例2】如图3中，轻杆BO的O端是用光滑铰链锁定在竖直放置轻杆AO上的，B端处挂上一个物体，并系着一条细绳，细绳跨过轻杆顶点A处的光滑小滑轮，细绳被外力F拉住，现把细绳慢慢向左拉，在杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少的过程中，拉力F和杆BO所承受的压力FN大小变化情况是（）。

A.F先增大，后减小

B.FN先减小，后增大

C.FN始终不变

D.F始终不变

解析：以杆的B端作为研究对象，则B端受绳的拉力F、BO杆的弹力FN、挂物体的绳子的拉力作用，挂物体绳子的拉力大小等于G，现将FN与G进行力的合成，它们的合力跟F大小相等、方向相反，画出如图4所示的受力分析图，其中力的三角形与几何三角形OBA相似，根据数学知识可知GH=FNL=Fl，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项C。

总结：物体在三个共点力作用下处于动态平衡时，如果有两个力的方向在变化，用力三角形与几何三角形相似，来判断力的大小变化比较简单。

三、运用隔离法和整体法求解

【例3】如图5，粗糙的水平地面上，与墙平行放置着一个截面为半圆形状的物块A，A与墙间放一个球B，不计球受到的摩擦力。整个系统处于静止平衡状态。现给B施加竖直向下并通过球心的力F，若墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。在F缓慢增大，而整个系统仍保持静止不动的过程，下面说法正确的是（）。

A.F1保持不变，F3缓慢减小

B.F1缓减小，F3保持不变

C.F2缓慢增大，F3缓慢增大

D.F3保持不变，F2缓慢增大

解析：由于F可分解为两个力，一是使B紧压竖直墙的力F′1，另一个是紧压A的力F′2。对系统进行整体分析，可得F′1和地面对A的摩擦力应大小相等，地面对A的支持力N=（mA+mb）g+F，所以地面对A的作用力就是地面对A的摩擦力和支持力的合力，力F缓慢增大的过程中，F′1和F′2会同时增大，所以答案是C。

总结：针对本题所给出的条件，综合运用整体法和隔离法进行分析讨论，可有效解答类似问题。

四、运用正交分解法求解

【例4】如图7所示，在水平拉力F作用下，物体B向右缓慢运动，A物体匀速上升。地面对B物体的支持力、摩擦力和绳对B物体的拉力分别用FN、Ff和T表示，那么在运动过程中FN、Ff和T的变化情况是（）。

A.FN、Ff都减小，T增大

B.FN、Ff都增大，T减小

C.FN、Ff、T都增大

D.FN增大，Ff减小，T不变

解析：因为A、B通过定滑轮相连，A匀速上升，那么拉力T的大小始终保持不变，为T=mAg。

画出如图8所示的受力图。

点评：正交分解法是解决平衡问题的一般方法，应用正交分解法一般应注意以下几点：（1）该方法不受研究对象所受外力多少的限制；（2）关于坐标轴的选取，原则上是任意的，就是说选择不同的坐标轴并不影响运算的结果，但具体应用时又以解题方便为原则。

五、运用极限分析法求解

总结：极限分析法就是运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去考虑解决实际问题的一种方法，极限分析法具有好懂、易学、省时、准确的特点，在物理学中有着重要应用。

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高中物理静力学部分，有很多动态平衡问题。所谓动态平衡问题，就是通过某种途径（如绳子的收放、倾斜角的改变等）使物体的受力发生变化，但物体仍处于平衡状态。由于这类问题涉及变力，力的大小和方向均可能发生变化，要用动态思维来考虑这类问题。解决这类问题的指导思想是：动中求静，变中寻恒。下面结合例题谈谈这类问题的求解方法。

一、运用矢量三角形求解

【例1】将重为G的小球静止放置在固定斜面和竖直挡板间，不计一切摩擦。在挡板逆时针方向慢慢转到水平位置的过程中，请分析斜面和挡板对小球的弹力的大小，F1、F2是怎样变化？

解析：挡板缓慢转动的过程中，可以认为小球每一时刻都处于静止状态（如图1所示），即所受合力为零。画出如图2所示的矢量三角形，其中G的大小、方向都不会改变；F1的方向保持不变；F2的起点在G的终点处，而F2的终点一定在F1所在的直线上，由图可知，在挡板逆时针转动90°的过程中，F2也逆时针转动90°，所以由图2可知F1逐渐变小，F2先变小后变大。

总结：当物体在三个共点力作用下处于动态平衡时，如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，此时，可用力的矢量三角形来判断力的大小变化趋势。

二、运用相似三角形法求解

【例2】如图3中，轻杆BO的O端是用光滑铰链锁定在竖直放置轻杆AO上的，B端处挂上一个物体，并系着一条细绳，细绳跨过轻杆顶点A处的光滑小滑轮，细绳被外力F拉住，现把细绳慢慢向左拉，在杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少的过程中，拉力F和杆BO所承受的压力FN大小变化情况是（）。

A.F先增大，后减小

B.FN先减小，后增大

C.FN始终不变

D.F始终不变

解析：以杆的B端作为研究对象，则B端受绳的拉力F、BO杆的弹力FN、挂物体的绳子的拉力作用，挂物体绳子的拉力大小等于G，现将FN与G进行力的合成，它们的合力跟F大小相等、方向相反，画出如图4所示的受力分析图，其中力的三角形与几何三角形OBA相似，根据数学知识可知GH=FNL=Fl，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，可知FN不变，F逐渐变小。正确答案为选项C。

总结：物体在三个共点力作用下处于动态平衡时，如果有两个力的方向在变化，用力三角形与几何三角形相似，来判断力的大小变化比较简单。

三、运用隔离法和整体法求解

【例3】如图5，粗糙的水平地面上，与墙平行放置着一个截面为半圆形状的物块A，A与墙间放一个球B，不计球受到的摩擦力。整个系统处于静止平衡状态。现给B施加竖直向下并通过球心的力F，若墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。在F缓慢增大，而整个系统仍保持静止不动的过程，下面说法正确的是（）。

A.F1保持不变，F3缓慢减小

B.F1缓减小，F3保持不变

C.F2缓慢增大，F3缓慢增大

D.F3保持不变，F2缓慢增大

解析：由于F可分解为两个力，一是使B紧压竖直墙的力F′1，另一个是紧压A的力F′2。对系统进行整体分析，可得F′1和地面对A的摩擦力应大小相等，地面对A的支持力N=（mA+mb）g+F，所以地面对A的作用力就是地面对A的摩擦力和支持力的合力，力F缓慢增大的过程中，F′1和F′2会同时增大，所以答案是C。

总结：针对本题所给出的条件，综合运用整体法和隔离法进行分析讨论，可有效解答类似问题。

四、运用正交分解法求解

【例4】如图7所示，在水平拉力F作用下，物体B向右缓慢运动，A物体匀速上升。地面对B物体的支持力、摩擦力和绳对B物体的拉力分别用FN、Ff和T表示，那么在运动过程中FN、Ff和T的变化情况是（）。

A.FN、Ff都减小，T增大

B.FN、Ff都增大，T减小

C.FN、Ff、T都增大

D.FN增大，Ff减小，T不变

解析：因为A、B通过定滑轮相连，A匀速上升，那么拉力T的大小始终保持不变，为T=mAg。

画出如图8所示的受力图。

点评：正交分解法是解决平衡问题的一般方法，应用正交分解法一般应注意以下几点：（1）该方法不受研究对象所受外力多少的限制；（2）关于坐标轴的选取，原则上是任意的，就是说选择不同的坐标轴并不影响运算的结果，但具体应用时又以解题方便为原则。

五、运用极限分析法求解

总结：极限分析法就是运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去考虑解决实际问题的一种方法，极限分析法具有好懂、易学、省时、准确的特点，在物理学中有着重要应用。

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